【正文】 ????????????????????????????????2 1 01 0 31 2 0173964421011111?GTG第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與綜合 yuXGyBuXGCAX??????????????????????????????????????????210103120101~221021011051030120229~)(~? 4)系統(tǒng)觀測器方程 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與綜合 ? 例 :系統(tǒng)的動態(tài)方程為 ? ? 試設(shè)計(jì)一個狀態(tài)觀測器，觀測器的特征值要求設(shè)置在 {10 ,10} 。 （證明略） ? ?21 CCC ?? m?Cr a n k因?yàn)橛?m 維可以通過觀測 y 得到，因此有 (nm)維需要觀測。 2）為了滿足等價(jià)性指標(biāo)，原系統(tǒng) 應(yīng)當(dāng)是完全能觀測的， 或者 x中不能觀測的部分是漸近穩(wěn)定的。 但實(shí)際很難 ，一般 因而 不能完全等價(jià)。應(yīng)當(dāng)指出，使系統(tǒng)解耦的矩陣 K并不是唯一的， K的這種不唯一性可用來同時(shí)滿足配置極點(diǎn)的要求。 ?????????????)(000)(000)()(2211sgsgsgsGnn???????第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與綜合 從信號觀點(diǎn)看解耦后的系統(tǒng)，一個被控量只受一個控制量的控制，與其他控制量無關(guān)；從結(jié)構(gòu)看解耦后的系統(tǒng)，原耦合的多變量系統(tǒng)變成為彼此相互獨(dú)立的單輸入單輸出系統(tǒng)。 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與綜合 解耦控制 所謂解耦控制系統(tǒng)，就是采用某種結(jié)構(gòu)，尋找合適的控制規(guī)律來消除系統(tǒng)種各控制回路之間的相互耦合關(guān)系，使每一個輸入只控制相應(yīng)的一個輸出，每一個輸出又只受到一個控制的作用。 設(shè)計(jì)目的：尋求適當(dāng)?shù)目刂坡?，使輸入輸出相互關(guān)聯(lián)的多變量系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)每一個輸出僅受相應(yīng)的一個輸入所控制，每一個輸入也僅能控制相應(yīng)的一個輸出，這樣的問題稱為 解耦問題 。 但是一個可鎮(zhèn)定的系統(tǒng)未必是完全可控的。 鎮(zhèn)定問題是極點(diǎn)配置問題的一種特殊情況。 例 :考慮如下線性定常系統(tǒng) ，希望該系統(tǒng)的閉環(huán) 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與綜合 首先需檢驗(yàn)該系統(tǒng)的能控性矩陣。 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與綜合 一、問題的提出： 極點(diǎn)對系統(tǒng)特性的影響 極點(diǎn)配置問題： 通過狀態(tài)反饋矩陣 K的選擇，使閉環(huán)系統(tǒng) (A BK,B,C) 的極點(diǎn)，即 (ABK)的特征值恰好處于所希望的一組極 點(diǎn)位置上。 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與綜合 四 反饋形式的改進(jìn)形 帶有觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng) 設(shè)法由輸出 y和控制 v把系統(tǒng)的狀態(tài) x構(gòu)造出來，以實(shí)現(xiàn)狀 態(tài)反饋。只有當(dāng) C＝ I時(shí)， HC＝ K，才能等同于全狀態(tài)反饋。 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與綜合 圖 52 多輸人 多輸出系統(tǒng)輸出反饋至狀態(tài)變量微分處 圖 53 多輸人 多輸出系統(tǒng)輸出反饋至輸入處 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與綜合 值得注意的是，從結(jié)構(gòu)圖看，這兩種結(jié)構(gòu)之間可通過等效變換進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換。采用狀態(tài)反饋可以為系統(tǒng)控制提供更多的信息反饋，不但可以實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)的任意配置，而且還可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)解耦和形成最優(yōu)控制規(guī)律。 )(0 ty（ 4）以便一個多輸入 — 多輸出系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)“一個輸入只控制一個輸出”作為 性能指標(biāo)，相應(yīng)的綜合問題稱為 解耦控制問題 。 F為 p q常陣，輸出反饋矩陣。 可控性和可觀性的概念；可控性和可觀性判據(jù)；線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解；離散系統(tǒng)可控性和可觀性研究。第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與綜合 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與綜合 、線性反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及特性 2. 狀態(tài)反饋的極點(diǎn)配置和輸出反饋的極點(diǎn)配置 3. 系統(tǒng)解耦 4. 狀態(tài)觀測器 觀測器基本概念及其意義； 全維狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)方法； 降維狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)方法。 李雅普諾夫第一、第二法；李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性分析。 v— 參考輸入向量。 優(yōu)化型性能指標(biāo)常取一個相對于狀態(tài) x 和控制 u 的二次型積分性能指標(biāo)，其形式為： 為能觀測。 反饋的兩種基本形式 狀態(tài)反饋 輸出反饋 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與綜合 ???????DvCyBvAxxx??????????DuDKCyBuBKAx)(x)(x?Kxuv ??),(0 CBA??受控系統(tǒng) 線性反饋規(guī)律 通過狀態(tài)反饋構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng) 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與綜合 一般 D=0，可化簡為 閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為 ???????xx)(xCyBuBKA?BBKAsICsW k 1)()( ????狀態(tài)反饋矩陣 K的引入，并不增加系統(tǒng)的維數(shù)，但可通過 K的選擇自由地改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，從而使系統(tǒng)獲得所要求的性能。例如，可將圖 52中的反饋信號回饋點(diǎn)移到輸入矩陳 B的前端，如圖 54所示。因此，在不增加補(bǔ)償器的條件下，輸出反饋的效果顯然不如狀態(tài)反饋系統(tǒng)好。 方塊圖： AB C?Ku yx?xv ????狀態(tài)觀測器 yx????系統(tǒng)帶有補(bǔ)償器的輸出反饋系統(tǒng)帶有觀測器的狀態(tài)反饋第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與綜合 是 X的重構(gòu)狀態(tài)，階數(shù)小于等于 X的階數(shù)。 希望極點(diǎn)選取的原則 1） n維控制系統(tǒng)有 n個希望極點(diǎn)； 2）希望極點(diǎn)是物理上可實(shí)現(xiàn)的，即為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)對； 3）希望極點(diǎn)的位置的選取，需考慮它們對系統(tǒng)品質(zhì)的影響， 及與零點(diǎn)分布狀況的關(guān)系。由于能控性矩陣為： ??????????????3161610100][ 2 BAABBQ ??得 detQ = 1。其設(shè)計(jì)目標(biāo)是使閉環(huán)極點(diǎn)分布在復(fù)平面左側(cè)，而不是嚴(yán)格位于指定的位置。 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與綜合 定理：線性定常系統(tǒng) ? ),(0 CBA 是狀態(tài)可鎮(zhèn)定的 充要條件是其 不可控子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與綜合 uxx?????????????????????????100201020101?k【 例 】 已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為 試判別其是否為可鎮(zhèn)定的。 考慮系統(tǒng) x A x B uy Cx?????????其傳遞函數(shù)矩陣為 ，其輸入輸出之間有 BAsICsG 1)()( ???)()()()()()()( )()()()()()()()()()()()()()(22112222121212121111susgsusgsusgsysusgsusgsusgsysusgsusgsusgsynnnnnnnnnn????????????????式中 gij(s)是 G(s)的第 i行第 j列元素。典型的解耦控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖如下。 g11(s) g21(s) gn1(s) y1 y2 yn u1 u2 un 解耦系統(tǒng)示意圖 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與綜合 解耦控制的基本原理 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與綜合 要完全解決解耦問題，必須回答兩個方面問題 : 一是確定系統(tǒng)能夠被解耦的充要條件，即能解耦性的判別問題 。 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與綜合 狀態(tài)觀測器又稱狀態(tài)漸近估計(jì)器、重構(gòu)器。 但只要系統(tǒng)穩(wěn)定，即 A特征值均具有負(fù)實(shí)部，就可做到 是穩(wěn)態(tài)等價(jià)的，即 觀測器的結(jié)構(gòu)形式 上述并未完全解決狀態(tài)重構(gòu)的問題，因系統(tǒng)狀態(tài)是不能直接量測，因此很難判斷 是否逼近 X。 3） 的輸出 應(yīng)有足夠快的速度逼近 X，這就要求 有 足夠?qū)挼念l帶。 CxyBuAxx???? ?對系統(tǒng)方程 采用變換矩陣 ???????210CCIP進(jìn)行線性變換， Pxx ? 1?? P A PA PBB ? 1?? CPC第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與綜合 得到如下形式的系統(tǒng)方程 ? ? 221212122211211210 xxxIyuBBxxAAAAxx????????????????????????????????????可見 可以通過 觀測到，需要對 維的 進(jìn)行估計(jì)。 ? ? x02yu10x3210x ??????????????????方法三：直接求解反饋陣 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與綜合 解： 將觀測器增益矩陣 G 寫成 ? ?1 1 12 2 220, 2 020g g gG G cg g g? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?觀測器的特征方程為 1221 1 221()2 2 3( 2 3 ) ( 6 2 2 ) 0sgsI A Gcgss g s g g??? ? ???? ? ? ? ? ? ?第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與綜合 根據(jù)給定的特征值，可求出期望的多項(xiàng)式為 100s20s)10s( 22 ????比較上述兩多項(xiàng)式中 s的同次項(xiàng)系數(shù)得 , ??因此觀測器的方程為 yu10x?349117x? ?????????????????????????第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與綜合 在極點(diǎn)配置的設(shè)計(jì)過程中，假設(shè)真實(shí)狀態(tài)x(t)可用于反饋。 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與綜合 由狀態(tài)反饋（極點(diǎn)配置）選擇所產(chǎn)生的期望閉環(huán)極點(diǎn)，應(yīng)使系統(tǒng)能滿足性能要求。為了設(shè)計(jì)觀測器方便，現(xiàn)取可觀標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)，即 ? ? x10yu01x61 00x ?????????????????根據(jù)題意要求閉環(huán)特征方程為 052s8s 2 ???第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與綜合 2 21( ) ( 6 )sI A G c s g s g? ? ? ? ? ?令兩個特征式對應(yīng)的系數(shù)相等，可解出 k1=2, k2=40。 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與綜合 為了簡化問題并保留問題實(shí)質(zhì)，忽略擺桿質(zhì)量，小車馬達(dá)的慣性，擺軸、車輪軸、車輪與接觸而之間的摩擦、風(fēng)力等因素。我們的目的是將倒置擺保持在垂直位置上，要求建立該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型；運(yùn)用狀態(tài)反饋控制規(guī)律將系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)配置在希望位 置上；運(yùn)用全維及降維觀測器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋。求出狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式 1212 k6ks)k6(s)bkA(sI ???????第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與綜合 與期望多項(xiàng)式相比 ,得到 g1=100, g2=14。一個經(jīng)驗(yàn)法則是選擇觀測器的響應(yīng)至少比系統(tǒng)的響應(yīng)快 2~5倍。因此，該設(shè)計(jì)過程分為兩個階段，第一個階段是確定反饋增益矩陣 K，以產(chǎn)生所期望的待征方程；第二個階段是確定觀測器的增益矩陣 ，以產(chǎn)生所期望