【正文】 是基本的計數(shù)方法，不可廢棄 . 例（ 2022年新課程卷） 某賽季足球比賽的計分規(guī)則是：勝一場，得 3分；平一場，得 1分；負(fù)一場，得 0分 .一球隊(duì)打完 15場，積 33分 .若不考慮順序，該隊(duì)勝、負(fù)、平的情況共有： A 3種 B 4種 C 5種 D 6種 . 回目錄 解決排列組合綜合性問題的一般過程如下 : ,即采取分步還 是分類 ,或是分步與分類同時進(jìn)行 ,確定分多 少步及多少類。 以只會唱歌的 5人是否 選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究 只會唱 的 5人中沒有人選上唱歌人員共有 ____ 種 ,只會唱的 5人中只有 1人選上唱歌人 員 ________種 ,只會唱的 5人中只有 2人 選上唱歌人員有 ____種，由分類計數(shù) 原理共有 ______________________種。 例 2 用 0， 1， 2， 3， 4這五個數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（ ） 分析：由于該三位數(shù)是偶數(shù)，所以末尾數(shù)字必須是偶數(shù)， 又因?yàn)?0不能排首位，故 0就是其中的“特殊”元素，應(yīng)優(yōu)先安排。 排列組合應(yīng)用題極易出現(xiàn) “ 重 ” 、 “ 漏 ”現(xiàn)象，而重 ” 、 “ 漏 ” 錯誤常發(fā)生在該不該分類、有無次序的問題上。 “ 插空 ” 有同時“ 插空 ” 和有逐一 “ 插空 ” ,并要注意條件的限定 . 回目錄 例 6 有 4名男生， 3名女生。 例 10 七名學(xué)生爭奪五項(xiàng)冠軍，每項(xiàng)冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數(shù)有（ ） A. B. C D. 分析：因同一學(xué)生可以同時奪得 n項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將七名學(xué)生看作 7家“店”，五項(xiàng)冠軍看作 5名“客”，每個“客”有 7種住宿法，由乘法原理得 種。 這十個數(shù)字中有 5 個偶數(shù) 5個奇數(shù) ,所取的三個數(shù)含有 3個偶數(shù)的取法有 ____,只含有 1個偶數(shù)的取法有 _____,和為偶數(shù)的取法共有 _________ 再淘汰和小于 10的偶數(shù)共 ___________ 符合條件的取法共有 ___________ 35C1255CC 9 013 015 017 023 025 027 041 045 043 1255CC35C+ 9 1255CC35C+ 有些排列組合問題 ,正面直接考慮比較復(fù)雜 ,而它的反面往往比較簡捷 ,可以先求出它的反面 ,再從整體中淘汰 . 回目錄 例：用 0， 1， 2， 3， 4這五個數(shù)，組成沒有重復(fù) 數(shù)字的三位數(shù)，其中 1不在個位的數(shù)共有 _______種。而元素相同時又要另行考慮 . 回目錄 構(gòu)造模型策略 例 . 馬路上有編號為 1,2,3,4,5,6,7,8,9的 九只路燈 ,現(xiàn)要關(guān)掉其中的 3盞 ,但不能關(guān) 掉相鄰的 2盞或 3盞 ,也不能關(guān)掉兩端的 2 盞 ,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？ 解：把此問題當(dāng)作一個排隊(duì)模型在 6盞 亮燈的 5個空隙中插入 3個不亮的燈 有 ________ 種 35C一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為 非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊(duì) 模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決 回目錄 練習(xí)題 某排共有 10個座位，若 4人就坐，每人左右 兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？ 120 回目錄 八 .排列組合混合問題先選后排策略 例 .有 5個不同的小球 ,裝入 4個不同的盒內(nèi) , 每盒至少裝一個球 ,共有多少不同的裝 法 . 解 :第一步從 5個球中選出 2個組成復(fù)合元共 有 __種方法 .再把 5個元素 (包含一個復(fù)合 元素 )裝入 4個不同的盒內(nèi)有 _____種方法 . 25C44A根據(jù)分步計數(shù)原理裝球的方法共有 _____ 25C44A解決排列組合混合問題 ,先選后排是最基本 的指導(dǎo)思想 .此法與 相鄰元素捆綁策略相似 嗎 ? 回目錄 練習(xí)題 一個班有 6名戰(zhàn)士 ,其中正副班長各 1人 現(xiàn)從中選 4人完成四種不同的任務(wù) ,每人 完成一種任務(wù) ,且正副班長有且只有 1人 參加 ,則不同的選法有 ________ 種 192 回目錄 3 名醫(yī)生和 6 名護(hù)士被分配到 3 所學(xué)校為學(xué)生體檢 ,每校分配 1 名醫(yī)生和 2 名護(hù)士 ,不同的分配方法共有多少種 ? 先選后排問題的處理方法 解法一：先組隊(duì)后分校（先分堆后分配） 540332426 ?? PCC回目錄 解法二：依次確定到第一、第二、第三所學(xué)校去的醫(yī)生和護(hù)士 . 5401)()( 24122613 ??? CCCC回目錄 為支援西部開發(fā) ,有 3名教師去銀川市三所學(xué)校任教 ,每校分配 1人 ,不同的分配方法共有 _______種 (用數(shù)字作答 ). 練習(xí) 改為 4名教師？ 改為 5名教師？ 回目錄 有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù) ,甲需 2人承擔(dān) ,乙、丙各需 1人承擔(dān) .從 10人中選派 4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù) ,不同的選法共有多少種 ? 回目錄 四名同學(xué)分配到三個辦公室去搞衛(wèi)生 ,每個辦公室至少去一名學(xué)生 ,不同的分配方法有多少種 ? 回目錄 有甲、乙、丙三項(xiàng)工程，甲需要 2 人承擔(dān)，乙、丙各需 1 人承擔(dān)，從 10 人中選派 4 人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的承擔(dān)方法共有 ___________種； 某辦公室有 5 人辦公，現(xiàn)要排一個周輪值表，每人至少一天，其中甲不能在周六和周日，且甲肯定值兩天，則不同的排表方式有 __________種； 學(xué)校決定下周對高一年級進(jìn)行教學(xué)情況抽測。 若第二方格內(nèi)填 1，則第三方格只能填 4，第四方格應(yīng)填 3。 3355CC3 3 1 1 15 5 3 2 1 600C C C C C ?處理復(fù)雜的排列組合問題時可以把一個問題退化成一個簡要的問題，通過解決這個簡要的問題的解決找到解題方法，從而進(jìn)下一步解決原來的問題 如此繼續(xù)下去 .從 3 3方隊(duì)中選 3人的方法 有 ___________種。 練 習(xí) 58 （ 3） 一個三位數(shù)，其十位上的數(shù)字既 小于百位上的數(shù)字也小于個位上的數(shù)字 ， 且個位百位上的數(shù)字不重復(fù)（如７３５等） 那么這樣的三位數(shù)有 個． 回目錄 144 240 例 袋中有 5分硬幣 23個 ,1角硬幣 10個 ,如果從袋中取出 2元錢 ,有多少種取法 ? 解 把所有的硬幣全部取出來 ,將得到 23+ 10= ,所以比 2元多 ,所以剩下 3個 5分或 1個 5分與 1個 1角 ,所以共有 種取法 . 110123323 CCC ??結(jié)論 剩余法 :在組合問題中 ,有多少取法 ,就有多少種剩法 ,他們是一一對應(yīng)的 ,因此 ,當(dāng)求取法困難時 ,可轉(zhuǎn)化為求剩法 . 分析 此題是一個組合問題 ,若是直接考慮取錢的問題的話 ,情況比較多 ,也顯得比較凌亂 ,難以理出頭緒來 .但是如果根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)考慮剩余問題的話 ,就會很容易解決問題 . 回目錄 小結(jié) 本節(jié)課，我們對有關(guān)排列組合的幾種常見的解題策略加以復(fù)習(xí)鞏固。同學(xué)們只有對基本的解題策略熟練掌握。 回目錄 某城市的街區(qū)由 12個全等的矩形區(qū)組成 其中實(shí)線表示馬路，從 A走到 B的最短路 徑有多少種？ 練習(xí)題 B A 37 35C ?回目錄 特征分析 研究有約束條件的排數(shù)問題，須要緊扣題目所提供的數(shù)字特征，結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行推理，分析求解。 同理，若第二方格內(nèi)填 4，則第三方格只能填 1，第四方格應(yīng)填 3。則可能有＿＿＿＿＿＿種抽取方法。 35A 分析 ： 五個數(shù)組成三位數(shù)的全排列有 個， 0排在首位的 有 個 ， 1排在末尾的有 ，減掉這兩種不合條件的排 法數(shù)，再加回百位為 0同時個位為 1的排列數(shù) （為什么？） 故共有 種。 回目錄 A 重排問題求冪策略 例 .把 6名實(shí)習(xí)生分配到 7個車間實(shí)習(xí) ,共有 多少種不同的分法 解 :完成此事共分六步 :把第一名實(shí)習(xí)生分配 到車間有 種分法 . 7 把第二名實(shí)習(xí)生分配 到車間也有 7種分 法， 依此類推 ,由分步計 數(shù)原理共有 種不同的排法 67允許重復(fù)的排列問題的特點(diǎn)是以元素為研究 對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排 各個元素的位置，一般地 n不同的元素沒有限 制地安排在 m個位置上的排列數(shù)為 種 n m 回目錄 1. 某班新年聯(lián)歡會原定的 5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目 .如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（ ） 42 2. 某 8層大樓一樓電梯上來 8名乘客人 ,他們 到各自的一層下電梯 ,下電梯的方法 （ ） 87練習(xí)題 回目錄 環(huán)排問題線排策略 例 6. 5人圍桌而坐 ,共有多少種坐法 ? 解： 圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成 圓形沒有首尾之分，所以固定一人 A并從 此位置把圓形展成直線其余 4人共有 ____ 種排法即 44AA B C E D D A A B C E （ 51)！一般地 ,n個不同元素作圓形排列 ,共有 (n1)!種排法 .如果從 n個不同元素中取出 m個元素作圓形排列共有 1 mnm A 回目錄 練習(xí)題 6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈？ 120 多排問題直排策略 例 ,每排 4人 ,其中甲乙在 前排 ,丁在后排 ,共有多少排法 解 :8人排前后兩排 ,相當(dāng)于 8人坐 8把椅子 ,可以 把椅子排成一排 . 先在前 4個位置排甲乙兩 個特殊元素有 ____種 ,再排后 4個位置上的 特殊元素有 _____種 ,其余的 5人在 5個位置 上任意排列有 ____種 ,則共有 _________種 . 前排 后排 24A14A55A24A 55A14A一般地 ,元素分成多排的排列問題 ,可歸結(jié)為一