數(shù)值積分的計(jì)算方法論(完整版)
【正文】 公式比 NewtonCotes公式具有更高的代數(shù)精度，但當(dāng)代數(shù)精度相同時(shí)，二者計(jì)算的結(jié)果仍存在細(xì)微的差異。 關(guān)鍵字： 插值積分、 NewtonCotes 公式、 GaussLegendre 公式 數(shù)值積分 1 理論依據(jù) 逼近論 —— 構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù) p(x)近似表示 f(x),然后對(duì) p(x)求積分得到 f(x)的積分的近似值。 (k=0,1,… ,n) （ 11） 這個(gè)積分是有理多項(xiàng)式積分，它與被積函數(shù) f(x)和區(qū)間 [a,b]無(wú)關(guān)。在（ 12）式中令 錯(cuò)誤 !未找到引用源。保 證了數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性。 Gauss 求積公式的基本原理 更一般形式： ( ) ( ) ( )baI f x f x dx?? ? （ 21） ()x? 為權(quán)函數(shù)，設(shè) ()x? 0，且在 [a,b]上可積，構(gòu)造 n階求積公式： 0 ()nn i iiI A f x??? （ 22） 積分點(diǎn) 0...nxx使得（ 22） 式達(dá)到 2n+1次代數(shù)精度，則積分點(diǎn)稱為 Gauss點(diǎn)，（ 22）式稱為 Gauss求積公式。而結(jié)果上的差異來(lái)源很明顯是插值積分在近似替代時(shí)產(chǎn)生的，結(jié)合第 1章理論依據(jù)的內(nèi)容， NewtonCotes積分公式的精度最高可達(dá) n+1次， GaussLegendre積分公式的精度為 2n+1 次，由此可知，當(dāng) n 相同時(shí)， Gauss Legendre 積分公式比 Newton— Cotes 積分公式具有更高的代數(shù)精度。,0,1) 運(yùn)行結(jié)果為： y1= （ 2） 在 Matlab 工作窗口中： fn=inline(39。,0,1) 運(yùn)行結(jié)果為 y1= （ 2） 建立 M 文件： function f=fn(x) f=(11/2*(sin(x)).^2).^(1/2) 在 Matlab 工作窗口中調(diào)用函數(shù)： y2=quad8(39。 g=h*(*(gaussf(x(1))+gaussf(x(3))) +*gaussf(x(2)))。 g=h*(*(gaussf(x(1))+gaussf(x(3))) +*gaussf(x(2)))。 y=(11/2*(sin(x)).^2).^(1/2)。 y=2./(1+x.^2)。,0,pi/2) 運(yùn)行結(jié)果為： y2 = 2 GaussLegendre 求積公式求解的 Matlab 程序 方法的一些準(zhǔn)備 GaussLegendre： 11 0( ) ( )niiif x dx f
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