對(duì)坐標(biāo)的曲線積分(1)(完整版)
【正文】 雖然第一類曲線積分和第二類曲線積分來(lái)自不同的 物理原型，且有著不同的特性，但是在一定條件下， 如在規(guī)定了曲線的方向之后，可建立二者之間的聯(lián)系 . 設(shè) L 是有向光滑曲線，其參數(shù)方程為 ( ) ,( ) ,xtyt????? ??起點(diǎn) A ﹑ 終點(diǎn) B 分別對(duì)應(yīng)參數(shù) ? ﹑ ? . 不妨設(shè) ??? （若 ??? , 則令 st?? ， 討論以 s 為參數(shù)的參數(shù)方程就可轉(zhuǎn)到前一種情形） . 又設(shè)函數(shù) ( , )P x y ﹑ ( , )Q x y 在 L 上連續(xù)， 則有 ? ?[ ( ) , ( ) ] ( ) [ ( ) , ( ) ] ( ) d( , ) d ( , ) dLP t t t Q t t tP x y x Q x y yt??? ? ? ? ? ????????返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2021年 6月 17日星期四 21 另一方面， 有向曲線 L 的切向量為 ()t?? ?T i ()t??? j ， 其方向與參數(shù) t 增大時(shí)曲線上點(diǎn) ( ) , ))( (tM t?? 的走向一致 ， 方向余弦為 1 22 ()c o s ( ) ( )ttt?? ?? ??? ??， 2 22 ()c o s ( ) ( )ttt?? ?? ?? ?? ?， 于是 12[ ( , ) c o s ( , ) c o s ] dL P x y Q x y s?? ?? 222 2 2 2( ) ( )[ ( ) , ( ) ] [ ( ) , ( ) ] ( ) ( )d( ) ( ) ( ) ( )ttP t t Q t t t t tt t t t?? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ???? ??? ? ??? ? ? ? ?????? ? ?[ ( ) , ( ) ] ( ) [ ( ) , ( ) ] ( ) d .P t t t Q t t t t?? ? ? ? ? ? ?????? 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2021年 6月 17日星期四 22 由此可見(jiàn)，平面曲線上兩類曲線積分之間有如下關(guān)系： 12( , )d ( , )d [ ( , ) c o s ( , ) c o s ] dLLP x y x Q x y y P x y Q x y s??? ? ???其中 1? ， 2? 為有向曲線 L 在點(diǎn) ( , )xy 處切向量的方向角 . 類似地可知空間曲線上兩類曲線積分之間有如下關(guān)系： 1 2 3( , , )d ( , , )d ( , , )d[ ( , , ) c o s ( , , ) c o s ( , , ) c o s ] dLLP x y z x Q x y z y R x y z zP x y z Q x y z R x y z s? ? ???? ? ???其中 1? ， 2? ， 3? 為有向曲線 L 在點(diǎn) ( , , )x y z 處切向量的方向角 . 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2021年 6月 17日星期四 23 內(nèi)容小結(jié) 1．對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念 2．對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算 3．兩類曲線積分之間的聯(lián)系 作業(yè) 習(xí)題 9－ 2 2 （ 3）（ 5）（ 8） 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2021年 6月 17日星期四 24 20 3?圖Oyx1A(1,1)B(2,3)2 3123D(2,1)C1. 計(jì)算 ??? d ( ) d ,L xy x y x y其中 L 分別沿圖 203中的路線 : (1) 直線段 。AB(2) ? ?22 ( 1 ) 1 。 (2) 沿直線 : 2 。)L L Lx P xPP Px?? ?? ? ?2 11 2d() ddL L LQ Q Q yQyy?? ?? ? ?性質(zhì) 2 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面 ,即 d d ,LL kk P x P x??? d d ,LL kk Q y Q y???返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2021年 6月 17日星期四 9 性質(zhì) 3 ( 分段可加性 ) 若積分弧段 L 是由兩段有向光滑曲線弧 1L 和 2L 首尾連接而成 , 則 12d d d d d dL L LP x Q y P x Q y P x Q y? ? ? ? ?? ? ?性質(zhì) 4 （有向性） 如果 L ? 表示與有向光滑曲線弧 L反向的曲線弧
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