【正文】 的功率譜密度函數(shù)，簡稱功率譜。 現(xiàn)代譜估計的內(nèi)容極 其豐富，涉及的學(xué)科及應(yīng)用領(lǐng)域也相當(dāng)廣泛，方法大致可分為參數(shù)模型譜估計和非參數(shù)模型譜估計，前者有 AR 模型法 (最大熵譜分析法 )、MA 模型， ARMA 模型、 Prony 指數(shù)模型等；后者有最小方差法，多分量的 MUSIC 1 方法等 [8]。周期圖較差的方差性能促使人們研究另外的分析方法。 關(guān)鍵字 ：數(shù)字信號處理，功率譜估計，周期圖法，自相關(guān)法， AR 模型法 II ABSTRACT Digital signal processing (DSP) important application of one of the field. Actually, we can’t get the expression of a specific signal, so we need to estimate the power spectral of a signal according to some sample data spectrum estimation which is widely used in various signal processing. In this thesis, some mon methods of Power Spectral Estimation, such as classical spectral estimation and modern spectral estimation, are studied. The quality of each estimation method is derived, simulation program and simulation figure is given. Classical methods of Power Spectral Estimation mainly include the Periodogram and the BT method. But both of them have a mon drawback: the data sequences, beyond the area of the observed sequences, are all presumed to zero. So the Windows and the average method are introduced to improve the quality of the Periodogram. Therefore the improvement of The Periodogram estimation method is proposed. The classification of modern spectral estimation methods are more , AR，MA, and ARMA is the most important parameters of modern spectral estimation. This thesis will focus on discussion of AR model parameters method. At the same time , It can be seen from the parison and realization of classical spectral estimation and modern spectral estimation, classical power spectrum estimation variance is poor, low resolution .The goal of modern spectral estimation is working to improve the resolution of spectral estimation, better results of the estimation of the power spectrum can be obtained, so it is applied more widely. Keywords: digital signal processing, Power Spectrum Estimation, The Periodogram, the BT methods， AR model 0 目 錄 摘 要 ....................................................... I ABSTRACT ................................................................................... 錯誤 !未定義書簽。 本論文研究了功率譜估計的幾種常用的方法，包括經(jīng)典譜估計和現(xiàn)代譜估計的各種方法，且對每種方法的估計質(zhì)量做了數(shù)學(xué)推導(dǎo)，并給出仿真程序及仿真圖。傅里葉級數(shù)首先在觀察自然界中的周期現(xiàn)象得到應(yīng)用，但傅里葉的計算比較復(fù)雜，促使人們研制相應(yīng)的機器來計算傅里葉級數(shù)。所有這些都為現(xiàn)代譜估計的發(fā)展打下了良好的基礎(chǔ) [7]。 功率譜估計的提出 在通信系統(tǒng)中，往 往需要研究具有統(tǒng)計特性的隨機信號。 由于對有限序列采用 DFT，就默認此有限序列時域是周期的，以及該有限序列在頻域是周期的。 法 Welch法對 Bartlett法進行了兩方面的修正 :一是選擇適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù) ??wn，并再周期圖計算前直接加進去，加窗的優(yōu)點是無論什么樣的窗函數(shù)均可使譜估計非負。 功率譜估計應(yīng)用及用途 功率譜估計有著極其廣泛的應(yīng)用，不僅在認識一個隨機信號時，需要估計它的功率譜。所謂譜估計的分辨率可以粗略的定義為能夠分辨出的二個分立的譜分量間的最小頻率間隙，提高譜估計的分辨率已成為目前譜估計研究中的一個重要方向。隨機變量與模糊變量的不確定性的本質(zhì)差別在于，后者的測定結(jié)果仍具有不確定性，即 模糊性 。 ? ? ? ?222x = d xD E X x p x????? ?； ? ? ? ?222x = XxQ E X u x u p x d x????? ? ?? 以上分別稱為 X 的標(biāo)準(zhǔn)差和方差。 瞬時值 ??xt 小于或等于某值 x 的概率定義為概率分布函數(shù)或累計概率分布函數(shù) ? ? ? ? ? ?p x p r o d x t x p d??????? ? ????? ? 表征了一個隨機過程自身在不同時刻的狀態(tài)間，或者兩個隨機過程在某個時刻狀態(tài)間線性依從關(guān)系的數(shù)字特征。 (5) 對變化迅速的信號（寬帶隨機過程），相關(guān)的程度在 ? 很小時就完全喪失。但對于正態(tài)隨機過程兩者是等價的。 隨機序列 ??Xn，它的相關(guān)函數(shù) ? ?xRm滿足其功率譜密度 ? ?xSm 具有如下式子： ? ? ? ?? ? ? ?12jmXXmjmXXS R m eR S e d??????????????? ?????? ????? 估計質(zhì)量的評價標(biāo)準(zhǔn) 對于待估參數(shù)，不同的樣本值就會得到不同的估計值，這樣，要確定一個估計量的好壞，就不能僅僅依據(jù)某次抽樣的結(jié)果來衡量，而必須由大量抽樣的結(jié)果來衡量．對此，一個自然而基本的衡量標(biāo)準(zhǔn)是要求估計量無系統(tǒng)偏差。在 ?? 的所有無偏估計量中，如果存在一個估計量 0?? ，它的方差最小，則此估計量應(yīng)當(dāng)最好，并稱此估計量 0?? 為 ?? 的最小方差無偏估計，也稱其為最有效的． 估計量 ?? 的無偏性和有效性都是在樣本容量 n 固定的情況下討論的。這兩類方法都與相關(guān)函數(shù)有著密切的聯(lián)系，由維納 —— 辛欽定理可知，功率譜和相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系是一對傅里葉變換，因而可以從觀測數(shù)據(jù)直接估計相關(guān)函數(shù)，根據(jù)估計出來的相關(guān)函數(shù)，求它的傅立葉變換，就可以得到功率譜的估計值。 平穩(wěn)隨機序列 )}({ nx 的自相關(guān)函數(shù) )0(xxr 是實的且為正，而且對任一 )(na序列和任一 M ，自相關(guān)函數(shù)（ ACF）滿足： ? ?)1(,),1(),0( ?Nxxx ? ，這個函 數(shù)稱為半正定的。這就是說，各樣本之間彼此是不相關(guān)的。 方法一：根據(jù)假定的自相關(guān)函數(shù)的各態(tài)歷經(jīng)性（或遍歷性），可用下式估計它的自相關(guān)函數(shù)，即 ? ?? ? ??? 10 )()(1)(? kN nxx nxknxkNkr ])()([1)](?[ 10? ?? ? ??? kN nxx nxknxEkNkrE ? ??? ??? 10 )()(1 kN n xxxx krkrkN 14 當(dāng) ??N 時， 0)}(?var{ ?krxx ，因此 )(? krxx 是相關(guān)函數(shù) )(krxx 的無偏估計且是漸近一致的，即當(dāng) k 為有限值時， )(? krxx 是 )(krxx 的一致估計。 周期圖譜估計定義為： 210 )2e xp ()(1)(? ??? ??NnPER fnjnxNfP ? 可以證明，周期圖等于估計出的自相關(guān)序列的傅里葉變換，或 )](?[ fPE PER ????? ??1)1( )2e xp()(?)(? NNk xxPER fkjkrfP ? 其中 )(? krxx 是有偏自相關(guān)函數(shù)的估計值，定義為 : ???? ??kNnxx knxnxNkr10 )()(1)(? 周 期圖的性能 周期圖的期望值是 : ?)](?[ fPE PER ? ?? ?? 2/1 2/1 )()()}()({ ??? dPfWkrkw xxBxxB （ 34） 式中 )(fWB 是 Bartlett 窗（三角形窗）的傅里葉變換。 周期圖法改進措施 加窗周期圖 周期圖法只用了 N 個樣本，這可以看作是用一長度為 N 的矩形窗函數(shù)與原來無限長的序列相乘的結(jié)果，我們知道，時域中兩函數(shù)相乘對應(yīng)于頻域中它們的傅立葉變換的卷積。但旁瓣的降低必然使主瓣加寬，而且降低了分辨率。 因為 ?? ?? 2/1 2/1 )()()](?[ ??? dPfWfPE xxBA V P E R，所以方差將減少 K倍。 BT 法功率譜估計采用有偏自相關(guān)函數(shù)估計法。 nfft=1024。 xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n))。 plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1))。 n=0:1/Fs:1。half39。 pause。 以下是利用 matlab 對自相關(guān)法進行仿真，并得到仿真圖（ 37)。)。 本章小結(jié) 根據(jù)相關(guān)函數(shù)和功率譜密度函數(shù)之間為傅立葉變換對的維納 欣欽關(guān)系，可從相關(guān)函數(shù)估計值經(jīng)傅立葉變換后得到功率譜的估計 值。矩形窗的頻譜主瓣不是無限窄的，且有旁瓣存在，這將導(dǎo)致能量向旁瓣中“泄漏”，主瓣變得模糊不清。參數(shù)模型法是現(xiàn)代譜估計的主要內(nèi)容，也是本章討論的重點，參數(shù)模型法的思路如下： （ 1）假定所研究的過程 )(nx 是由一個輸入序列 ??nu 激勵一個線性系統(tǒng) ??zH的輸出。不難想象， AR 模型易于反映譜中的峰值，而 MA 模型易于反映譜中的谷值。 AR 模型參數(shù)求解的典型算法 用線性方程組的常用解法 (例如高斯消元法 )解 Yule— Walker 方程，需要的運算量數(shù)量級為 3p ，但若利用系數(shù)矩陣的對稱性和 Toeplitz 性質(zhì)，則可構(gòu)成一些高效算法， Levinson— Durbin 算法是其中最著名、應(yīng)用最廣泛的一種，這種算法的運算量數(shù)量級為 2p 。用 Burg算法進行功率譜估計時令前后向預(yù)測誤差功率之和最小，即對 ??neb 、 ??nef 前后都不加窗，使用 Levinson— Durbin 遞推可快速的求解 AR系數(shù)。 譜的分辨率 AR 譜估計的頻率分辨率，要優(yōu)于經(jīng)典譜估計方法。 2. AIC 準(zhǔn)則（信息論準(zhǔn)則。 模型譜的匹配性質(zhì) 由維納 辛欽定理及 AR 譜對應(yīng)的一個無限長的自相關(guān)函數(shù)可得 ? ? ? ?? ?2???? j jjx eA ePeP ? ? ? ? ?2m in?? ? jjAR eAeP ? 若用 AR譜去匹配信號的譜，則誤差系列的譜應(yīng)由常數(shù)譜來匹配，體現(xiàn) ??zA 的 32 白化性質(zhì)， 從整體上看 ? ?jARPe?將均勻地和 ? ?jxPe?相跟隨。 計算步驟如下：①由初始條件 ? ? ? ? ? ?nxene nbb ?? 00 ，再由式? ? ? ?? ?? ? ? ?pmnenenenek NmnNmnbmfmNmnbmfm,.. .,2,11121 1 21211111 ??????? ?????????????? (47) 求出 ?1k ； ②由 ? ? ? ? 21010 ???? ? Nnx nxNr 得 1?m 時的參數(shù) 11,1 ?? ?ka , ? ?01 211