【正文】 詳解：（1）①證明：過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BC于G，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥DC于H，如圖1．∵四邊形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC，∴∠GPC=∠ACB=∠ACD=∠HPC=45176?！唷螧OP=∠PFE．在△BOP和△PFE中， ∴△BOP≌△PFE（AAS），∴BO=PF．∵四邊形ABCD是正方形，∴OB=OC，∠BOC=90176。矛盾，∴當(dāng)點(diǎn)E在線段DC上時(shí)，△PEC不可能是等腰三角形．②若點(diǎn)E在線段DC的延長(zhǎng)線上，如圖4．若△PEC是等腰三角形，∵∠PCE=135176。+∠CER，∴∠PBR=∠CER=176。﹣176?！唷螾EC＞90176。﹣∠GPE=∠EPH．在△PGB和△PHE中，∴△PGB≌△PHE（ASA），∴PB=PE．②連接BD，如圖2．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BOP=90176。EH＝EF，∴∠AEH＋∠BEF＝90176。+∠CAN=∠BAN+∠ANC=180176。．在Rt△ABE中，AE2+AB2=BE2，即（8﹣BE）2+62=BE2，解得：BE==DE=BF，AE=8﹣DE=8﹣==BM，∴FM=﹣=．在Rt△EMF中，由勾股定理得：EF==．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)和矩形性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，能熟記折疊的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．11．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖①，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M為BC邊上異于B、C的一點(diǎn)，以AM為邊作等邊三角形AMN，連接CN，NC與AB的位置關(guān)系為　 ?。唬?）深入探究：如圖②，在等腰三角形ABC中，BA=BC，點(diǎn)M為BC邊上異于B、C的一點(diǎn)，以AM為邊作等腰三角形AMN，使∠ABC=∠AMN，AM=MN，連接CN，試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）拓展延伸：如圖③，在正方形ADBC中，AD=AC，點(diǎn)M為BC邊上異于B、C的一點(diǎn)，以AM為邊作正方形AMEF，點(diǎn)N為正方形AMEF的中點(diǎn)，連接CN，若BC=10，CN=，試求EF的長(zhǎng)．【答案】（1）NC∥AB；理由見解析；（2）∠ABC=∠ACN；理由見解析；（3）；【解析】分析：（1）根據(jù)△ABC，△AMN為等邊三角形，得到AB=AC，AM=AN且∠BAC=∠MAN=60176。即∠AEF＝90176。PK中，∴PK＝t﹣3，F(xiàn)39。N＝3t，∵M(jìn)H39。=15F39。∠3+∠2=60176?！唷鰾ME、△DNF、△CEF均為等腰直角三角形，∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，∴a﹣BE=a﹣DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45176。得到△ABG，連結(jié)GM．由（1）知△AEG≌△AEF，則EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均為等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后證明∠GME=90176。﹣∠A=30176。G最大，此時(shí)G與O重合，∵CD＝C39。＝AP；（3）如圖，過(guò)C39?！唷螦PD＝45176。；（2）結(jié)論：BP+DP＝AP，理由是：如圖，作AP39。DE，在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90176。；（2）作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△BAP≌△DAP39?！唷螮=45176?！唷螪CB=60176?！唷螪=90176?！摺螪AB=120176。∴∠DCA=∠BCE，∵∠D+∠ABC=180176。．∴AC=CE．又∵∠D+∠ABC=180176。（SAS），得BP＝DP39。∴AD＝C39。⊥AP交PD的延長(zhǎng)線于P39?！唷螾39。作C39。D＝，OD＝AC＝1，∴C39?！郃B=AC=60=30cm，∵CD=4t，AE=2t，又∵在Rt△CDF中，∠C=30176。MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代換即可證明EF2=ME2+NF2；（3）將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176?！唷螱ME=45176?！唷?=∠3，∵∠BAD=120176。N=153t，在Rt△DMH39。＝FN＝t，EM＝NG39。K＝3t﹣9，在Rt△PKG39。即AE⊥EF；（2）連接BB39。從而得到∠BAC∠CAM=∠MAN∠CAM，即∠BAM=∠CAN，證明△BAM≌△CAN，即可得到BM=CN．（2）根據(jù)△ABC，△AMN為等腰三角形，得到AB：BC=1：1且∠ABC=∠AMN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAC=∠MAN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）如圖3，連接AB，AN，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABC=∠BAC=45176?！郈N∥AB； （2）∠ABC=∠ACN，理由如下：∵=1且∠ABC=∠AMN，∴△ABC～△AMN∴，∵AB=BC，∴∠BAC=（180176。．∵∠AEH＋∠AHE＝90176。．∵PE⊥PB即∠BPE=90176。．若△PEC為等腰三角形，則EP=EC．∴∠EPC=∠ECP=45176。=176。+∠PBR=90176。與∠PEC＞90176。﹣∠BPO=∠EPF．∵EF⊥PC即∠PFE=90176?！唷鰽HE≌△BEF．同理可證△MFG≌△BEF．∴GM＝BF＝AE＝2．∴FC＝BC－BF＝10．∴．（2）過(guò)點(diǎn)G作GM⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于M，連接HF．∵AD∥BC，∴∠AHF＝∠MFH．∵EH∥FG，∴∠EHF＝∠GFH．∴∠AHE＝∠MFG．又∵∠A＝∠GMF＝90176。﹣∠AMN），∵∠ABC=∠AMN，∴∠BAC=∠MAN，∴∠BAM=∠CAN，∴△ABM～△ACN，∴∠ABC=∠ACN；（3）如圖3，連接AB，AN，∵四邊形ADBC，AMEF為正方形，∴∠ABC=∠BAC=45176。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，得到BM=2，CM=8，再根據(jù)勾股定理即可得到答案．詳解：（1）NC∥AB，理由如下：∵△ABC與△MN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60176。C三內(nèi)角之和為180176。EC是等腰三角形，再有條件證明∠AEF=90176。N＝15﹣3t，在Rt△DMH39。PK中，=，PK=t3，F(xiàn)39?！咚倪呅蜛BCD是菱形，∴AB=BC=CD