【正文】 證明△IJF是等邊三角形即可．（3）結(jié)論：EG2＝AG2+CE2．如圖3中，將△ADG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。∴△MEJ是等邊三角形，∴MJ＝EM＝NI，∠M＝∠B＝60176。得到△DCM，∵∠FAD+∠DEF＝90176。點(diǎn)O為射線CA 上的動(dòng)點(diǎn)，作射線OM與直線BC相交于點(diǎn)E，將射線OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60176。即可推出四邊形ADCF是矩形．（2）四邊形ABDF、四邊形AGEF、四邊形GBDE、四邊形AGDE、四邊形GDCE都是平行四邊形．【詳解】證明：∵，∴，∵是中點(diǎn)，∴，在和中，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴四邊形是矩形．∵線段、線段、線段都是的中位線，又，∴，∴四邊形、四邊形、四邊形、四邊形、四邊形都是平行四邊形．【點(diǎn)睛】考查平行四邊形的判定、矩形的判定、三角形的中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，正確尋找全等三角形解決問題是解題的關(guān)鍵.8．如圖，點(diǎn)O是正方形ABCD兩條對角線的交點(diǎn)，分別延長CO到點(diǎn)G，OC到點(diǎn)E，使OG=2OD、OE=2OC，然后以O(shè)G、OE為鄰邊作正方形OEFG．（1）如圖1，若正方形OEFG的對角線交點(diǎn)為M，求證：四邊形CDME是平行四邊形．（2）正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到正方形OE′F′G′，如圖2，連接AG′，DE′，求證：AG′=DE′，AG′⊥DE′；（3）在（2）的條件下，正方形OE′F′G′的邊OG′與正方形ABCD的邊相交于點(diǎn)N，如圖3，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0176。由四邊形OEFG是正方形，得到OG′=OE′，∠E′OG′=90176。；Ⅱ、當(dāng)AN=ON時(shí)，∴∠NAO=∠AON=45176?！唳?∠ANO+90176。=+90=176。且∠AED=∠CEB39。EC∴AE＝CE∵AE＝CE，EF⊥AC∴EF垂直平分AC，∠AEF＝∠CEF∴AF＝CF∵CD∥AB∴∠CEF＝∠EFA且∠AEF＝∠CEF∴∠AEF＝∠EFA∴AF＝AE∴AF＝AE＝CE＝CF∴四邊形AECF是菱形【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，熟練掌握這些性質(zhì)和判定是解決問題的關(guān)鍵．10．如圖，已知矩形ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，F(xiàn)是AB上的一點(diǎn)，EF⊥EC，且EF＝EC．（1）求證：△AEF≌△DCE．（2）若DE＝4cm，矩形ABCD的周長為32cm，求AE的長．【答案】（1）證明見解析；（2）6cm.【解析】分析：（1）根據(jù)EF⊥CE，求證∠AEF=∠ECD．再利用AAS即可求證△AEF≌△DCE．（2）利用全等三角形的性質(zhì)，對應(yīng)邊相等，再根據(jù)矩形ABCD的周長為32cm，即可求得AE的長.詳解：（1）證明：∵EF⊥CE，∴∠FEC=90176。請直接寫出BD39。作D39。=，AE=，∴BE=2+，∴Rt△BD39。=30176。時(shí)，（1）中結(jié)論還成立嗎？若成立，請結(jié)合圖1給出證明；若不成立，請說明理由；（3）運(yùn)用：如圖3，分別以△ABC的三邊為邊向外側(cè)作的四邊形ACDE、BCFG和ABMN為正方形，則稱這三個(gè)正方形為外展三葉正方形．已知△ABC中，AC=3，BC=4．當(dāng)∠C=_____176?！唷螧PG=90176。．∵∠PBC＜90176。﹣90176。連接EF，則EF=BE+DF，說明理由．解答：∵正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠ADC=∠B=90176?！螮AF=∠BAD時(shí)，EF=BE+DF嗎？請說明理由．【答案】證明見解析．【解析】試題分析：（1）把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120176。∠B=∠ADC=60176?！唷螦DE′+∠D=180176。判斷出當(dāng)∠1=∠2時(shí)，∠AGO=∠AGD=∠PGC，而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180176?！?=∠2，∴∠AGO=∠PGC， 又∵∠AGO=∠AGD， ∴∠AGO=∠AGD=∠PGC，又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180176。=3=，∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），CG=3﹣， 在Rt△PCG中，PC===3（﹣1），∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，3﹣3 ）， 設(shè)直線PE的解析式為：y=kx+b， 則，解得：， ∴直線PE的解析式為y=x﹣3．(4)①如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在x軸的負(fù)半軸上時(shí)， ∵AG=MG，點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，3），∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（0，﹣3）．②如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在EP的延長線上時(shí)， 由（3），可得∠AGO=∠PGC=60176。247。；最后確定出P、G兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷出直線PE的解析式．(4)根據(jù)題意，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)M在x軸的負(fù)半軸上時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)M在EP的延長線上時(shí)；根據(jù)以M、A、G為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求出M點(diǎn)坐標(biāo)是多少即可．試題解析：(1)在Rt△AOG和Rt△ADG中，（HL） ∴△AOG≌△ADG．(2)在Rt△ADP和Rt△ABP中，∴△ADP≌△ABP， 則∠DAP=∠BAP；∵△AOG≌△ADG， ∴∠1=∠DAG； 又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90176?！螮AF=∠BAD時(shí)，EF=BE+DF．考點(diǎn)：四邊形綜合題．15．如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，3）．將正方形ABCO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α（0176。至△ADE′，如圖（2），連結(jié)E′F，∴∠EAE′=120176。則點(diǎn)F、D、E′不共線，所以DE′+DF＞EF，即由BE+DF＞EF；（2）把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BAD的度數(shù)至△ADE′，如圖（3），根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE′=AE，∠EAF=∠E′AF，然后利用“SAS”證明△AEF≌△AE′F，得到EF=E′F，由于∠ADE′+∠ADC=180176。至△ADE′，點(diǎn)F、D、E′在一條直線上．∴∠E′AF=90176。=176。．若△PEC為等腰三角形，則EP=EC．∴∠EPC=∠ECP=45176。．∵PE⊥PB即∠BPE=90176。BC=FC，所以△ABC≌△DFC，從而△ABC與△DFC的面積相等；（2）延長BC到點(diǎn)P，過點(diǎn)A作AP⊥BP于點(diǎn)P；過點(diǎn)D作DQ⊥FC于點(diǎn)Q．得到四邊形ACDE，BCFG均為正方形，AC=CD，BC=CF，∠ACP=∠DCQ．所以△APC≌△DQC．于是AP=DQ．又因?yàn)镾△ABC=BC?AP，S△DFC=FC?DQ，所以S△ABC=S△DFC；（3）根據(jù)（2）得圖中陰影部分的面積和是△ABC的面積三倍，若圖中陰影部分的面積和有最大值，則三角形ABC的面積最大，當(dāng)△ABC是直角三角形，即∠C是90度時(shí)，陰影部分的面積和最大．所以S陰影部分面積和=3S△ABC=334=18．（1）證明：在△ABC與△DFC中，∵，∴△ABC≌△DFC．∴△ABC與△DFC的面積相等；（2）解：成立．理由如下：如圖，延長BC到點(diǎn)P，過點(diǎn)A作AP⊥BP于點(diǎn)P；過點(diǎn)D作DQ⊥FC于點(diǎn)Q．∴∠APC=∠DQC=90176?！郆F=AB=，AF=，∴D39。2=D39。=60176。即可判定四邊形AMFN是矩形；（3）分兩種情況：①以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形ABCD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60176。而∠ECD+∠DEC=90176。C，∠B＝∠B39?；?5176。；Ⅱ、當(dāng)AN=ON時(shí)，∴∠NAO=∠AON=45176。∴α=90176。∵四邊形OEFG是正方形，∴OG′=OE′，∠E′OG′=90176。），若△AON是等腰三角形，請直接寫出α的值．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）176?！郃B=AD=DC=BC，∠BAC=∠DAC=60176。∠ADC＝90176?！唷螹IJ+∠BIF＝120176?！唷螦DB＝30176。=45176。﹣45176。；②點(diǎn)E為DF的中點(diǎn)時(shí)，P也為BC的中點(diǎn)，理由如下：如圖1，連接BE交AF于點(diǎn)O，作EG∥AD，得EG∥BC，∵EG∥AD，DE=EF，∴EG=AD=1，∵AB=AE，∴點(diǎn)A在線段BE的垂直平分線上，同理可得點(diǎn)P在線段BE的垂直平分線上，∴AF垂直平分線段BE，∴OB=OE，∵GE∥BP，∴∠OBP=∠OEG，∠OPB=∠OGE，∴△BO