關(guān)于冪零矩陣的幾個(gè)注記-文庫吧在線文庫
【正文】 引理 8 如果 A 是 一個(gè) nn? 矩陣 ， rank( ) 1A ? 時(shí) ， 則 （ 1）1212( , , , )nnaaA b b ba?????????????； （ 2） 2A kA? ． 證明 （ 1） 因?yàn)?rank( ) 1A ? ， 所以 存在可逆矩陣 ,PQ使得 1000PAQ ???????， 即 1 1 1 111 0 0 ( 1 , 0 , , 0)000A P Q P Q? ? ? ?????????????????????， 若記121100 naaPa???????????????????????? ??， 1 12(1 , 0 , , 0) ( , , , )nQ b b b? ?，則1212( , , , )nnaaA b b ba?????????????． （ 2）由（ 1）所證，記1niiik ab???，則 6 1 1 12 2 221 2 1 2 1 21( , , , ) ( , , , ) ( ) ( , , , )nn n i i nin n na a aa a aA b b b b b b a b b b ba a a?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? 1212( , , , )nnaak b b b kAa??????????????． 引理 9[2] 對(duì)任何 n 階矩陣 ,AB，有 tr( ) 0AB BA??． 3 幾個(gè)注記 n? 冪零矩陣的一個(gè)命題 在 本節(jié)，我們將把引言部分題目中蘊(yùn)涵的結(jié)論進(jìn)行推廣，給出一個(gè) 一般性命題 ： 定理 1 設(shè) A 是 n 階矩陣， 1? 是 n 維非零列向量，如果 0nA? ， 1 0nA? ? ，并且線性方程組 1 1nAx?? ? 有解，則 （Ⅰ）對(duì)任一 1 in?? ，線性方程組 1iAx?? 均有解； （Ⅱ）記 1iAx?? 的任一解為 1i?? ， 1, 2, , 1in??，那么 12, , , n? ? ? 線性無關(guān)． 證明 （Ⅰ）根據(jù)題設(shè) ， 線性方程組 1 1nAx?? ? 有解，設(shè) ? 為它的一個(gè)解，即 1 1nA ??? ? ．則對(duì) 1 in?? ，由 1 1()i n iAA ???? ? ，知 1niA ??? 是線性方程組 1iAx?? 的一個(gè)解； （Ⅱ） 根據(jù)（Ⅰ）中的 11 0nA?????，由引理 3 得 2 2 1, , , , ,nnA A A A? ? ? ? ???線性無關(guān)． 首先考慮線性方程組 1Ax?? 的通解：由引理 4 知 rank( ) 1An??，由于 2nA??是它的一個(gè)特解，而 1nA?? 是齊次線性方程組 0Ax? 的一個(gè)非零解，它構(gòu)成 0Ax?的一個(gè)基礎(chǔ)解系，故線性方程組 1Ax?? 的任一解 2? 可表為形式 7 122 21 nnk A A? ? ????? 再考慮線性方程組 2 1Ax?? 的通解：由 2rank( ) 2An??，由于 3nA?? 是它的一個(gè)特解，而 12,nnAA????是齊次線性方程組 2 0Ax? 的一個(gè)線性無關(guān)的解，它構(gòu)成2 0Ax? 的一個(gè)基礎(chǔ)解系，故線性方程組 2 1Ax?? 的任一解 3? 可表為形式 1 2 33 31 32n n nk A k A A? ? ? ?? ? ?? ? ? 類似的，有 1 2 3 44 4 1 4 2 4 3n n n nk A k A k A A? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ?，?，?，?，?，?，? 121 2 , 1nnn n n n nk A k A k A? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? 由于 12, , , ,nnA A A? ? ? ??? 線性無關(guān)，由引理 5 即得 12, , , n? ? ? 也線性無關(guān)． 注 1 根據(jù) 定理 1 及證明，該類解答題的制作思路是：取 1 1000nEA P P? ???? ????，其中 P 為任意可逆矩陣，而 1? 為矩陣 1 1000EPP???????的所有列向量的線性組合 ，它們就可以保證定理 1 中的線性方程組有解，且 12, , , n? ? ? 線性無關(guān)． 冪零矩陣的伴隨陣 問題 在《數(shù)學(xué)研究與評(píng)論》期刊 2020 年第 2 期 發(fā)表了 賈利新博士 的 “ Several Properties of Idempotent and Nilpotent Matrices” 一文 ， 該文證明了任何 m? 冪零陣的伴隨矩陣或者是 2冪零陣，或者是零矩陣 ． 即下面的 定理 2[3] 設(shè)
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