【正文】 xoz 平面上的投影方程是 ______ _ _____ ___ ；4 、 方程組???????3215xyxy在平面解析幾何中表示 _____ _ ；5 、 方程組????????319422yyx在平面解析幾何中表示 _____ __ ___ ___ ，在空間解析幾何中表示 _____ _____ __ _ _ _ ；練 習(xí) 題 6 、旋轉(zhuǎn)拋物面22yxz ?? ( 40 ?? z ) 在 xoy 面的投影為 _____ _____ ， 在 y oz 面的投影為 _____ _____ __ ， 在 z o x 面上的投影為 _____ _____ .二、 畫出下列曲線在第一卦限的圖形：1 、????????0422yxyxz2 、???????222222azxayx三、 將曲線???????xyzyx 9222 化為參數(shù)方程．四、 求螺旋線???????????bzayaxs inc o s在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線的直角坐標(biāo)方程 .五、 求 由 上 半 球 面222yxaz ??? , 柱面022??? axyx 及平面 0?z 所圍成的立體，在xo y 面和 xoz 面上的投影 .一、 1 、???????09102xzy； 2 、 1623,1632222???? zxzy ；3 、????????0032422yxzx；4 、兩直線的交點(diǎn) , 兩平面的交線；5 、橢圓與其一切線的交點(diǎn) , 橢圓柱面 19422??yx與其切平面 3?y 的交線；6 、 4,4,42222?????? zxzyyx .練習(xí)題答案 三、????????????tztytxs in3co s23co s23, )20( ??? t .四、??????0222zayx,???????0a r c s inxaybz,???????0a r c co syaxbz.五、 0,0,。4)2( 22 ?? yx.1)3( ?? xy思考題解答 平面解析幾何中 空間解析幾何中 2?x422 ?? yx1?? xy平行于 y 軸的直線平行于 y o z 面的平面圓心在 )0,0( ，半徑為 2 的圓以 z 軸為中心軸的圓柱面斜率為 1的直線 平行于 z 軸的平面方程 一、 填空題：1 、 與 Z 軸和點(diǎn) )1,3,1( ?A 等距離的點(diǎn)的軌跡方程是__ __ __ __ __ _ __ ；2 、 以點(diǎn) )1,2,2( ?O 為球心，且通過坐標(biāo)原點(diǎn)的球面方程是 ________ _____ __ ；3 、 球面： 07442222??????? zyxzyx 的球心是點(diǎn) ________ ___ ，半徑 ?R _______ ___ ；4 、 設(shè)曲面方程22ax+22by+22cz=1 ，當(dāng)ba ?時(shí)，曲面可由xoz 面上以曲線 __ __ __ _ __ __ _ __ __ 繞 __ _ __ __ 軸旋轉(zhuǎn)面成，或由y oz面上以曲線 __ __ __ __ _ __ ____ 繞 __ __ _ __ _ 軸旋轉(zhuǎn)面成 。4 、已知空間直角坐標(biāo)系下，立方體的 4 個(gè)頂點(diǎn)為 ),( aaaA ??? ， ),( aaaB ?? ， ),( aaaC ?? 和 ),( aaaD ，則其余頂點(diǎn)分別為 _____ ____ ， ____ _ ______ _ __ ， ______ ____ ， ____ _____ 。 B:Ⅴ 。)()()( kbajbaiba zzyyxx ??? ??????。2222?????? zxaaxzaxyx .一、平面的點(diǎn)法式方程 二、平面的一般方程 三、兩平面的夾角 四、小結(jié) 思考題 xyzo0M M 如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的 法線向量 ． 法線向量的 特征 ： 垂直于平面內(nèi)的任一向量． 已知 },{ CBAn ?? ),( 0000 zyxM設(shè)平面上的任一點(diǎn)為 ),( zyxMnMM ??0必有 ? 00 ?? nMM ?n?},{ 0000 zzyyxxMM ?????0)()()( 000 ??????? zzCyyBxxA平面的點(diǎn)法式方程 平面上的點(diǎn)都滿足上方程，不在平面上的點(diǎn)都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形． 其中法向量 },{ CBAn ?? 已知點(diǎn) ).,( 000 zyx例 1 求過三點(diǎn) )4,1,2( ?A 、 )2,3,1( ??B 和)3,2,0(C 的平面方程 .解 }6,4,3{ ???AB}1,3,2{ ???AC取 ACABn ??? },1,9,14{ ??所求平面方程為 ,0)4()1(9)2(14 ?????? zyx化簡(jiǎn)得 .015914 ???? zyx例 2 求過點(diǎn) )1,1,1( ，且垂直于平面 7??? zyx 和051223 ???? zyx 的平面方程 .},1,1,1{1 ??n? }12,2,3{2 ??n?取法向量 21 nnn ??? ?? },5,15,10{?,0)1(5)1(15)1(10 ?????? zyx化簡(jiǎn)得 .0632 ???? zyx所求平面方程為 解 由平面的點(diǎn)法式方程 0)()()( 000 ?????? zzCyyBxxA0)( 000 ??????? CzByAxCzByAxD?0???? DCzByAx 平面的一般方程 法向量 }.,{ CBAn ??平面一般方程的幾種特殊情況： ,0)1( ?D 平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)； ,0)2( ?A ?????,0,0DD 平面通過 軸； x平面平行于 軸； x,0)3( ?? BA 平面平行于 坐標(biāo)面； xoy類似地可討論 情形 . 0,0 ???? CBCA0,0 ?? CB類似地可討論 情形 . 例 3 設(shè)平面過原點(diǎn)及點(diǎn) )2,3,6( ? ，且與平面824 ??? zyx 垂直，求此平面方程 .設(shè)平面為 ,0???? DCzByAx由平面過原點(diǎn)知 ,0?D由平面過點(diǎn) )2,3,6( ? 知0236 ??? CBA},2,1,4{ ??n?? 024 ???? CBA,32 CBA ????.0322 ??? zyx所求平面方程為 解 例 4 設(shè)平面與 zyx , 三軸分別交于 )0,0,( aP 、)0,0( bQ 、 ),0,0( cR （其中 0?a ， 0?b ， 0?c ），求此平面方程 .設(shè)平面為 ,0???? DCzByAx將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得 ???????????,0,0,0DcCDbBDaA? ,aDA ?? ,bDB ?? .cDC ??解 ,aDA ?? ,bDB ?? ,cDC ??將 代入所設(shè)方程得 1??? czbyax 平面的截距式方程 x 軸上截距 y 軸上截距 z 軸上截距例 5 求平行于平面 0566 ???? zyx 而與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體體積為一個(gè)單位的平面方程 .設(shè)平面為 ,1??? czbyaxxyzo,1?V? ,12131 ??? abc由所求平面與已知平面平行得 ,611161cba ??（向量平行的充要條件） 解 ,61161 cba ??化簡(jiǎn)得 令 tcba ??? 61161,61ta ?? ,1tb ? ,61tc ?ttt 61161611 ?????代入體積式 ,61?? t,1,6,1 ???? cba.666 ??? zyx所求平面方程為 定義 （通常取銳角） 1?1n?2?2n? ?兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角 . ,0: 11111 ????? DzCyBxA,0: 22222 ????? DzCyBxA},{ 1111 CBAn ??},{ 2222 CBAn ??按照兩向量夾角余弦公式有 222222212121212121 ||c osCBACBACCBBAA?????????兩平面夾角余弦公式 兩平面位置特征： 21)1( ??? 。2)1( ?x 。1,3,2d________4,3,2c________4,3,2b_________3,2,1 a在；在；在；在、?????；軸的對(duì)稱點(diǎn)是，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是軸，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)是，關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)是關(guān)于平面、點(diǎn)_________________________________________,________)1,2,3(2zyxz o xyo zxoyp ??一、填空題 練習(xí)題 3 、點(diǎn) )5,3,4( ?A 在 xo y 平面上的射影點(diǎn)為 _____ ____ __ , 在 y oz 面上的射影點(diǎn)為 ____ ______ ，在 z o x 軸上的射影點(diǎn)為 ___ ______ ，在 軸上x 的射影 點(diǎn)為 ______ __ ，在 軸上x 的射影點(diǎn)為 ______ ，在 軸上z 的射影點(diǎn)為 __ _____ 。 C:Ⅷ 。)()()( kbajbaiba zzyyxx ??? ??????.)()()( kajaia zyx ??? ??????解 },{ 111 zzyyxxAM ????},{ 222 zzyyxxMB ????設(shè) ),( zyxM 為直線上的點(diǎn)， 例 2 設(shè) ),(111zyxA 和 ),(222zyxB 為兩已知點(diǎn)，而在 AB 直線上的點(diǎn) M 分有向線段 AB 為兩部分 AM 、 MB ，使它們的值的比等于某數(shù))1( ???? ，即 ??MBAM，求分點(diǎn)的坐標(biāo) .ABMxyzo由題意知： MBAM ??},{ 111 zzyyxx ??? },{ 222 zzyyxx ???? ?1xx ? )( 2 xx ?? ?1yy ? )( 2 yy ?? ?1zz ? )( 2 zz ?? ?,1 21 ?????? xxx,1 21 ?????? yyy,1 21 ?????? zzzM 為有向線段 AB 的 定比分點(diǎn) .M 為中點(diǎn)時(shí)，,2 21 xxx ?? ,2 21 yyy ?? .2 21 zzz ??非零向量 的 方向角 ： a?非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角 . ? 、 ? 、 ?,0 ????,0 ????.0 ????xyzo?1M? 2M???xyzo?1M? 2M???由圖分析可知 ?c o s|| aa x ???c o s|| aa y ???c o s|| aa z ??向量的方向余弦 方向余弦通常用來表示向量的方向 . 222||zyx aaaa ????P QR向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示式 21212121 RMQMPMMM ???0222 ??? zyx aaa當(dāng) 時(shí)， ,c o s 222zyxxaaaa????,c o s 222zyxyaaaa????.c o s 222zyxzaaaa????向量方向余弦的坐標(biāo)表示式 1c o sc o sc o s 222 ??? ???方向余弦的特征 0a|| aa???}.c os,c os,{c os ????特殊地：?jiǎn)挝幌蛄康姆较蛴嘞覟? 例 3 求平行于向量 kjia????676 ??? 的單位向量的分解式 .解 所求向量有兩個(gè)，一個(gè)與 同向，一個(gè)反向 a?222 )6(76|| ??