第2章-23-232拋物線的幾何性質(zhì)-文庫吧在線文庫
【正文】 ＝－ 4 x . 忽略特殊直線致誤 求過定點 P ( 0 , 1 ) ，且與拋物線 y2＝ 2 x 只有一個公共點的直線方程． 【錯解】 設(shè)直線方程為 y ＝ kx ＋ 1 ， 由????? y ＝ kx ＋ 1y2＝ 2 x得 k2x2＋ 2( k － 1) x ＋ 1 ＝ 0. 當(dāng) k ＝ 0 時，解得 y ＝ 1 ， 即直線 y ＝ 1 與拋物線只有一個公共點； 當(dāng) k ≠ 0 時， Δ ＝ 4( k － 1)2－ 4 k2＝ 0 ，解得 k ＝12， 即直線 y ＝12x ＋ 1 與拋物線只有一個公共點． 綜上所述，所求的直線方程為 y ＝ 1 或 y ＝12x ＋ 1. 【錯因分析】 本題直接設(shè)出了直線的點斜式方程，而忽視了斜率不存在的情況，從而導(dǎo)致漏解． 【防范措施】 在解直線與拋物線的位置關(guān)系時，往往直接把直線方程設(shè)成點斜式方程，這樣就把范圍縮小了，而應(yīng)先看斜率不存在的情況是否符合要求，直線斜率為 0 的情況也容易被忽略，所以解決這類問題時特殊情況要優(yōu)先考慮，畫出草圖是行之有效的方法． 【正解】 如圖所示，若直線的斜率不存在， 則過點 P ( 0 , 1 ) 的直線方程為 x ＝ 0 ，由????? x ＝ 0y2＝ 2 x得????? x ＝ 0y ＝ 0 ， 即直線 x ＝ 0 與拋物線只有一個公共點． 若直線的斜率存在， 則由錯解可知， y ＝ 1 或 y ＝12x ＋ 1 為所求的直線方程． 故所求的直線方程為 x ＝ 0 或 y ＝ 1 或 y ＝12x ＋ 1. 1 ．討論拋物線的幾何性質(zhì)，一定要利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；利用幾何性質(zhì)，也可以求出拋物線的方程． 2 ．解決焦點弦問題時，拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用，求焦點弦長，一般不用弦長公式． 3 ．直線和拋物線的位置關(guān)系問題的通法與橢圓、雙曲線一樣，即聯(lián)立方程消未知數(shù)，產(chǎn)生一元二次方程，用判別式 Δ 、根與系數(shù)關(guān)系解決問題． 1 ． 若拋物線 y2＝ 2 px 的焦點與雙曲線x22－y22＝ 1 的右焦點 重合，則 p 的值為 ( ) A ．－ 2 B ． 2 C ．－ 4 D ． 4 【解析】 雙曲線x 22 －y 22 ＝ 1 的右焦點為 ( 2 , 0 ) ，所以拋物線 y2＝ 2 px 的焦點為 ( 2 ,0 ) ，則 p ＝ 4. 【答案】 D 2 ．頂點在原點，對稱軸是 y 軸，并且頂點與焦點的距離等于3 的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 ( ) A ． x2＝ 177。24， ∴ P????????18， 177。6 y 【解析】 依題意，p2 ＝ 3 ， ∴ p ＝ 6. ∴ 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x 2 ＝ 177。????????p23 y B ． y2＝ 177。24. 課后知能檢測 (十三 ) 點擊圖標(biāo)進入 … 已知拋物線 y2＝ 2 x ， ( 1 ) 設(shè)點 A 的坐標(biāo)為 (23， 0) ，求拋物線 上距離點 A 最近的點 P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離 | PA |； ( 2 ) 在拋物線上求一點 P ，使 P 到直線 x － y ＋ 3 ＝ 0 的距離最短，并求出距離的最小值． 【解】 ( 1 ) 設(shè)拋物線上任一點 P 的坐標(biāo)為 ( x ， y ) ， 則 | PA |2＝????????x －232＋ y2＝????????x －232＋ 2 x ＝????????x ＋132＋13. ∵ x ≥ 0 ，且在此區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞增， ∴ 當(dāng) x ＝ 0 時，
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