【正文】 線所在直線的方程。因為點在圓P上， 所以 設(shè)，則 當，即，且，y取最大值2．【注】對于形如的函數(shù)，可采用三角代換法求最值，令，則，于是有：。 （2）直線AP與橢圓在B點處的切線交于點D，當點P運動時，試判斷直線PF（F為橢圓C的右焦點）與以線段BD為直徑的圓的位置關(guān)系，證明你的結(jié)論。 ②若 ，即，則有， 所以直線PF的方程為 。所以 橢圓C的方程為 （2）因為點Q、R在橢圓上，所以即 ， 由已知，線段QR的中點坐標為，所以線段QR的中垂線方程為， 令，得：，所以RQ的中垂線交x軸的交點為設(shè)，則設(shè)直線，與橢圓聯(lián)立可得:令，則函數(shù) 在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以從而，故GBAD3【例8】（2011山東文22）在平面直角坐標系中，斜率為且不過原點的直線交橢圓于，兩點，線段的中點為，射線交橢圓于點，交直線于點.（1）求的最小值；（2）若?，①求證：直線過定點；②試問點B，能否關(guān)于軸對稱？若能，求出此時的外接圓方程；若不能，請說明理由.【解】（1）由題意:設(shè)直線,由 消去y，得: ,設(shè)A、B,AB的中點E,則由韋達定理得: =,即,所以中點E的坐標為E,因為O、E、D三點在同一直線上，所以，即，解得，所以=,當且僅當時取等號,即的最小值為2.（2）①由題意知：m 0，直線OD的方程為,所以由 得交點G的縱坐標為,易知：， ，因為 ， 所以有：,又由（Ⅰ）知: ，所以，于是直線l的方程為,即有，所以直線l過定點（1，0）.②假設(shè)點B，G能關(guān)于軸對稱。（2）設(shè)橢圓C的右準線l與x軸交于點D，求的面積的最大值，并求出當面積最大時的正切值。 當面積最大時，t = 1，即k = 0，此時軸， 所以.【例11】（2009湖南卷）已知橢圓C的中心在原點，焦點在軸上，以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形是一個面積為8的正方形（記為Q）.（1）求橢圓C的方程。聯(lián)立，因為，所以直線與橢圓沒有交點。 故E點的軌跡方程為（，） （2）設(shè)直線的方程分別為（h 1） 因為，所以。所以 令，則 （1）當時，. 當且僅當時取等號，所以（2）當時，函數(shù)在上遞增，所以當，即時，取得最小值且、【例15】已知直線l過拋物線的焦點F，交拋物線與A,，B兩點，C是拋物線的準線上任一點 （1）證明：不可能為鈍角 （2）是否存在這樣的點C，使得 為正三角形？若存在，求點C 的坐標，若不存在，說明理由。于是，易知。 聯(lián)立，消去y，得： 因為直線與拋物線相切，所以，即 。 （2）由已知：直線MN和直線PQ都經(jīng)過橢圓的右焦點，且直線MN和直線PQ互相垂直。 （2）設(shè)，由得：，所以。 設(shè)，則有。 【專題演練之基本訓練題】1．已知橢圓的焦點是FF2，P是橢圓上的一個動點，如果延長F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么動點Q的軌跡是（　?。〢．圓 B．橢圓 C．雙曲線的一支 D．拋物線2．設(shè)FF2為橢圓＋y2＝1的左、右焦點，過橢圓中心任作一直線與橢圓交于P、Q兩點，當四邊形PF1QF2面積最大時， （3）由已知， 。 （2）設(shè)直線l的方程為，且設(shè)， 聯(lián)立，消去x，得：， 則有， 又由韋達定理得：。 （2）①由（1）知：，設(shè)，則，所以?！綞6】在平面直角坐標系內(nèi)，已知兩點、若將動點的橫坐標保持不變，縱坐標擴大到原來的倍后，得到點，且滿足.（1）求動點P所在曲線C的方程；（2） 過點B作斜率為的直線l交曲線C于M、N兩點，且，又點H關(guān)于原點O的對稱點為點G，試問: M、G、N、H四點是否共圓？若共圓，求出圓心坐標和半徑；若不共圓，請說明理由.【解】（1）設(shè)點P的坐標為，則點Q的坐標為，依據(jù)題意，有. .動點P所在曲線C的方程是（2）因直線l過點B，且斜率為，故有 聯(lián)立方程組，消去y，得 設(shè)，可得:，于是 又，得，即而點G與點H關(guān)于原點對稱， 于是，可得點。（4）過點F作兩條互相垂直的直線，與曲線E交于A、B兩點，與曲線E交于C、D兩點，設(shè)M、N分別是AB、CD的中點，試判斷直線MN是否過定點？并證明你的結(jié)論。 將、代入，并整理得：。 （5）由（4）得：直線 MN過定點 所以，當且僅當，即時取等號。設(shè)， 聯(lián)立，消去x得： 由韋達定理得：，從而，即。設(shè)， 聯(lián)立，消去x得：，所以。 【E7】（2012預測題 原創(chuàng)題）已知圓過定點，與直線相切，圓心的軌跡E與直線交于P、Q兩點。若成立，則 或 。令，則。【解】（1）由已知條件①、②可得：G、M兩點分別是的重心和外心。 17. －1?！咀ⅰ吭诮馕鰩缀螁栴}中，對于同一直線上兩條線段的比，通常用端點坐標之差的絕對值的比來表示。 因為點P在直線上，所以。聯(lián)立，消去x，得：，設(shè)，則，從而， 于是?！纠?8】（2012 山東實驗中學）已知橢圓的長軸長為4，離心率為；一動圓經(jīng)過橢圓的右焦點，且與直線相切，記動圓圓心的軌跡為。故S的最小值為32， 【例17】（2012年威海一模）已知橢圓（0＜b＜2）的離心率等于拋物線（p＞0）的焦點F在橢圓內(nèi)部，且到短軸端點的距離為。 【另證】由拋物線的性質(zhì)可知：以焦點弦AB為直徑的圓一定和拋物線的準線相切，而點C為準線上任一點，所以點C在圓外或圓上，故為銳角或直角，不可能為鈍角。 ③直線分別經(jīng)過左、右頂點： 則有。 （2）若過點H（0，h）（h 1）的兩條直線與（1）中的軌跡都只有一個交點，且，求h的值。（1）求橢圓的方程；（2）求線段MN的長度的最小值；（3）當線段MN的長度最小時，在橢圓上是否存 在這樣的點T，使得的面積為？若存在，確定點T的個數(shù)，若不存在，說明理由。故直線的交點在橢圓右準線上。 因此 。 （3）由（1）知：橢圓的右準線為，所以由（2）知：， 又 于是， 所以，所以為銳角， 從而為鈍角，故點B 在以PQ為直徑的圓的內(nèi)部。 設(shè)直線AP的方程為：，則有：。F1到直線的距離為2． （1）求橢圓C的焦距； （2）如果，求橢圓C的方程．【解】（1）設(shè)焦距為2c，直線的方程為由已知可得：F1到直線的距離為d = 所以橢圓C的焦距為4． （2）設(shè)， 由（1）知：橢圓C的方程可化為，直線l的方程為 聯(lián)立 ，消去x，得：由韋達定理得： 因為 ③從①②③中消去，求得：?！咀ⅰ咳鬙C平分AOB，則【例2】（2010 北京）已知橢圓C的左、右焦點坐標分別是，離心率是，直線與橢圓C交于不同的兩點，以線段為直徑作圓P，圓心為P。設(shè)，若共線，則利用直線方程將換成（或?qū)Q成），通分后令分子為0，可使所得方程中僅含有（或僅含有）。此外還有定義法（主要是利用圓錐曲線的定義），相關(guān)點法，參數(shù)法，幾何法等。 （4）利用基本不等式：基本不等式的應用，往往需要創(chuàng)造條件，并進行巧妙的構(gòu)思。處理的方法有：（1）利用基本不等式；（2）考察函數(shù)的單調(diào)性；（3）利用導數(shù)法；（4）利用判別式法。（2）點差法：設(shè)交點為及AB的中點，將A、B兩點的坐標代人圓錐曲線方程，作差變形，可得：，即，再由題設(shè)條件，求中點坐標，根據(jù)問題的條件和要求列式。 解這類問題時，要盡可能地結(jié)合圖形，依據(jù)定義，多從幾何角度思考問題。1. 求圓錐曲線的標準方程 先判斷焦點的位置，設(shè)出相應圓錐曲線的方程，再根據(jù)已知條件和圓錐曲線的性質(zhì)列方程（組）（如求橢圓方程，就是根據(jù)條件和性質(zhì)列出關(guān)于a、b、c的方程組），求出待定參數(shù)。（2）拋物線的補充性質(zhì)： ⑴ 設(shè)A、B是拋物線上兩動點，且滿足，（O為坐標原點），則直線AB經(jīng)過軸上的定點。.⑦ 設(shè)ABCD是橢圓的內(nèi)接矩形，則矩形ABCD的最大面積為.⑧已知點P在橢圓上，設(shè)，則焦點三角形的面積。一、圓錐曲線的常用性質(zhì)1. 關(guān)于橢圓的補充性質(zhì)（常在解題中遇到）：① 經(jīng)過焦點或的橢圓的弦，當軸時，最短，且 ② 過焦點的直線交橢圓于P、Q兩點，點M是軸上一定點，則當軸時，的面積最大。2. 從命題內(nèi)容上看，主要考查求圓錐曲線的標準方程、求動