常微分方程的初等解法畢業(yè)論文-文庫(kù)吧在線文庫(kù)
【正文】 方程。： 常微分方程的概念、解法、和其它理論很多，比如，方程和方程組的種類及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理論等等。、變量分離方程法形如，（）的方程，稱為變量分離方程，這里的，分別是x，y的連續(xù)函數(shù)。 將上式分離變量，既有 ， 兩邊積分，得到 ，（為任意常數(shù)）整理，得到 ，令，得到 將代入上式，得到方程的通解為 (2)形如,()的方程也可以經(jīng)變量變換化為變量分離方程，均為常數(shù)。則（）化為從而（）變?yōu)?，（）。若，（）稱為一階非其次線性微分方程。若方程不能化為（）形式，可將x看作y的函數(shù)，再看是否為（）形式。利用公式（）例5 方程就可以用“分項(xiàng)組合” 方法來(lái)求解。假如條件成立，則根據(jù)方程，可知求得方程的一個(gè)積分因子是。例8 解方程 。解: 由于，所以原方程不是恰當(dāng)方程。但是，從微積分學(xué)中知道，在滿足某些條件下，可以用冪級(jí)數(shù)來(lái)表示一個(gè)函數(shù)。(1) 是方程的解，這里 是待定常數(shù)，由此我們有將的表達(dá)式代入方程，并比較的同次冪的系數(shù)，得到： ，由，得，利用數(shù)學(xué)歸納法可以 推得，一般地，代入(1)得 這就是所求的解。高階常微分方程的初等解法 高階常微分方程的初等解法主要包括齊次線性微分方程、非齊次線性微分方程與常數(shù)變易法、常系數(shù)線性微分方程的解法。 即：得：y=C1ln|x|+C2 為原方程之通解(C1,C2為任意實(shí)數(shù))例2 求方程 例4 方程就是單根的情況 解 特征方程的根為。根據(jù)電學(xué)知識(shí)，電流I經(jīng)過(guò)R,L,C的電壓降分別為RI, 和，其中Q為電量，它與電流的關(guān)系為,根據(jù)基爾霍夫（kirchhoff）第二定律：在閉合回路中，所有支路上的電壓代數(shù)和等于零。質(zhì)（）。三年的求學(xué)生涯在師長(zhǎng)、親友的大力支持下，走得辛苦卻也收獲滿囊，在論文即將付梓之際，思緒萬(wàn)千，心情久久不能平靜。 最后再一次感謝所有在畢業(yè)設(shè)計(jì)中曾經(jīng)幫助過(guò)我的良師益友和同學(xué)，以及在設(shè)計(jì)中被我引用或參考的論著的作者。授人以魚不如授人以漁，置身其間，耳濡目染，潛移默化，使我不僅接受了全新的思想觀念，樹立了宏偉的學(xué)術(shù)目標(biāo)，領(lǐng)會(huì)了基本的思考方式，從論文一次感謝所有在畢業(yè)設(shè)計(jì)中曾經(jīng)幫助過(guò)我的良師益友和同學(xué)，以及在設(shè)計(jì)中被我引用或參考的論著的作者。當(dāng)要確定擺的某一個(gè)特定的運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們應(yīng)該給出擺的初始狀態(tài)：當(dāng)t=0時(shí)，（）。如果當(dāng)時(shí)有，而電源突然短路，即E=0且保持不變，此時(shí)方程（）變?yōu)?()初值條件為（）。 解 特征方程有根，因此，方程的通解為 ，其中 ，為任意常數(shù)。即非+齊=非。我們稱它為n階齊次線性微分方程，簡(jiǎn)稱齊次線性微分方程?！ ? 解: 解:解法3 將看作未知函數(shù)，原方程可化為線性方程 ，從而可就進(jìn)行求解。令,，則 ，所以該方程為恰當(dāng)方程。解： 經(jīng)判斷 ，所以該方程不是恰當(dāng)方程。可以證明，只要方程有解存在，則必有積分因子存在，并且不是唯一的。容易驗(yàn)證恰當(dāng)微分方程的通解就是,這里的c為任意常數(shù)。即，積分后得到，這里的是任意常數(shù)。 例3 方程就可以用上述方法來(lái)求
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