【正文】 2ttXtE ???????? ?23t?76 77 三、 隨機信號的積分 1. 確定信號的積分 對于確定性函數(shù) ， )(xf? ?????baniii xfdxxf10)(lim)( ??其中 ， 1???? iii xxx ? ? nix i , . . . . ,2,1,m a x ????三、積分 78 2. 隨機信號的積分 ① 定區(qū)間 積分： 隨機信號 在 確定區(qū)間 上的積分 Y是一個隨機變量，即 ()Xt ? ?,ab?? ba dttXY )(即 0))((lim120 ??????? ?? ????niiit ttXYEi則稱 為隨機信號 在 上的均方積分。39。 t 1t 2t nt??1t ??2t??nt嚴(yán)平穩(wěn)隨機信號的統(tǒng)計特性與時間起點無關(guān) 。,( 21212121 ?? ??? ttxxfttxxf XX)。 嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關(guān)系： 嚴(yán)平穩(wěn)隨機信號的均方值有界，則此隨機信號為寬平穩(wěn)的，反之不成立。 ? ? ? ? tBtAtmtXtY c o ss i n)(X ????? ?? ? ? ?tBtAEtYEtm c o ss i n)(Y ??? 0?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?22112121Y c o ss i nc o ss i n),( tBtAtBtAEtYtYEttR ????? ? ? ? 212212 c o sc o ss i ns i n ttBEttAE ??? ?12c o s10 tt ?? ? ??co s10? Y(t)是平穩(wěn)隨機信號。 四、平穩(wěn)隨機信號的相關(guān)系數(shù)和相關(guān)時間 103 ?相關(guān)時間 當(dāng)相關(guān)系數(shù)中的時間間隔 τ 大于某個值 τ 0，可以認(rèn)為兩個不同時刻起伏值不相關(guān)，這個時間就稱為相關(guān)時間。 (1) 114 (2) ? ? ? ? ? ????? ????TTT dttwaTtXtXA 0c o s21lim? ? ? ?? ?TwTwTwaT 0002s i ns i nl i m ?????????TwTwaT 00s inc o slim ????0? Xm?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ????? ?????????? T TT dttwatwaTtXtXtt ??? 00 c o sc o s2 1lim,?02co s2 wa? )(?XR?X(t)是寬遍歷隨機信號。 ? 復(fù) 隨機信號的定義及數(shù)字特征的計算。 ? ? ? ? ? ?? ?? ????? ????? twbwtaEttR XY s i nc os, ?wab s in2?因此 X(t)和 Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)的。 139 性質(zhì) 4：平穩(wěn)正態(tài)隨機信號與確定信號之和仍為正態(tài)分布。 ? ??? 10 dttXY142 ???????????????????????????111162/112/32/12/1112/12/12/312/1eeeeeeeeeeeeK例 . 設(shè)平穩(wěn)正態(tài)隨機信號 X(t)的自相關(guān)函數(shù)為 ? ? 2/6 ?? ?? eR X求隨機變量 的協(xié)方差矩陣。 性質(zhì) 7： 推論： 正態(tài)隨機信號的線性變換仍為正態(tài)隨機信號。,(12122121XTXnnnX tttxxxfmXKmXK???? ? ? ? ? ? ? ?)])([( kXkiXiik tmtXtmtXEK ??????????????????nnnnnnKKKKKKKKK???????212222111211K? ? ? ??????????????????????????]))()([())]()())(()([())]()())(()([())]()())(()([())]()())(()([(])[(21122112211211nXnXnXnnXnXXXnXnXXtmtXEtmtXtmtXEtmtXtmtXEtmtXtmtXEtmtXtmtXEtmtXE??????式中 ,mX是 n維向量， K是 n維陣： 136 二 、平穩(wěn)正態(tài)隨機信號 2. 平穩(wěn)正態(tài)隨機信號的定義 若正態(tài)隨機信號滿足下列條件，則它是寬平穩(wěn)（平穩(wěn)）正態(tài)隨機信號。 設(shè)兩個平穩(wěn)隨機信號 ( ) c o s ( )X t t? ? ? ( ) s in ( )Y t t? ? ?試問： X(t)和 Y(t)是否平穩(wěn)相依 ？ 是否正交 、 不相關(guān) 、統(tǒng)計獨立 ？ 例 1 ( ) [ ( ) ] [ c os( ) ] 0Xm t E X t E t? ? ? ? ?故 KXY(τ)僅在 時等于零 ， 所以 X(t1)和 Y(t2)是相關(guān)的 ， 因而它們不是統(tǒng)計獨立的 。 6. 120 對于遍歷性隨機信號，樣本函數(shù)的時間相關(guān)函數(shù) =隨機信號的總集相關(guān)函數(shù)。 5 遍歷性和平穩(wěn)性的關(guān)系 遍歷隨機信號必定是平穩(wěn)的， 平穩(wěn)隨機信號不一定是遍歷的。 RX(τ)=（ 100cos10τ ） +（ 100e10| τ |+100） = RX1(τ)+ RX2(τ) 式中 ， RX1(τ)=100cos10τ是 X(t)中 周期分量 的自相關(guān)函數(shù) ， 此分量的均值 mx1=0。 92 ? ?? ? ? ?? ?33 c o ss i n tYtXEtZE ??? ? ? ? ? ?? ? ttXYEttYXEtYEtXE22223333c o ss i n3c o ss i n3c o ss i n????? ?? ? ? ?tttZE 333 c o ss i n2 ??? ? ? ? 233 ?? YEXE ? ? ? ? 022 ?? YXEXYE因此， Z(t)不是嚴(yán)平穩(wěn)的。(),( 21212121 ?? XXX RdxdxxxfxxttR ?? ? ???? ??? ，221 )()(),( XXXX mRKttK ??? ??89 (3)嚴(yán)平穩(wěn)的判斷 按照嚴(yán)平穩(wěn)的定義，判斷一個隨機信號是否為嚴(yán)平穩(wěn)，需要知道其 n維概率密度，可是求 n維概率密度是比較困難的。()。 ? 隨機信號遍歷性的判斷。 39。 (3)求 X(t)的均值、相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)和方差函數(shù) 解： t=0 X1=X(t=0)=A t=π/(4w0) X2=X(t= π/(4w0))=Acos(π/4) ??? ???其它,0210,2)(2xxfXt=3π/(4w0) X3=X(t= 3π/(4w0))=Acos(3π/4) ??? ????其它,0021,2)(3xxfX2A?2A?63 ? ? ? ?? ?tXEtm X ? ? ?twAE 0co s? ? ?AtEw 0co s? tw0c o s21?? ? ? ? ? ?? ?2121 , tXtXEttR X ? ? ?2022 co sco s twAtwAE?? ?22022 c o sc o s AEtwtw?2022 c o sc o s31 twtw?? ? ? ? ? ? ? ?212121 , tmtmttRttK XXXX ??20222022 c o sc o s41c o sc o s31 twtwtwtw ??2022 c o sc o s121 twtw?? ? ? ?ttKtσ XY ,2 ? tw02c o s121?例 6(課堂練習(xí) )： 設(shè)隨機信號 X(t)=Acosw0t，其中 w0為常數(shù)， A為在 (0,1)之間均勻分布的隨機變量， 64 .7 時域統(tǒng)計特性的小結(jié) 65 隨機信號的微分和積分 基本要求： ?理解隨機信號的連續(xù)、微分、積分 ?掌握隨機信號的數(shù)字特征的求微分 ? 掌握隨機信號的數(shù)字特征的求積分 66 一、連續(xù)性的定義 隨機信號的微分和積分 一、 隨機信號的連續(xù)性 1. 確定信號 f(x)的連續(xù)性 對于確定性函數(shù) ， 若 )(xf000l i m [ ( ) ( ) ] 0x f x x f x?? ? ? ? ?則 在 處連續(xù)。式中， 為常數(shù)，是區(qū)間 [0， ]上均勻分布的隨機變量。 39。11 nnY ttyyF ??),。,。 ),( 21 ttK X45 自協(xié)方差和自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系 自協(xié)方差 ?方差 ； 自相關(guān) ?均方值 221221222( , ) ( , ) [ ( ( ) ( ) ) ] [ ( ) ] ( )( , ) ( , ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ]( ) = [ ( ) ] ( ) ( )X X X XXXX X XK t t K t t E X t m t D X t tR t t R t t E X t X t E X tt E X t m t m t??? ? ? ? ?? ? ???ttt ?? 21令 則 1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( ) ( )X X X XK t t R t t m t m t? ? ?1 2 1 1 2 2( , ) [ ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ]X X XK t t E X t m t X t m t? ? ?1 2 1 2 2 1 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ] ( ) [ ( ) ] ( ) ( )X X X XE X t X t m t E X t m t E X t m t m t? ? ? ?46 設(shè)兩個隨機信號 和 ， 它們在任意兩個時刻 t1， t2的取值為隨機變量 、 ,則定義它們的互相關(guān)函數(shù)為： )(tX )(tY)( 1tX )( 2tY1 2 1 212( , ) [ ( ) ( ) ] ( , 。 ),( 21 ttR X)]()([),( 2121 tXtXEttR X ?1 2 1 2 1 2 1 2( , 。()]([)( 顯然， 是某一個平均函數(shù)，隨機信號的諸樣本在它的附近起伏變化，如圖所示： )(tmX物理意義： 如果隨機信號 X(t)是輸出電壓，則其數(shù)學(xué)期望就是某瞬時 t的輸出電壓的統(tǒng)計平均值。,( 構(gòu)成 維隨機變量 即為 n維空間的隨機矢量 X。t1,t2)=P{ X(t1)≤x1,X(t2)≤x2} 隨機信號 X(t)在時刻 t1和 t2的取值 X(t1),X(t2)，二維概率分布函數(shù) FX(x1,x2。 確定的隨機信號： 隨機信號的任意樣本函數(shù)的值能被預(yù)測。 即時間連續(xù)、幅度連續(xù)。 作觀測時， 定義 1:單次試驗所得的樣本，可得到隨機信號的統(tǒng)計特性；（樣本函數(shù) /時間函數(shù)） 理論分析時， 定義 2:多次試驗 ?多個樣本。將 n個樣本中的 t0時刻記錄值，歸攏為一個集合，則該集合 =n 維隨機變量。 1t )( 1tX(2) 離散型隨機信號： 時間 t取值連續(xù)，且對隨機信號任一時刻 的取值 都是離散型隨機變量。例如，樣本函數(shù)為正弦信號。t1,t2)可表示這兩狀態(tài)間的內(nèi)在聯(lián)系 , ，即二隨機事件 {X(t1)≤x1}和{X(t2)≤x2}同時出現(xiàn)的概率，即 隨機信號 X(t)的 二維概率分布函數(shù)。類似的，可以定義隨機信號 的 n維分布函數(shù)和 n維概率密度函數(shù)為 24 4. 概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)的性質(zhì) 定義 單調(diào)遞增性 概率分布與概率密度之間的關(guān)系： 取值范圍： 隨機序列 25 26 概率密度函數(shù)與概率分布函數(shù)的應(yīng)用 產(chǎn)品質(zhì)量控制 (生產(chǎn)設(shè)備的工作穩(wěn)定性 ) 圖 (a)：一批零件的