第9－12課時不等式問題的題型與方法-文庫吧在線文庫
【正文】 ，得到兩個不等式組，最后對兩個不等式組的解集求并集，得出原不等式的解集。f(1)≥1． ①另一方面，且由x≠x知等號不同時成立，所以由①、②得，a＞16．又a∈N，所以a≥5．說明：二次函數(shù)是一類被廣泛應(yīng)用的函數(shù)，用它構(gòu)造的不等式證明問題，往往比較靈活．根據(jù)題設(shè)條件恰當(dāng)選擇二次函數(shù)的表達(dá)形式，是解決這類問題的關(guān)鍵．{a}的首項a1＞0且Sm=Sn(m≠n)．問：它的前多少項的和最大？分析:要求前n項和的最大值，首先要分析此數(shù)列是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列．解:設(shè)等差數(shù)列{a}的公差為d，由Sm=Sn得ak≥0，且ak+1＜0．(k∈N)．說明：諸多數(shù)學(xué)問題可歸結(jié)為解某一不等式(組)．正確列出不等式(組)，并分析其解在具體問題的意義，是得到合理結(jié)論的關(guān)鍵．例6．若二次函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過原點，且1≤f(1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(2)的范圍．分析：要求f(2)的取值范圍，只需找到含人f(2)的不等式(組)．由于y=f(x)是二次函數(shù)，所以應(yīng)先將f(x)的表達(dá)形式寫出來．即可求得f(2)的表達(dá)式，然后依題設(shè)條件列出含有f(2)的不等式(組)，即可求解．解：因為y=f(x)的圖象經(jīng)過原點，所以可設(shè)y=f(x)=ax2+bx．于是解法一(利用基本不等式的性質(zhì))不等式組(Ⅰ)變形得(Ⅰ)所以f(2)的取值范圍是[6，10]．解法二(數(shù)形結(jié)合)建立直角坐標(biāo)系aob，作出不等式組(Ⅰ)所表示的區(qū)域，如圖6中的陰影部分．因為f(2)=4a2b，所以4a2bf(2)=0表示斜率為2的直線系．如圖6，當(dāng)直線4a2bf(2)=0過點A(2，1)，B(3，1)時，分別取得f(2)的最小值6，最大值10．即f(2)的取值范圍是：6≤f(2)≤10．解法三(利用方程的思想)又f(2)=4a2b=3f(1)+f(1)，而1≤f(1)≤2，3≤f(1)≤4， ①所以 3≤3f(1)≤6． ②①+②得4≤3f(1)+f(1)≤10，即6≤f(2)≤10．說明：(1)在解不等式時，要求作同解變形．要避免出現(xiàn)以下一種錯解：2b，8≤4a≤12，3≤2b≤1，所以 5≤f(2)≤11．(2)對這類問題的求解關(guān)鍵一步是，找到f(2)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，然后依其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征，揭示其代數(shù)的、幾何的本質(zhì)，利用不等式的基本性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合、方程等數(shù)學(xué)思想方法，從不同角度去解決同一問題．若長期這樣思考問題，數(shù)學(xué)的素養(yǎng)一定會迅速提高．例7．(2002 江蘇)己知，（1）（2），證明：對任意，的充要條件是；（3）討論：對任意，的充要條件。解：1)建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則P（11，）橢圓方程為：將b=h=6與點P坐標(biāo)代入橢圓方程得2)由橢圓方程,土方工程量最小.例13．已知n∈N，n＞1．求證分析:雖然待證不等式是關(guān)于自然數(shù)的命題，但不一定選用數(shù)學(xué)歸納法，觀其“形”，它具有較好規(guī)律，因此不妨采用構(gòu)造數(shù)列的方法進(jìn)行解．則說明：因為數(shù)列是特殊的函數(shù)，所以可以因問題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，利用函數(shù)的思想解決．例14．已知函數(shù)分析：本例主要復(fù)習(xí)函數(shù)、不等式的基礎(chǔ)知識，絕對值不等式及函數(shù)不等式的證明技巧。Ⅲ）設(shè)Tn=五、參考答案1．解：畫出圖象，由線性規(guī)劃知識可得，選D2．解：命題p為真時，即真數(shù)部分能夠取到大于零的所有實數(shù)，故二次函數(shù)的判別式，從而；命題q為真時。略解：Ⅰ） Ⅱ)Bn=1+3+5+…+(2n1)=n2 Ⅲ)Tn= ①②①②得又。解：原不等式化為：（1） 當(dāng)時，由圖1知不等式的解集為 （2） 當(dāng)（3） 當(dāng)4．分析：方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解密切相關(guān)，要善于把它們有機地聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化和相互交通．解(1) 由題意可知，a＞0且1，2是方程ax2+bx+a21≤0的根，所以(3)由題意知，2是方程ax2+bx+a21=0的根，所以4a+2b+a21=0． ①又{2}是不等式ax2+bx+a21≤0的解集，所以(4)由題意知，a=0．b＜0，且1是方程bx+a21=0的根，即b+a21=0，所以a=0，b=1．說明：二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式之間存在著密切的聯(lián)系．在解決具體的數(shù)學(xué)問題時，要注意三者之間相互聯(lián)系相互滲透，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換。（2）時，結(jié)論顯然成立當(dāng)時，例15．（2001年全國理）己知（1）（2）證明：（1）同理（2）由二項式定理有因此。為了保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)
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