【正文】 所以 。, 在時，由于，所以在時，由于，所以3. 三元信源的概率分別為p(0) = , p(1) = , p(2) = ，失真函數(shù)dij為：當i = j時，dij = 0；當i 185。令則然后再求二階導數(shù)，得由于是得概率密度函數(shù)且所以，即（5）式右邊為上凸函數(shù)，在的S上確極大值，有代入得 （6）由式（5）得即（2） 證明上界設(shè)信道的傳遞函數(shù)的概率為：它是已知時y的概率分布，即均值為，方差為的高斯分布，其中。令，得時，時，時，由于所以如下圖：7. 某工廠的產(chǎn)品合格率為99%，廢品率為1%。100=1元/個情況2　全部產(chǎn)品不經(jīng)檢驗全部報廢——都當廢品這時的信道傳輸概率為P(好/好)=0 P(廢/好)=1 P (好/廢)=0 P (廢/廢)=1信道矩陣為平均失真度為 　=P(好)P(好/好) d(好,好)+ P(好)P(廢/好) d(好,廢)+P(廢)P(好/廢) d(廢,好)+ P(廢)P(廢/廢) d(廢, 廢)=180。100 = (1p)元/個8. 設(shè)輸入符號表為X= {0, 1 }，輸出符號表為Y={0, 1}。所有碼字的補構(gòu)成的集合稱為此碼的補碼。13114. 證明對于一個二元線性碼L一定滿足下列條件之一：（1） 碼L中所有碼字具有偶數(shù)重量；（2） 碼L中一半的碼字具有偶數(shù)重量，另一半的碼字具有奇數(shù)重量。5. 設(shè)二元線性碼L的生成矩陣為，求碼L的最小距離。（1） 確定碼L的標準型生成矩陣；（2） 確定碼L的標準型校驗矩陣；（3） 求碼L的最小距離。(2)，線性碼中一半碼字具有偶數(shù)重量，另一半碼字具有奇數(shù)重量，于是每一列中0和1的個數(shù)相等。5. 在GF(2)上能分解成不可約因式的乘積：確定所有碼長為7的循環(huán)碼，并且準確描述這些碼的特性。 GF(25)域元素的兩種表示（本原多項式p (x) = x5+ x2 +1）1 00001 a8 01101 a16 11011 a24 11110a 00010 a9 11010 a17 10011 a25 11001a2 00100 a10 10001 a18 00011 a26 10111a3 01000 a11 00111 a19 00110 a27 01011a4 10000 a12 01110 a20 01100 a28 10110a5 00101 a13 11100 a21 11000 a29 01001a6 01010 a14 11101 a22 10101 a30 10010a7 10100 a15 11111 a23 01111 a31 00001解：由題知：m=5，n=251=31擴展的BCH(31+L, K)碼，則L=1 (即加了1為奇偶校驗位)，K=16（1）若可以糾1個錯，則g (x) = p (x) =x5+x2+1 則編碼輸出為：u (x) g (x) =（2）8. 令是 (15, 5)循環(huán)碼的生成多項式，（1） 求出該碼的校驗多項式；（2） 寫出該碼的系統(tǒng)碼形式的G和H矩陣；（3） 構(gòu)造k級編碼器。第十二章 卷積碼1. 試畫出k = 3，效率為1/3，生成多項式如下所示的編碼狀態(tài)圖、樹狀圖和網(wǎng)格圖： 解：g1(D)=D+D2，g2(D)=1+D，g3(D)=1+D+D2所以可得狀態(tài)圖如下：其中（s0:00，s1:01，s2:10，s3:11）樹狀圖如下：011000100111001010110101011111………………10網(wǎng)格圖為： 2. 假定尋找從倫敦到維也納坐船或坐火車的最快路徑，各條分支上標注的是所需時間。(2, 1, 3)碼的子生成元g (1,1) = (1 1 0 1), g (1,2) = (1 1 1 0)。試求通過選擇壓縮函數(shù)S變換后的輸出矢量。解：用解密方程將4, 20，1，5，20，5，4分別代入可得結(jié)果為4，5，1，4，5，14，46. 一個英文加密系統(tǒng)使用10個隨機字母組成的密鑰序列，計算其惟一性距離。解密密鑰d選為11，計算加密密鑰e的值。29模60=1，31180。試分析（1）a = 1，稱為加法密碼和（2）b = 0，稱為乘法密碼的特點及存在的問題。明文是一般計算機教科書中的一段話，因此也許會有“COMPUTER”這個單詞出現(xiàn)。(b) 如果質(zhì)數(shù)是p = 13, q = 31，解密密鑰d = 37，試求加密密鑰e，并加密單詞“DIGITAL”。解：（1）密鑰熵為英語的絕對碼率：r’= log2 26 = 英語實際碼率：r = 冗余：D = r’ – r = 單一性距離：N = H(K) / D = 47/ 187。如輸入M＝（101100）則輸出Y為第2行，第6列，結(jié)果為2即00102. 試用公開密鑰（e, n）=（5, 51）將報文ABE，DEAD用A = 01, B = 02, …，進行加密。8. 設(shè)有一個 (3, 2, 3) 系統(tǒng)碼的子生成元分別為：g(1, 3) (D) = 1 + D 2 + D 3, g(2, 3) (D) = 1 + D + D 3，問（1）此碼是惡性碼嗎？為什么？（2） 畫出該碼的編碼器和對偶碼的編碼器；（3） 畫出有4個分支長的樹圖；（4） 求出此碼的最小距離dm；（5） 求出此碼的自由距離。3. 。11. 構(gòu)造(15, 5, 7)碼的譯碼器，它的生成多項式g(x) = x10 + x8 +x5 + x4 + x2 + x +1，該碼能糾正3個錯誤。(4) 假設(shè)接收到的多項式為：r (x) =x27 + x26 +x25 +x19 + x17 + x16 + x14 +x12 + x8 + x6 + x3 +1出現(xiàn)了3個錯誤，接收端能檢出錯誤，但無法糾正。第十一章 循環(huán)碼1. 設(shè)p是一個素數(shù)，（1） 在GF(p)上把分解成不可約因式的乘積；（2） 在GF(p)上把分解成不可約因式的乘積。（1）（2）（3）12. 設(shè)一個二進制(n, k)碼C的G矩陣不含全零列，將C的所有碼字排成的陣，證明：（1） 陣中不含有全零列；（2） 陣中的每一列由個零和個1組成；（3） 在一特定分量上為0的所有碼字構(gòu)成C的一個子空間，問該子空間的維數(shù)是多少？（1）碼共有個碼字1．包括全零矢量；2．任意兩個碼字的和也是碼字；假設(shè)組成的陣包含一個全零列，則每個碼字重復兩次，實際只有個不同的碼字，與該碼的定義相矛盾。而1bit錯誤圖樣的個數(shù)為，又34，所以線性碼是完備的。這與情況1）相矛盾。第十章 線性分組碼1. 已知11次本原多項式p (x) = x11 + x2 + 1，試求GF(211)中元素b =a 89及b 2, b 3, b 4, b 5的最小多項式。解： 對(2, 1)碼，若d=1，能糾檢錯0個；若d=2,能檢1個錯，糾0個錯 對(3, 1)碼，若d=1，能糾檢錯0個；若d=2,能檢1個錯，糾0個錯；若d=3，能檢2個錯，糾1個錯對(4, 1)碼，若d=1，能糾檢錯0個；若d=2,能檢1個錯，糾0個錯；若d=3，能檢2個錯，糾1個錯，若d=4,能檢3個錯，糾1個錯對(5, 1)碼，若d=1，能糾檢錯0個；若d=2,能檢1個錯，糾0個錯；若d=3，能檢2個錯，糾1個錯；若d=4,能檢3個錯，糾1個錯；若d=5,能檢4個錯，糾2個錯2. 為什么d =2的(n, n–1)碼能檢測奇數(shù)個錯誤？解:d=2，能檢1個錯，又因為(n, n–1)碼是奇偶校驗碼，即對于奇校驗碼：偶校驗碼：當出現(xiàn)一個錯或者奇數(shù)個錯時，在接收端奇校驗碼：偶校驗碼：都能檢測到錯誤，故d =2的(n, n–1)碼能檢測奇數(shù)個錯誤。 情況4 檢測時允許有一定的錯誤——非完美的檢驗設(shè)檢驗的正確率為p，則信道的傳輸概率為P(好/好)=p P(廢/好)=1p P(好/廢)=1p P(廢/廢)=p信道矩陣為平均失真度為 　　　 =P(好)P(廢/好) d(好, 廢)+P(廢)P(好/廢) d(廢,好)=180。下面分別進行討論。，令，得且得對進行傅立葉變換由，得且當時6. 設(shè)有平穩(wěn)高斯信源X (t)，其功率譜為，失真度量取，容許的樣值失真為D。 H (Pe) + Pe log (r–1)4. 設(shè)有一連續(xù)信源，其均值為0，方差為，熵為H(X)，定義失真函數(shù)為“平方誤差”失真，即。 故H(X)=2/3loge+logalog3(2) 若Y=X+A，則 , 所以 H(Y)=2/3loge+logalog3(3) 若Y=2X ，則，所以H(Y)=H(X)log1/2=2/3loge+logalog3/2。13 (1) P(y)=[7/12 5/12]P(x|y)= 6/7 3/5 1/7 2/5 又 比特/符號 所以 比特/符號此信道為二元對稱信道，所以信道容量 比特/符號根據(jù)二元對稱信道的性質(zhì)可知，輸入符號為等概分布，即P(0)=P(1)=1/2時信道的信息傳輸率才能達到這個信道的容量值。 據(jù)對稱性 由，代入所以 奈特/符號。3個符號都為a 則 編6bit碼，共1種3個符號都為b 則 編5bit碼，共1種3個符號都為c 則 編3bit碼，共1種3個符號有2個a，1個b 則 編6bit碼，共3種3個符號有2個a，1個c 則 編5bit碼，共3種3個符號有2個b，1個a 則 編6bit碼，共3種3個符號有2個b，1個c 則 編5bit碼，共3種3個符號有2個c，1個a 則