【正文】 C1， C2 的普通方程分別為 當(dāng) 時(shí)，射線 l 與 C1 交點(diǎn) A1的橫坐標(biāo)為 ，與 C2交點(diǎn) B1 的橫坐標(biāo)為 當(dāng) 時(shí)，射線 l 與 C1， C2 的兩個(gè)交點(diǎn) A2， B2分別與 A1， B1關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)，因此， 四邊形 A1A2B2B1為梯形 . 故四邊形 A1A2B2B1 的面積為 2022 年高考數(shù)學(xué)試題匯編 —— 圓錐曲線（八） 5（福建文）以雙曲線 的右焦點(diǎn)為圓心，且與其右準(zhǔn)線相切的圓的方程是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【解答】 雙曲線 的右焦點(diǎn)為（ 2， 0），即圓心為（ 2， 0），右準(zhǔn)線為 x=1，半徑為 1，圓方程為 ，即 + — 4x+3=0，選 B 60、（福建文）如圖，已知 ，直線 ， 為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) 作 的垂線，垂足為點(diǎn) ，且 ． （Ⅰ） 求動(dòng)點(diǎn) 的軌跡 的方程； （Ⅱ）過(guò)點(diǎn) 的直線交軌跡 于 兩點(diǎn)，交直線 于點(diǎn) ． （ 1）已知 ， ，求 的值； （ 2）求 的最小值． 【解答】 本小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力．滿(mǎn)分 14分． 解法一：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn) ，則 ，由 得： ，化簡(jiǎn)得 ． （Ⅱ）（ 1）設(shè)直線 的方程為： ． 設(shè) ， ，又 ， 聯(lián)立方程組 ，消去 得： ， ， 由 ， 得： ， ，整理得： ， ， ． 解法二：（Ⅰ）由 得： ， ， ， ． 所以點(diǎn) 的軌跡 是拋物線，由題意，軌跡 的方程為： ． （Ⅱ）（ 1）由已知 ， ，得 ． 則： ．????① 過(guò)點(diǎn) 分別作準(zhǔn)線 的垂線，垂足分別為 ， ， 則有： ．????② 由①②得： ，即 ． （Ⅱ）（ 2）解：由解法一， ． 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)等號(hào)成立，所以 最小值為 ． 6（北京理）矩形 的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn) ， 邊所在直線 的方程為，點(diǎn) 在 邊所在直線上． （ I）求 邊所在直線的方程； （ II）求矩形 外接圓的方程； （ III）若動(dòng)圓 過(guò)點(diǎn) ，且與矩形 的外接圓外切，求動(dòng)圓 的圓心的軌跡方程． 【解答】 （ I）因?yàn)?邊所在直線的方程為 ，且 與 垂直，所以直線的斜率為 ． 又因?yàn)辄c(diǎn) 在直線 上， 所以 邊所在直線的方程為 ． ． （ II）由 解得點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ， 因?yàn)榫匦?兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為 ． 所以 為矩形 外接圓的圓心． 又 ． 從而矩形 外接圓的方程為 ． （ III）因?yàn)閯?dòng)圓 過(guò)點(diǎn) ，所以 是該圓的半徑，又因?yàn)閯?dòng)圓 與圓 外切， 所以 ， 即 ． 故點(diǎn) 的軌跡是以 為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為 的雙曲線的左支． 因?yàn)閷?shí)半軸長(zhǎng) ，半焦距 ． 所以虛半軸長(zhǎng) ． 從而動(dòng)圓 的圓心的軌跡方程為 ． 2022 年高考數(shù)學(xué)試題匯編 —— 圓錐曲線（九） 6（北京文）橢圓 的焦點(diǎn)為 ， ，兩條準(zhǔn)線與 軸的交點(diǎn)分別為，若 ，則該橢圓離心率的取值范圍是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【解答】 橢圓 的焦點(diǎn)為 ， ，兩條準(zhǔn)線與 軸的交點(diǎn)分別為 ，若 ， ， ，則 ，該橢圓離心率 e≥ ，取值范圍是，選 D。 2022 年高考分類(lèi)匯編之解析幾何（七） 江西理 9. 若曲線 ： 與曲線 ： 有 4 個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】曲線 ： ，圖像為圓心為（ 1,0），半徑為 1 的圓；曲線 ： ，或者，直線 恒過(guò)定點(diǎn) ，即曲線 圖像為 軸與恒過(guò)定點(diǎn) 的兩條直線。 （ 3）（ 2）的逆命題是成立，由（ 2）可知 Q ，因?yàn)?PQ 軸，所以 因?yàn)?，所以 P為 AB的中點(diǎn)。 2（全國(guó) 1理）已知雙曲線的離心率為 ，焦點(diǎn)是 ， ，則雙曲線方程為（ ） A． B． C． D． 【解答】 已知雙曲線的離心率為 2，焦點(diǎn)是 ， ，則 c=4， a=2， ，雙曲線方程為 ，選 A。是否存在實(shí)數(shù) ，使得斜率為 的直線交果圓 于兩點(diǎn)，得到的弦的中點(diǎn)的軌跡方程落在某個(gè)橢圓上？若存在，求出所有的值；若不存在，說(shuō)明理由。 【備考提示】： 雙曲線的離心率的求法是解析幾何的一個(gè)重點(diǎn)，且方法較多，要善于總結(jié)各種方法，靈活應(yīng)用。 解法二：設(shè) ， ，直線 AB 的斜率為 ，則直線方程為 。2022 年高考數(shù)學(xué)試題匯編 —— 圓錐曲線（一） （重慶文）已知以 F1（ 2,0）， F2（ 2,0）為焦點(diǎn)的橢圓與直線 有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（ C ） （ A） （ B） （ C） （ D） 【解答】 設(shè)橢圓方程為 消 x 得： 即： 又 聯(lián)立解得 由焦點(diǎn)在 x 軸上，故長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 （重慶文）（ 21）（本小題滿(mǎn)分 12 分，（Ⅰ）小問(wèn) 4 分，（Ⅱ）小問(wèn) 8 分） 如題（ 21）圖，傾斜角為 a 的直線經(jīng)過(guò)拋物線 的焦點(diǎn) F，且與拋物線交于 A、 B 兩點(diǎn)。 將此式代入 ,得 ，故 。 （浙江文） (本題 15 分 )如圖，直線 y＝ kx＋ b 與橢圓 交于 A、 B 兩點(diǎn)，記△ AOB 的面積為 S． （ I）求在 k＝ 0， 0＜ b＜ 1 的條件下， S 的最大值； （Ⅱ）當(dāng)｜ AB｜＝ 2， S＝ 1 時(shí)，求直線 AB 的方程． 本題主要考查橢圓的幾何 性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力． （Ⅰ）解：設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，由 ，解得 ， 所以 ． 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)， 取到最大值 ． （Ⅱ）解：由 得 ， ，① ． ② 設(shè) 到 的距離為 ，則 ， 又因?yàn)?，所以 ，代入②式并整理，得 ，解得 ， ，代入①式檢驗(yàn)， ， 故直線 的方程是 或 或 ，或 ． 【 高考考點(diǎn) 】橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等知識(shí) 【易錯(cuò)點(diǎn)】： 不能準(zhǔn)確計(jì)算或輕易舍掉一些答 案。 解（ 1）∵ F0（ c， 0） F1（ 0， ）， F2（ 0， ） ∴ | F0F1 |＝ ， | F1F2 |＝ 于是 ， ，所求“果圓”方程為 （ x≥ 0）， （ x≤ 0）． ?? 4分 （ 2）由題意，得 a＋ c＞ 2b，即 ． ∵（ 2b） 2＞ b2＋ c2，∴ a2－ b2＞（ 2b－ a） 2，得 ?? 7分 又 b2＞ c2＝ a2－ b2，∴ ． ∴ ． （ 3）設(shè)“果圓”的方程為 （ x≥ 0） （ x≤ 0） 記 平行弦的斜率為 k． 當(dāng) k＝ 0時(shí)，直線 y＝ t（－ b≤ t≤ b）與半橢圓 （ x≥ 0）的交點(diǎn)是 ，與半橢圓 （ x≤ 0）的交點(diǎn)是 Q（ ）． ∴ P、 Q的中點(diǎn) M（ x， y）滿(mǎn)足 得 ． ∵ a＜ 2b，∴ ． 綜上所述，當(dāng) k＝ 0時(shí)，“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓?? 14分 當(dāng) k＞ 0時(shí)，以 k為斜率過(guò) B1的直線 l與半橢圓 （ x≥ 0）的交點(diǎn)是 由此，在直線 l右測(cè)，以 k為斜率的平行弦的中點(diǎn)軌跡在直線 上，即不在某一橢圓上． ?? 17分 當(dāng) k＜ 0時(shí)，可類(lèi)似討論得到平行弦中點(diǎn)軌跡不都在某 一橢圓上． ?? 18分 1（上海文）我們把由半橢圓 與半橢圓 合成的曲線稱(chēng)作“果圓”，其中 ， ， ．如圖，設(shè)點(diǎn) ， ， 是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)， ， 和 ， 是“果圓” 與 ， 軸的交點(diǎn)， 是線段 的中點(diǎn)． （ 1） 若 是邊長(zhǎng)為 1的等邊三角形，求該 “果圓”的方程； （ 2）設(shè) 是“果圓”的半橢圓 上任意一點(diǎn)．求證：當(dāng) 取得最小值時(shí)， 在點(diǎn) 或 處； （ 3）若 是“果圓”上任意一點(diǎn)，求 取得最小值時(shí)點(diǎn) 的橫坐標(biāo)． 解：（ 1） ， ， 于是 ， 所求“果圓”方程為 ， ． （ 2）設(shè) ，則 ， ， 的最小值只能在 或 處取到． 即當(dāng) 取得最小值時(shí)， 在點(diǎn) 或 處． （ 3） ，且 和 同時(shí)位于“果圓”的半橢圓 和半橢圓 上，所以，由（ 2）知，只需研究 位于“果圓”的半橢圓上的情形即可． ． 當(dāng) ，即 時(shí)， 的最小值在 時(shí)取到， 此時(shí) 的橫坐標(biāo)是 ． 當(dāng) ，即 時(shí)，由于 在 時(shí)是遞減的， 的最小值在時(shí)取到，此時(shí) 的橫坐標(biāo)是 ． 綜上所述，若 ，當(dāng) 取得最 小值時(shí)，點(diǎn) 的橫坐標(biāo)是 ；若 ，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn) 的橫坐標(biāo)是 或 ． 1（陜西文）拋物線 的準(zhǔn)線方程是 （ A） （ B） （ C） （ D） 解析： P= ，準(zhǔn)線方程為 y= ，即 ，選 B 1（陜西文）已知雙曲線 C∶ ＞ 0,b＞ 0),以 C的右焦點(diǎn)為圓心且與 C的漸近線相切的圓的半徑是 （ A） a (B)b (C) (D) 解析：圓的半徑是（ C， 0）到漸近線 的距離，所以 R= ，選 B （陜西文） (本小題滿(mǎn)分 14分 )已知橢圓 C: =1(a＞ b＞ 0)的離心率為 ,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為 . (Ⅰ )求橢圓 C的方程 。 2（全國(guó) 1理）拋物線 的焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線為 ，經(jīng)過(guò) 且斜率為 的直線與拋物線在 軸上方的部分相交于點(diǎn) ， ，垂足為 ，則 的面積是（ ） A． B． C． D． 【解答】 拋物線 的焦點(diǎn) F(1， 0)，準(zhǔn)線為 l： ，經(jīng)過(guò) F且斜率為 的直線與拋物線在 x 軸上方的部分相交于點(diǎn) A(3， 2 )， ，垂足為 K(－