【正文】 或 ，即 OPiyxz ?? z r22xy??z ? r19 模的性質(zhì) ： 2|| |,||| )1( zzzzz ??|||| |,||| |,||||| )2( zyzxyxz ????|||||| )3( 2121 zzzz ?|||||| )4( 2121 zzzz ???|||||||| )5( 2121 zzzz ???o x y 1z2z21 zz ?21 zz ?圖 20 復(fù)數(shù)的輻角 設(shè)復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)的向量為 （如圖 ） , 以正實(shí)軸為始邊，以表示 的向量 為終邊的角 ，稱為復(fù)數(shù) 的輻角 ,記作 ，即 . 0?z OPzOP ? zzArg zA r g??顯然， 有無(wú)窮多個(gè)值，其中每?jī)蓚€(gè)值相差 的整數(shù)倍，用 表示其中一個(gè)特定的 值，則 其中滿足條件 的只有一個(gè)，稱為復(fù)數(shù) 的輻角的主值，記作 ， 而 可根據(jù) 計(jì)算得出 zArg?2arg z??? ? ?z P v arg za r g 2 , ,Argz z k k Z?? ? ?ta n ( Pv a r g ) yz x?zargP v arg z21 a r c ta n 0 ,0 , 02P v a r ga r c ta n 0 , 00 , 0yx y Rxxyzyxyxxy??????????????????? ???????? 計(jì)算 Pvargz(z≠0) 的公式 22Pv a r g 2 a r c ta n yzx x y???22 ? 由 可得復(fù)數(shù) 的三角表示式： ? 根據(jù)歐拉公式 ，可得復(fù)數(shù) 的指數(shù)表示式 ? 復(fù)數(shù)的球面表示 如圖 ，取一個(gè)與復(fù)平面切于原 點(diǎn)的球面，球面與始于原點(diǎn)且垂直 于復(fù)平面的射線相交于點(diǎn) N，對(duì) 復(fù)平面上任一點(diǎn) z，過(guò) z和 N作直 線與球面相交于異于 N的一點(diǎn) P， )s i n( c o s ?? irz ??z?irez ?z?? s i n ,c o s ryrx ????? s i nc o s ie i ??N P . z . O 圖 23 反之，對(duì)球面上任一異于 N的一點(diǎn) P，過(guò) N和 P的直線與復(fù)平面交于一點(diǎn) z，因此，除去點(diǎn) N外球面上的點(diǎn)與復(fù)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng) ,所以我們就可以用球面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù) . ? 擴(kuò)充復(fù)平面 從圖 ，當(dāng) z無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí) P無(wú)限逼近，無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)的點(diǎn)稱為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，它與球面上的點(diǎn) N對(duì)應(yīng) .我們把包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面，不包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的平面稱為有限平面或復(fù)平面，本書如無(wú)特別聲明，只考慮有限復(fù)數(shù)及復(fù)平面。(( 1221212121 ））乘法： yxyxiyyxxzz ????)0( 22222211222222121221121??????????zyxyxyxiyxyyxxiyxiyxzz除法：11 12211 zzzz ???）加法交換律：（12212 zzzz ???）乘法交換律：（)()( 3 321321 zzzzzz ?????）加法結(jié)合律：（)()( 4 321321 zzzzzz ?????）乘法結(jié)合律：（3121321 5 zzzzzzz ?????? ）（）分配律：（12 。1 中南大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)課程之 復(fù)變函數(shù) 唐先華 Tel:13786149226 Email: 中南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)與計(jì)算技術(shù)學(xué)院 2 研究對(duì)象 復(fù)變函數(shù)（自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)） 主要任務(wù) 正確理解和掌握復(fù)變函數(shù)中的數(shù) 學(xué)概念、理論和方法。()( 212121 yyixxzz ?????減法：。這樣表示復(fù)數(shù) 的平面稱為復(fù)平面或 平面。( ) [ , ] [ 39。 ( , )( ) ( ) ( , ) ( , )z x iy x y w u iv u vw f z f x iyu x y iv x y? ? ? ? ? ?? ? ???因 為則),(),( yxvvyxuu ??故),(),()( yxvvyxuuivuzfw ??????56 例 1 將定義在全平面上的復(fù)變函數(shù) 化為一對(duì)二元實(shí)變函數(shù) . 12 ?? zw解 設(shè) ， ，代入 得 iyxz ?? ivuw ?? 12 ?? zw??? ivuw 1)( 2 ?? iyx 22 12x y ix y? ? ? ?比較實(shí)部與虛部得 ， 122 ??? yxu xyv 2?57 例 3 ?????????????????????? 2222 1111)(yxiyyxxzf若已知.)( 的函數(shù)表示成將 zzfzzzf 1)( ??)(21),(21, zziyzzxiyxz ?????? 則設(shè)例 2 ? ? ? ?2,0 , 2 , r g 0nw z w z w zw z z n w A z z? ? ?? ? ? ? ?都 為 單 值 函 數(shù) 。 (3) f(z)在 E上一致連續(xù) ,即任給 ε0,有 δ0, 使對(duì) E上滿足 |z1z2|δ,的任意兩點(diǎn) z1,z2 均有 |f(z1)f(z2)|ε. 79 2. 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) 復(fù)球面與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) 80 復(fù)球面與無(wú)窮大 : 在點(diǎn)坐標(biāo)是 (x,y,u)的三維空間中，把 xOy面 看作是 z面。22???zzuuxy)1,0,0(N)1,0,0( ?SO)0,( yxA)39。 : 39。 uyxA83 關(guān)于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) ， 我們規(guī)定其實(shí)部 、 虛部 、輻角無(wú)意義 ， 模等于： 它和有限復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算為： ???? ||??????? aa)0( ???????? aaa)(0 )。 ?}{??C ?Cuxy)1,0,0(N)1,0,0( ?SO)0,( yxA)39。 uyxA ( , , 0) ,? ( 39。39。 上不連續(xù)。若簡(jiǎn)單曲線 C 滿足 z(a)=z(b)時(shí)，則稱此曲線 C是簡(jiǎn)單 閉 曲線或 Jordan閉 曲線 。 . iz ?? 31 iz ??? 32 4281zz解 ： 因?yàn)? ， iz ?? 31 2 c o s ( ) s in ( )66i????? ? ? ?????iz ??? 32 552 c o s ( ) s in ( )66i??????????36 ?????????????????)620s i n ()620c o s (2)68s i n ()68c o s (2484281????iizz所以， ?????? ???? )628s i n()628c os (2 4 ?? i)31(8 i???37 問(wèn)題 給定復(fù)數(shù) z=re i ?，求所有的滿足 ωn=z 的復(fù)數(shù)ω. n z??記, ze ni ?? ??? ? 由設(shè) ??? iinn ree ?有)(2, Zkknrn ????? ????. 復(fù)數(shù)的 方根 當(dāng) z≠0時(shí)，有 n個(gè)不同的 ω值與 相對(duì)應(yīng)，每一 個(gè)這樣的 ω值都稱為 z 的 n次方根， n znkinn erz???2????)2s i n2(c os n kin krn ???? ????