【正文】 ?x ? ? ? ? ? ?? ?xxxpppp ??? ?信號(hào)檢測與估值 2017年春季 16 條件中值估計(jì) ? ? ??? ?~ ??c選定的代價(jià)函數(shù)為 ? ? ? ? ? ?? ???? ???? dpcC xx ~? ? ????? ?? ???? dp x?? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ???? ?? ???????? ?? ?? dpdp xx使條件平均代價(jià)最小的一個(gè)必要條件是對上式中 ?? 求偏導(dǎo) 令偏導(dǎo)為零來求得最佳的估計(jì)量 ??求解方法 信號(hào)檢測與估值 2017年春季 17 條件中值估計(jì) ? ? ? ??? ??? ? ?? ???? ?? dpdp xx? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ????? ?? ??? ?? ????????? ?? ??? dpdp xx? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ?????? ? ??? ? ????? ? ??? ????????????? ? ??? ??? dpdpdpdp xxxx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?xxxxxx ???????????? ?? ???????? ?? pdppppdp ?????? ?? ???? ? ? ??? ??? ?? ?? ???? ?? dpdp xx? ?2 2 20?? p ??? ??? x信號(hào)檢測與估值 2017年春季 18 例 1 研究在加性噪聲中單隨機(jī)參量 的估計(jì)問題。 ? ? 0ln????? mlp????x信號(hào)檢測與估值 2017年春季 41 估計(jì)量的性質(zhì)：無偏性 非隨機(jī)變量 ?無偏估計(jì) ?有偏估計(jì) ?已知偏差的有偏估計(jì) 為無偏估計(jì) ? ? ? ?? ?E p d b? ? ? ? ?????? ? ? ??? ? xx? ? ?i f 0 , . . ,b i e E? ? ????? ??? ?if 0b ? ?? ?i f 0bb? ??? b??信號(hào)檢測與估值 2017年春季 42 估計(jì)量的性質(zhì)：無偏性 隨機(jī)變量 ?無偏估計(jì) ?有偏估計(jì) 漸近無偏估計(jì) ? ??i f EE???? ???? ?? ? ,E p d d? ? ? ???? ? ? ??? ??? ?? xx? ??i f EE???? ???? ? ? ?1 , RV?l im , R VNN Ex E?? ??? ???? ? ?????非信號(hào)檢測與估值 2017年春季 43 有效性 對于被估計(jì)量 的任意無偏估計(jì) 和 ，若估計(jì)的均方誤差 ?1?? 2??則稱估計(jì)量 比 更有效。 ???? ?? ? ? ?22 2211? ?lnlnV a r EppEE? ? ????????? ? ? ? ??? ???? ? ? ? ??????? ? ? ????????? ??????xx? ? ? ? ? ?????? kp ?ln ???? x?信號(hào)檢測與估值 2017年春季 47 證明 設(shè) 是非隨機(jī)參量 的無偏估計(jì)，則有 ???對上式求偏導(dǎo)， 得 ? ?? ? ? ? ? ? 0?? ???? ? ??? xx dpE ?????? ? ? ???????? ????xx dp? ? ? ? ? ? ?xxxx dpdp ?? ?????? ?????????? ?0??E ???? ???信號(hào)檢測與估值 2017年春季 48 證明 ? ? ? ???????? ????xx dp? ? ? ? ? ? ?xxxx dpdp ?? ?????? ?????????? ?0?? ? 1????? xx dp ? ? ? ? ? ? ??? ?? ? xxx ppp ????? ln上式改寫為 ? ? ? ? ? ? 1ln? ?????? ???xxx dpp ?? ???? ? ? ? ? ? 1ln?2??????????????xxxdpp?????信號(hào)檢測與估值 2017年春季 49 證明 根據(jù)柯西 施瓦滋不等式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 22 w x g x h x d x w x g x d x w x h x d x? ? ?? ? ??? ??????? ? ?當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，上式等號(hào)成立。是 ?? ml?? ?? ??????????????? ?????? ??Nk nkxp 1 222ln x ? ?2122nNkkx?????? 2 1nNkkxN?? ?????211nNkkxNN?? ?????? ????? ? ?2?nmlN??? ???信號(hào)檢測與估值 2017年春季 59 ? ? ? ? NkE nml 22 1? ???? ????????? ?? ?? ? ? ? ???????? ?????? ????????????NkkNNmlN nNPP11lim?lim xml??最大似然估計(jì)量 是 的有效估計(jì)量，且估計(jì)量的均方誤差為 ????????? ?? ?????NkkN nNP11lim 0?ml??最大似然估計(jì)量 是一致收斂估計(jì)量。 ????????? ??Nkknb xNN1222 1/???????信號(hào)檢測與估值 2017年春季 67 ? ? ? ? ? ????? ???????? ???? Nk nknNkkxxpp12221 2e x p21??????x由題設(shè)， 由于 的無偏估計(jì)量。 ? ??a Bx?2? ? ? ? ?[ ( ) ( ) ] { [ ( ) ( ) ] }TTE T r E? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???()Tr?信號(hào)檢測與估值 2017年春季 76 LMMSE估計(jì)構(gòu)造 2? ? ? ? ?[ ( ) ( ) ] { [ ( ) ( ) ] }TTE T r E? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?BxaθBxaθθθθθ ??????????? ?? TT EE ??? ? ? ? ? ? ? ?? ?TTEE?? ??? ? ? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? ?? ??????θ θ θ θ θ a B x θ a B xaa? ?? ?Bxaθ ???? E2 ? ?θx μBa ??? ?2令 0??? ? ? ? ? ?x θ θ xaB μ a μ B信號(hào)檢測與估值 2017年春季 77 LMMSE估計(jì)構(gòu)造 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?2 2 2TTTTTT T T TTT T T TT T TEETrETrEEBE E E??? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ????????? ? ? ? ?????? ???????????? ? ? ? ? ? ? ?????? ?????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?θ θ θ θθ a B x θ a B xBBθ a B x θ a B xBθ a θ a θ a x B B x θ a B xx BBθ ax θ a x xx xxa x B xx θ x信號(hào)檢測與估值 2017年春季 78 LMMSE估計(jì)構(gòu)造 Lemma ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?trtr trtr TTTTTTTdddddddd??????XAAXAXXX AXA A XXXAXX A AX信號(hào)檢測與估值 2017年春季 79 LMMSE估計(jì)構(gòu)造 ? ?? ? ? ?12 2 22200T T TT T T TxxxxE E EE E E EBC CB C C????????? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ??θ xθ xx θa μ Bμ B x B xx θ xB xx x θ x μ x注意到 信號(hào)檢測與估值 2017年春季 80 LMMSE估計(jì)構(gòu)造 解得 1?? xθx CCBxxθxθxθ CCμBμa ?? 1?????所以 xCCCCμBxaθ xθxxxθxθ 11? ?? ????? ?l m s e? ?xxθxθ xCCμ ???? ? 1信號(hào)檢測與估值 2017年春季 81 LMMSE估計(jì)的物理解釋 ? ?1? l m s e ??? ? ?θ θ x x xθ μ C C x均值（先驗(yàn)） 新息（觀測提供的信息） ? ?1 1 / 2???? ? ? ? ?θ x x x θC C x C θ1 / 2? ? ? ? ?xxx x u C x1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 1? ? ?? ? ? ? ? ? ?θ θ θ θ xx θ xxθ C θ C C C C x C C x? ?11? l m s e ???? ? ? ? ? ? ? ? ?θ θ θ xx θ θ x x xθ μ θ μ C C x μ C C x? ?? ? ? ?? ?? ?1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 21 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1C ov ,C ov ,V a r V a rC ov ,? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ?θ x θ θ xxθ θ x x x θ θ xxθ xθ x θ xxθ xC θ C x x C C C xC C C C x C C C x觀測量的信息 參量的信息 信號(hào)檢測與估值 2017年春季 82 LMMSE估計(jì)的性質(zhì) (1) 估計(jì)矢量是觀測矢量的線性函數(shù) (2) 線性最小均方誤差估計(jì)矢量是無偏估計(jì) lmseθ? ? ?xxθxθ xCCμ ????? 1?lmseE ????θ ? ?? ?xxθxθ xCCμ ???? ? 1E? ?? ?xxθxθ xCCμ ???? ? E1 θμ?lmseθ?所以 是 無偏估計(jì) θ ? ?? ?? ? ? ?? ?? ??111 1 1 11|? ?( ) ( )lm s eTlm s e lm s eTTTTxxxxMEEC C C CC?? ? ? ????????? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?θ θ x x x θ θ x x xθ x x x x θ xx θ xxθ θ xx θ θ xμ C C x μ C C xC C C C C C C CC C C C C????Recall ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??| | ,x H I x? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? 信號(hào)檢測與估值 2017年春季 83 LMMS