【正文】 mnA 表示 奎屯王新敞 新疆 5．排列數(shù)公式： ( 1 ) ( 2) ( 1 )mnA n n n n m? ? ? ? ?（ ,m n N m n???） 6 奎屯王新敞 新疆階乘： !n 表示正整數(shù) 1到 n 的連乘積，叫做 n 的階乘 奎屯王新敞 新疆規(guī)定 0! 1? ． 7．排列數(shù)的另一個(gè)計(jì)算公式： mnA = !( )!nnm? 奎屯王新敞 新疆 奎屯王新敞 新疆 ： 示例 1：從甲、乙、丙 3名同學(xué)中選出 2名去參加某天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中 1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)， 1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？ 示例 2：從甲、乙、丙 3名同學(xué)中選出 2名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？ 引導(dǎo)觀察：示例 1中不但要求選出 2名同學(xué)，而且還要按照一定的順序“排列”，而示例2只要求選出 2名同學(xué)，是與順序無(wú)關(guān)的 奎屯王新敞 新疆引出課題： 組合 ． ． ． 奎屯王新敞 新疆 二、講解新課： 1 奎屯王新敞 新疆組合的概念：一般地，從 n 個(gè)不同元素中取出 m ? ?mn? 個(gè)元素并成一組，叫做從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素的一個(gè) 組合 奎屯王新敞 新疆 說(shuō)明：⑴ 不同元素 ；⑵“只取不排” —— 無(wú)序性； ⑶相同組合：元素相同 奎屯王新敞 新疆 例 1． 判斷下列問(wèn)題是組合還是排列 （ 1）在北京、上海、廣州三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線上，有多少種不同的飛機(jī)票？有多少種不同 的飛機(jī)票價(jià)？ （ 2）高中部 11個(gè)班進(jìn)行籃球單循環(huán)比賽，需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？ （ 3）從全班 23人中選出 3人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)、學(xué)習(xí)委員三個(gè)職務(wù)，有多少種不同的選法？選出三人參加某項(xiàng)勞動(dòng)，有多少種不同的選法？ （ 4） 10個(gè)人互相通信一次，共寫了多少封信？ （ 5） 10個(gè)人互通電話一次，共多少個(gè)電話？ 問(wèn)題：（ 1） 3和 2是相同的組合嗎？ （ 2）什么樣的兩個(gè)組合就叫相同的組合 2．組合數(shù)的概念：從 n 個(gè)不同元素中取出 m ? ?mn? 個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素的 組合數(shù) ． ． ． ．用符號(hào) mnC 表示． 3．組合數(shù)公式的推導(dǎo)： （ 1） 從 4個(gè)不同元素 , , ,abcd 中取出 3個(gè)元素的組合數(shù) 34C 是多少呢？ 啟發(fā)：由于 排列是先組合再排列 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ，而從 4個(gè)不同元素中取出 3個(gè)元素的排列數(shù) 34A 可以求得，故我們可以考察一下 34C 和 34A 的關(guān)系，如下： 組 合 排列 d c bc d bbdcdbcc b db c db c dd c ac d aadcdacc a da c da c ddbabdaadbdabbadabdabdc b ab c aa c bc a bbacabcabc,,???? 由此可知 ,每一個(gè)組合都對(duì)應(yīng)著 6個(gè)不同的排列，因此，求從 4個(gè)不同元素中取出 3 個(gè)元素的排列數(shù) 34A ，可以分如下兩步：① 考慮從 4個(gè)不同元素中取出 3個(gè)元素的組合，共有34C 個(gè)；② 對(duì)每一個(gè)組合的 3個(gè)不同元素進(jìn)行全排列，各有 33A 種方法．由分步計(jì)數(shù)原理得：34A ＝ ?34C 33A ，所以，333434 AAC ?． （ 2） 推廣：一般地，求從 n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的排列數(shù) mnA ，可 以分如下兩步： ① 先求從 n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的組合數(shù) mnC ； ② 求每一個(gè)組合中 m個(gè)元素全排列數(shù) mmA ，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得： mnA ＝ mnC mmA? ． （ 3） 組合數(shù)的公式： ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )!mm nn mmA n n n n mC Am? ? ? ??? 或)!(! ! mnm nC mn ?? ),( nmNmn ?? ? 且奎屯王新敞 新疆 規(guī)定 : 0 1nC? . 三、講解范例： 例 2． 用計(jì)算器計(jì)算 710C ． 解：由計(jì)算器可得 例 3．計(jì)算： （ 1） 47C ； （ 2） 710C ； （ 1） 解 ： 47 7 6 5 44!C ? ? ??＝ 35； （ 2） 解法 1： 710 1 0 9 8 7 6 5 47!C ? ? ? ? ? ??＝ 120． 解法 2： 710 1 0 ! 1 0 9 87 !3 ! 3 !C ????＝ 120． 例 4． 求證： 11 ????? mnmn CmnmC． 證明：∵)!(! ! mnm nC mn ?? 11 1 !( 1 ) ! ( 1 ) !mnm m nCn m n m m n m???? ? ?? ? ? ? ? ＝ 1!( 1 ) ! ( ) ( 1 ) !mnm n m n m? ?? ? ? ? ＝ !!( )!nm n m? ∴ 11 ????? mnmn CmnmC 例 5． 設(shè) ,??Nx 求 32 1132 ???? ? xxxx CC 的值 奎屯王新敞 新疆 解：由題意可得：??? ??? ??? 321 132 xx xx ，解得 24x?? ， ∵ xN?? ， ∴ 2x? 或 3x? 或 4x? ， 當(dāng) 2x? 時(shí)原式值為 7；當(dāng) 3x? 時(shí)原式值為 7；當(dāng) 4x? 時(shí)原式值 為 11． ∴所求值為 4或 7或 11． 例 6． 一位教練的足球隊(duì)共有 17 名初級(jí)學(xué)員，他們中以前沒(méi)有一人參加過(guò)比賽．按照足球比賽規(guī)則，比賽時(shí)一個(gè)足球隊(duì)的上場(chǎng)隊(duì)員是 11 人．問(wèn)： (l