【正文】 或減少了亮和暗的因素和噪聲。用閉運(yùn)算消除與結(jié)構(gòu)元素相比尺寸較小的暗細(xì)節(jié)，而保持圖像整體灰度值和大的暗區(qū)域基本不變。 則 認(rèn) 為該像素為邊界像素。其中最根本 的問(wèn)題是解決檢測(cè)精度和抗噪能力間的矛盾 。 利用形態(tài)學(xué)的基本運(yùn)算是基于集合的觀點(diǎn)，這個(gè)集合集中反映了物體的形狀、體積、紋理、色彩等等。結(jié)構(gòu)元素可以為圓盤形、正方形、菱形、六邊形、線段形等。 CDCDACDCDABA ?????????? )()())((? （ 41） 由式（ 41） 可以得出： SSSSABA ????? )(? （ 42） 若將 式（ 42）中的 2 次腐蝕膨脹擴(kuò)展為 K 次，則 ??? ?? ???? ?? ??kk SSSSSSABBABA ???????? ()( （ 43） 因此開(kāi)運(yùn)算就轉(zhuǎn)換成不斷使用小結(jié)構(gòu)元素 S 腐蝕原圖像，再依次用小結(jié)構(gòu)元素 S 膨脹。 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)建立在集合論基礎(chǔ)上，是一種應(yīng)用于圖像處理和模式識(shí)別領(lǐng)域的新的方法。它是一種非線性的差分算子，而且其檢測(cè)出的邊緣與結(jié)構(gòu)元素 B 有關(guān)。 根據(jù)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的膨脹、腐蝕、開(kāi)、閉運(yùn)算的定義及擴(kuò)張性，令 f(x， y)表示圖像， B 表示結(jié)構(gòu)元素，當(dāng) B 包括 坐 標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，有 ： BffBf ???? （ 45） BffBf ???? （ 46） 綜合 （ 45）和（ 46） 兩式及形態(tài)學(xué)基本運(yùn)算定律可得 到如式（ 47）的形式。MatrHildreth 邊緣檢測(cè)方 法 (LOG 算子 )采取先對(duì)原始圖像用高斯空間濾波器做最佳平滑，然后用拉普拉斯算子對(duì)濾波后的圖像提取零交叉點(diǎn)，以克服噪聲對(duì)邊緣檢測(cè)的影響。結(jié)構(gòu)元素尺寸的計(jì)算 是一個(gè)重要問(wèn)題。例如線段狀結(jié)構(gòu)元素，若它的原點(diǎn)在中點(diǎn)則為對(duì)稱結(jié)構(gòu)，若原點(diǎn)在端頭則為非對(duì)稱結(jié)構(gòu)。在數(shù)學(xué)上，利用灰度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)描述邊緣點(diǎn)的變化規(guī)律。因此，邊緣檢測(cè)在圖像處理與計(jì)算機(jī)視覺(jué)中占有特殊的位置，它是是圖像分割、紋理特征提取和形狀特征提取等圖像分析的重要基礎(chǔ)，是底層視覺(jué)處理中最重要的環(huán)節(jié)之一。 (a)原圖像 (b)骨架化效果 (c)邊界像素測(cè)定效果 圖 36 圖像的骨架化及邊界像素測(cè)定 對(duì)于一幅二進(jìn)制灰度圖像，如果圖像的像素值為 1，則圖像的狀態(tài)為 ON；如果其 像素 的值為 0，則該像素的狀態(tài)為 OFF。該方法中，對(duì)結(jié)構(gòu) 元素的選取相當(dāng)重要，它應(yīng)當(dāng)比所有的噪聲孔和噪聲塊的尺寸都要大。去除噪聲的一般的思想是：先對(duì)有噪聲的圖像進(jìn)行噪聲的模糊，也即是先平滑圖 像然后進(jìn)行形態(tài)邊緣檢測(cè)。 ；；；；；；；；；；]10101011101010101010101010101010111011101010181818101011101010101818181011101010101018181810101011101010101010101010100101110111010141414010101110101014141401011101110101414141010101010101010101010[?A 圖 33 形態(tài)學(xué)重構(gòu)的簡(jiǎn)單圖像矩 陣 要很好地重構(gòu)這幅圖像，可以通過(guò)以下兩個(gè)步驟實(shí)現(xiàn)： （ 1） 首先創(chuàng)建標(biāo)記圖像 與 腐蝕 和膨脹操作中使用的結(jié)構(gòu)元素一樣，標(biāo)記圖像的特征決定了形態(tài)學(xué)重構(gòu)結(jié)果所具理工大學(xué)畢業(yè)論文 21 有的特征，所以表搜集圖像的峰值應(yīng)該確定掩模圖像中希望強(qiáng)調(diào)對(duì)象的位置。根據(jù)擊中擊不中 變換 細(xì)化過(guò)程可以定義 成如式（ 32）所示的形式。 利用擊中擊不中變換即可以提取特定的相交結(jié)構(gòu)信息。從 式（ 258）和式（ 259） 的結(jié)果可知，經(jīng)模糊形態(tài)腐蝕膨脹運(yùn)算后的隸屬函數(shù)均 落在 [0,1]的區(qū)間內(nèi) 。 )} )()({))}()((({)](,[21)( )(zxzfyxyfkofs m al l e s tkthxkf Kzx Kyx ?????? ?? ?? ????? ? （ 257） 其中， 2, Zzyx ? 是空間坐標(biāo)， ZFf ?: 是圖像的灰度值， ZK ?1:? 是灰度結(jié)構(gòu)元素的核心， ZK ?2:? 表示結(jié)構(gòu)元素的軟邊界， 221 , ZKKF ? 分別表示灰度圖像、灰度結(jié)構(gòu)元素的核心、灰度結(jié)構(gòu)元素的 軟邊界的定義域， 12 / KKK ? （集合差），其中 2ZK? 表示灰度結(jié)構(gòu)元素的定義域。二值形態(tài)學(xué)中的一些基本運(yùn)算性質(zhì)，在灰度形態(tài)學(xué)中依然成立，只是二值形態(tài)學(xué)是在集合的層次上，在灰度形態(tài)學(xué)中一律以函數(shù)代替；二值形態(tài)學(xué)用的是集合的交、并和補(bǔ)等集合關(guān)系的運(yùn)算，在灰度形態(tài)學(xué)中就以函數(shù)的相加、減并取結(jié)果的極 大值或極小值的關(guān)系的運(yùn)算代替；例如開(kāi)運(yùn)算的平移不變性可表示 為式（ 254）的形式。圖 (c)給出開(kāi)啟操作的結(jié)果?；叶葦?shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中關(guān)于開(kāi)啟和閉合的表達(dá)與它們?cè)诙禂?shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中的對(duì)應(yīng)運(yùn)算是一致的。 ])[(],],)[( gfgfgfgfgf ??????????? （ 239） 2．單調(diào)性 如式（ 240）和式（ 241）所示。 ]}?[|)(?{ bDxxbfbf x ????? （ 237） ]}[|)({ bDxxbfbf x ????? （ 238） 根據(jù)以上的定義形式，灰度膨脹可按下面步驟完成：對(duì)結(jié)構(gòu)元素 b 的定義域 ][bD 中的每一個(gè)點(diǎn) x 將信號(hào) f 平移 x，然后再對(duì)每次平移的信號(hào)的值加上 )(xb ，這樣對(duì)于結(jié)構(gòu)元素定義域 中的每個(gè)點(diǎn)都得到一個(gè)信號(hào)，對(duì)所有這些信號(hào)逐點(diǎn)取其最大值，便可得到膨脹的結(jié)果；灰度腐蝕則可按下面步驟完成：對(duì)于結(jié)構(gòu)元素 b 的定義域中的每一點(diǎn) x ，將信號(hào) f 平移 x? ，然后再?gòu)拿看纹揭菩盘?hào)值減去 )(xb ，這樣對(duì)于結(jié)構(gòu)元素定義域中的每一點(diǎn)都得到一個(gè)信號(hào)，對(duì)所有這些信號(hào)逐點(diǎn)取其最小值，便得到腐蝕的結(jié)果。 圖 213 灰度圖像的膨脹和腐蝕變換 圖 213 描述了這兩種變換。 )}),()(),(|),(),(m i n {),)(( bf DyxDytxsyxbytxsftsbf ????????? 和 （ 235） 式中， fD 和 bD 分別是 f 和 b 的定義域。 )}),()(),(|),(),(m a x {),)(( DbyxDytxsyxbytxsftsbf f ????????? 和 （ 233） 式中， fD 和 bD 分別是 f 和 b 的定義域。如果 x 在 f 的定義域內(nèi)，但在 g 的定義域 外，那么定義 )())(( xfxgf ?? 。 灰度形態(tài)學(xué)理論基礎(chǔ) 灰度形態(tài)變換是建立在二值形態(tài)變換的基礎(chǔ)上的，在二值形態(tài)學(xué)中，集合的平移和交、并等變換仍然起著關(guān)鍵性的作用，但是對(duì)于圖像和結(jié)構(gòu)元素模型已經(jīng)不能僅用二值的集合表示，而用的是函數(shù)表示。 BAABA ???? （ 222） 3．單調(diào)性 如式（ 223）和式（ 224）所示。 圖 27 二值圖像開(kāi)運(yùn)算示意圖 使用 結(jié)構(gòu)元素 B 對(duì)集合 A 進(jìn)行閉操作，表示為 BA? ， 其 定義 如式（ 220）所示。 6. 尺度伸縮性 如式（ 215）所示。 )()()()( BABABABA CCCC ???????? （ 28） 2. 單調(diào)性 如式（ 29）和式（ 210）所示。 }|{})(|{ AzBzABzBA z ?????? （ 27） A 被 B 腐蝕是所有位移 z 的集合。 })?(|{ 空集??? ABzBA z ? （ 25） 其中 A 稱為輸入圖像， B 稱為結(jié)構(gòu)元素。按照 這種 種觀點(diǎn)，函數(shù) C 為 ???? 其他 ，或是均為為或若0 11),(),(1),( yxByxAyxC （ 21） 另一方面，運(yùn)用集合的觀點(diǎn)， C 的定義 如式 （ 22）所示。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算子的性能主要以幾何方式進(jìn)行刻畫(huà)，而幾何描述的特點(diǎn)更適合視覺(jué)信息的處理和分析，其基本思想如圖 21 所示。 6．形態(tài)小波研究。將開(kāi)、閉算子組合起來(lái)可以構(gòu)成性能更優(yōu)越的濾波器。結(jié)構(gòu)元素是一個(gè)可以在圖 像 上平移、且尺寸比圖 像 小的集合。 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是圖像處理和模式識(shí)別領(lǐng)域的新方法 [5]，其基本思想是用具有一定形態(tài)的結(jié)構(gòu)元素去度量和提取圖像中的對(duì)應(yīng)的形狀，已達(dá)到對(duì)圖像分析和識(shí)別的目的。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)不僅提供了描述和分析圖像幾何及形狀特征的多種技術(shù)和方法，同時(shí)它對(duì)于經(jīng)典的信號(hào)處理技術(shù)也產(chǎn)生了極大的影響并擴(kuò)展了原有的技術(shù)。這門學(xué)科在計(jì)算機(jī)文字識(shí)別，計(jì)算機(jī)顯微圖像分析 (如定量金分析，顆粒分析 )，醫(yī)學(xué)圖像處理，工業(yè)檢測(cè) (如印刷電路自動(dòng)檢測(cè) )，機(jī)器人視覺(jué)等方面都取得了許多非常成功的應(yīng)用。 深入了解數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本思想及方法適用于與圖像處理有關(guān)的各個(gè)方面，如基于擊中擊不中變換的目標(biāo)識(shí)別，基于流域概念的圖像分割，基于腐蝕和開(kāi)運(yùn)算的骨架抽取及圖像編碼壓縮，基于測(cè)地距離的圖像重構(gòu)，基于形態(tài)學(xué)濾波器的顆粒分析等。形態(tài)學(xué)方 法已經(jīng)迅速成為圖像應(yīng)用領(lǐng)域工程技術(shù)人員的必備工具。軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法用排序加權(quán)統(tǒng)計(jì)方法代替最小、最大法。 1982 年出版的專著《 Image Analysis andMathematical Morphology》是數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)發(fā)展的重要里程碑，表明數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在理論上趨于完備及應(yīng)用上不斷深入。本論文圍繞數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué) 圖像處理方法 ， 介紹了形態(tài)學(xué)在 擊中或擊不中變換、圖像的細(xì)化和粗化、圖像重構(gòu)和圖像平滑方面 的基本 應(yīng)用 ，重點(diǎn) 對(duì) 各種 形態(tài)學(xué)圖像邊緣檢測(cè)算法 做了仿真實(shí)現(xiàn)，并和傳統(tǒng)邊緣檢測(cè)算法做比較，最后對(duì)結(jié)果進(jìn)行了分析。 Sinha 和 Dougherty 于 90 年代初將模糊數(shù)學(xué)引入數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)領(lǐng)域，形成模糊數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)。舒昌獻(xiàn)、莫玉龍等對(duì)基于軟化形態(tài)學(xué)的邊緣檢測(cè)算子的性能也進(jìn)行了分析和比較。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基于探測(cè)的思想，與人的視覺(jué)特點(diǎn)有類似之處。顯然，這并不是一句簡(jiǎn)單的褒獎(jiǎng)。所以，對(duì)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的理論研究是非常有意義的。 本文結(jié)合目前的研究進(jìn)展，對(duì)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的理論研究及其應(yīng)用進(jìn)展進(jìn)行了綜合性闡述。比如在圖像 恢復(fù)處理方面，基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的形狀濾波器可借助于先驗(yàn)的幾何特征信息，利用形態(tài)學(xué)算子就能有效地濾除噪聲，還可以保留圖像中原有的信息； 另外， 基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的邊緣信息提取處理優(yōu)于基本微分運(yùn)算的邊緣提取算法，它對(duì)噪聲不像微分算法那樣敏感，且提取的邊緣也較平滑。在此基礎(chǔ)上，眾多學(xué)者進(jìn)行了大量、深入的研究，提出了一系列新的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)理論。快速算法的研究旨在結(jié)合實(shí)際背景，優(yōu)化計(jì)算方法，提高運(yùn)算速度。 改善數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的通用性，增強(qiáng)其適應(yīng)性，結(jié)合其他領(lǐng)域的最新應(yīng)用進(jìn)展門發(fā)展數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)理論和方法，拓展其應(yīng)用領(lǐng)域，是數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)重要研究?jī)?nèi)容。其中 a 表示元素， A ， B 表示集合。 },|{)( AazaccA z ???? （ 23） 定 義 2： 集合對(duì)于原點(diǎn)的反射，稱為 B 的反射，表示為 B? ， 其 定義 如式（ 24）所示。 })(|{ 空集????? AzBzBA ? （ 26） 膨脹的直觀解釋是：將結(jié)構(gòu)元素 B 做映像后，在圖像上 A 移動(dòng)，當(dāng) A 與 B 的映像有交集的時(shí)候， B 的映像的原點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合就 是 B 膨脹 A 的結(jié)果；腐蝕的直觀解釋是：當(dāng)集合 B 完全包含在集合 A 中時(shí)， B 的原點(diǎn)位置的集合就是用 B 腐蝕 A 的結(jié)果 。一般地，如果原點(diǎn)在結(jié)構(gòu)元素的內(nèi)部，則腐蝕后的圖像為輸入圖像的一個(gè)子集，這就是稱作 ―腐蝕 ‖的原因；如果原點(diǎn)在結(jié)構(gòu)元素的外部，那么腐蝕后的圖像可能不在輸入圖像的內(nèi)部。 4. 交換律 如式（ 212）所示。這符合實(shí)際的要求，因?yàn)楫?dāng)同一目標(biāo)出現(xiàn)在圖像的不同位置時(shí)，對(duì)它們的分析不應(yīng)因位置差異而不同。比較 (a)和 (b)可以看到，開(kāi)運(yùn)算完全刪除了不能包含結(jié)構(gòu)元素的對(duì)象區(qū)域，平滑了對(duì)象的輪廓，斷開(kāi)了狹窄的連接，去掉了細(xì)小的突出部分。 理工大學(xué)畢業(yè)論文 11 xBABxAxBABxA ???????? )()(,)( ?? （ 226） 開(kāi)、閉運(yùn)算是由腐蝕和膨脹組成的二次運(yùn)算，因此具有與腐蝕和膨脹相類似的性質(zhì)。 )()( xzfzfx ?? （ 227） 將信號(hào)，豎直移動(dòng) y ，稱為偏移，記為 ))(( zyf ? ， 其 定義 如式（ 228）所示。如圖 211 所示。膨脹灰度圖像的結(jié)果是，比背景亮的部分得到擴(kuò)張，而比背景暗的部分受到收縮。膨脹灰度圖像的結(jié)果是，比背景暗的部分得到擴(kuò)張，而比背景暗的部分受到收縮?；叶扰蛎浥c二值膨脹之間也有類似關(guān)系。從 (b)可以看出圖像經(jīng)過(guò)膨脹后，比原圖像更明亮且消除了小的、暗的細(xì)節(jié)。 fggf ??? （ 243） 5. 結(jié)合律 如式（ 244）所示。這種填充表達(dá)方式可以從幾何角度直觀地描述開(kāi)運(yùn)算：在信號(hào)的下方滑動(dòng)結(jié)構(gòu)元素，并在每一點(diǎn)記錄結(jié)構(gòu)元素上的最高點(diǎn)，原點(diǎn)相對(duì)結(jié)構(gòu)元素的位置不會(huì)對(duì)運(yùn)算結(jié)果產(chǎn)生影響。實(shí)際中常用開(kāi)啟操作 來(lái) 消除與結(jié)構(gòu)元素相比尺寸較小的亮細(xì)節(jié)，理工大學(xué)畢業(yè)論文 17 而保持圖像整體灰度值和大的亮區(qū)域基本不受影響。 軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)可進(jìn)一步分為灰度軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)和二值軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué) 。所以軟化形態(tài)學(xué)比標(biāo)準(zhǔn)形態(tài)學(xué)具有更強(qiáng)的抑制噪聲的能力 [11]。一個(gè)物體的結(jié)構(gòu)一般可以通過(guò)物體內(nèi)部各種成分之間的關(guān)系 來(lái)確定。 變換過(guò)程如圖 31[7]所示： )()(* 21 BABABA c ??? ? （ 31） 3