人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第2章23數(shù)學(xué)歸納法課時(shí)作業(yè)(存儲(chǔ)版)
【正文】 2n－ 1(n∈ N*)的過(guò)程如下： ① 當(dāng) n＝ 1時(shí)，左邊＝ 20＝ 1，右邊＝ 21－ 1＝ 1，不等式成立； ② 假設(shè) n＝ k時(shí)，等式成立， 即 1＋ 2＋ 22＋ ? ＋ 2k－ 1＝ 2k－ 1. 則當(dāng) n＝ k＋ 1時(shí)， 1＋ 2＋ 22＋ ? ＋ 2k－ 1＋ 2k＝ 1－ 2k＋ 11－ 2 ＝ 2k＋ 1－ 1， 所以 n＝ k＋ 1時(shí)等式成立． 由此可知對(duì)任意正整數(shù) n，等式都成立． 以上證 明錯(cuò)在何處？ ____________. [答案 ] 沒(méi)有用上歸納假設(shè) [解析 ] 由數(shù)學(xué)歸納法證明步驟易知其錯(cuò)誤所在． 7．設(shè) S1＝ 12， S2＝ 12＋ 22＋ 12， ? ， Sn＝ 12＋ 22＋ 32＋ ? ＋ n2＋ ? ＋ 22＋ 證明 Sn＝ nn＋2 時(shí)，第二步從 “ n＝ k到 n＝ k＋ 1” 右邊應(yīng)添加的項(xiàng)為 ________． [答案 ] k＋k＋ 12 [解析 ] Sk＋ 1－ Sk＝ k＋k＋ 1＋2 －k k＋2 ＝ k＋k＋ 12 . 三、解答題 8．在數(shù)列 {an}中， a1＝ a2＝ 1，當(dāng) n∈ N*時(shí)，滿足 an＋ 2＝ an＋ 1＋ an，且設(shè) bn＝ a4n，求證： {bn}的各項(xiàng)均為 3的倍數(shù)． [證明 ] (1)∵ a1＝ a2＝ 1， 故 a3＝ a1＋ a2＝ 2， a4＝ a3＋ a2＝ 3. ∴ b1＝ a4＝ 3，當(dāng) n＝ 1時(shí)， b1能被 3整除． (2)假設(shè) n＝ k時(shí)，即 bk＝ a4k是 3的倍數(shù)． 則 n＝ k＋ 1時(shí)， bk＋ 1＝ a4(k＋ 1)＝ a(4k＋ 4)＝ a4k＋ 3＋ a4k＋ 2 ＝ a4k＋ 2＋ a4k＋ 1＋ a4k＋ 1＋ a4k＝ 3a4k＋ 1＋ 2a4k. 由歸納假設(shè)， a4k是 3的倍數(shù)，故可知 bk＋ 1是 3的倍數(shù)． ∴ n＝ k＋ 1時(shí)命題正確． 綜合 (1)、 (2)可知，對(duì)于任意正整數(shù) n，數(shù)列 {bn}的各項(xiàng)都是 3的倍數(shù)． 9．若不等式 1n＋ 1＋ 1n＋ 2＋ 1n＋ 3＋ ? ＋ 13n＋ 1a24對(duì)一切正整數(shù) n 都成立，求正整數(shù) a 的最大值，并證明你的結(jié)論． [解析 ] 取 n＝ 1， 11＋ 1＋ 11＋ 2＋ 131 ＋ 1＝ 2624， 令 2624a24，得 a26，且 a∈ N＋ . ∴
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