【正文】 代數(shù)形式，可以看出直線的特點：證明直線過定點，也是將滿足條件的直線整理成以上三種形式之一，再得出結(jié)論。需要注意的一點是，求出的參數(shù)一定要滿足判別式。此時，點P到直線xy3=0的距離最短。 （Ⅰ）求橢圓方程； （Ⅱ）若直線與橢圓交于不同的兩點、且線段的垂直平分線過定點，求的取值范圍。、分別是橢圓的左、右焦點。（1）當(dāng)軸時。25如圖，直線與橢圓交于A、B兩點，記的面積為。解：（1）設(shè)，依題意，則點的坐標(biāo)為 ……………1分∴ ………………………2分又 ∴ ………………………4分∵ 在⊙上，故 ∴ ………………………5分∴ 點的軌跡方程為 ………………………6分（2）假設(shè)橢圓上存在兩個不重合的兩點滿足，則是線段MN的中點，且有…9分又 在橢圓上∴ 兩式相減，得 ……12分∴ ∴ 直線MN的方程為 ∴ 橢圓上存在點、滿足，此時直線的方程為 …………………………14分，且與定直線相切.（I）求動圓圓心的軌跡C的方程；（II）若是軌跡C的動弦，且過， 分別以、為切點作軌跡C的切線，設(shè)兩切線交點為Q，證明:.解：（I）依題意，圓心的軌跡是以為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線上……2分 因為拋物線焦點到準(zhǔn)線距離等于4, 所以圓心的軌跡是………………….5分（II） …………….6分， ， ………8分拋物線方程為 所以過拋物線上A、B兩點的切線斜率分別是， ，所以，、分別是橢圓：的左右焦點。解(1)由已知得橢圓的半長軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1. 又橢圓的焦點在x軸上, ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)設(shè)線段PA的中點為M(x,y) ,點P的坐標(biāo)是(x0,y0),由x=得x0=2x－1y=y0=2y－由,點P在橢圓上,得, ∴線段PA中點M的軌跡方程是.(3)當(dāng)直線BC垂直于x軸時,BC=2,因此△ABC的面積S△ABC=1.當(dāng)直線BC不垂直于x軸時,說該直線方程為y=kx,代入,解得B(,),C(－,－),則,又點A到直線BC的距離d=,∴△ABC的面積S△ABC=于是S△ABC=由≥－1,得S△ABC≤,其中,當(dāng)k=－時,等號成立.∴S△ABC的最大值是. 33’設(shè),在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,向量,動點的軌跡為E.（1）求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀。試探究的值是否與點及直線有關(guān)，不必證明你的結(jié)論。=－ 設(shè)P(x0,y0),因P在C上,有0x01, y0=2, y 39。解⑴直線AB的方程為，聯(lián)立方程,消去y得,.設(shè)A(),B(),得 解得⑵2．已知雙曲線（1，1）能否作一條直線A，B兩點，且P為線段AB 的中點？解：設(shè)能作直線滿足條件，設(shè)（），B（）則—化為（1，1） （）即把直線代入雙曲線方程為 即直線與雙曲線無公共點 不存在直線滿足條件。 依題意：切線的斜率為1。(Ⅱ)若過點的直線交動點M的軌跡于C、D兩點, 且N為線段CD的中點，求直線的方程.解: (Ⅰ)設(shè)……………………………………………………………………………1分因為,所以……………………………………..3分化簡得:. ……………………………………………………………..4分(Ⅱ) 設(shè) 當(dāng)直線⊥x軸時,直線的方程為,則,其中點不是N,不合題意…………………………………………6分設(shè)直線的方程為 將代入得…………(1) …………(2) ……………………………….8分(1)(2)整理得: ……………………………11分直線的方程為即所求直線的方程為……………………………………………解法二: 當(dāng)直線⊥x軸時,直線的方程為,則,其中點不是N,不合題意.故設(shè)直線的方程為,將其代入化簡得由韋達(dá)定理得,又由已知N為線段CD的中點,得,解得,將代入(1)式中可知滿足條件.此時直線的方程為,即所求直線的方程為9．已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過、三點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若直線：（）與橢圓交于、兩點，證明直線與直線的交點在直線上．（Ⅰ）解法一：當(dāng)橢圓E的焦點在x軸上時，設(shè)其方程為（），則，又點在橢圓上，得．解得．∴橢圓的方程為．當(dāng)橢圓E的焦點在y軸上時，設(shè)其方程為（），則，又點在橢圓上，得．解得，這與矛盾．綜上可知，橢圓的方程為． ……4分解法二：設(shè)橢圓方程為（），將、代入橢圓的方程，得解得，．∴橢圓的方程為． ……4分（Ⅱ）證法一：將直線：代入橢圓的方程并整理，得， ……6分設(shè)直線與橢圓的交點，由根與系數(shù)的關(guān)系，得，． ……8分直線的方程為：，它與直線的交點坐標(biāo)為，同理可求得直線與直線的交點坐標(biāo)為． ……10分下面證明、兩點重合，即證明、兩點的縱坐標(biāo)相等：∵，∴．因此結(jié)論成立．綜上可知，直線與直線的交點在直線上． ……14分證法二：將直線：，代入橢圓的方程并整理，得， ……6分設(shè)直線與橢圓的交點，由根與系數(shù)的關(guān)系，得，． ……8分直線的方程為：，即．直線的方程為：，即． ……10分由直線與直線的方程消去，得 ．∴直線與直線的交點在直線上． ……14分11．已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點分別是的左、右頂點，而的左、右頂點分別是的左、右焦點。此時，y0= 所以點P()13某拋物線形拱橋跨度是20米，拱高4米，在建橋時每隔4米需用一支柱支撐，求其中最長的支柱的長 解： 以拱頂為原點，水平線為軸，建立坐標(biāo)系，如圖，由題意知，、坐標(biāo)分別為、設(shè)拋物線方程為,將點坐標(biāo)代入，得解得，于是拋物線方程為 由題意知點坐標(biāo)為，點橫坐標(biāo)也為2，將2代入得從而 故最長支柱長應(yīng)為3 84米 ，焦點在x 軸上，離心率為，且橢圓經(jīng)過圓C：的圓心C。．解：（1）設(shè)P點坐標(biāo)為（x，y）則所以曲線C的方程為 （2）曲線C是以（－3，0）為圓心，為半徑的圓，曲線C′也應(yīng)該是一個半徑為 的圓，點（－3，0）關(guān)于直線y＝x的對稱點的坐標(biāo)為（0，－3），所以曲線C′的方程為又O是C′對稱中心，則O（0，－3）到直線的距離d為所以。解一：設(shè)拋物線y=x2上點P(x0,y0)到直線xy3=0的距離最短。（1）求動點的軌跡方程；（2）已知點，在動點的軌跡上是否存在兩個不重合的兩點、使 (O是坐標(biāo)原點)，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由。此時，y0= 所以點P() 解二：將直線xy3=0往上平移，與拋物線在點P(x0,y0)處相切。 （I）求橢圓的方程； （Ⅱ）求線段MN的長度的最小值； 解法一：（I）由已知得，橢圓的左頂點為上頂點為 故橢圓的方程為（Ⅱ）直線AS的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，從而由得0設(shè)則得，從而 21世紀(jì)教育網(wǎng) 即又由得故又 當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立21世紀(jì)教育網(wǎng) 時，線段的長度取最小值中點坐標(biāo)5過點，斜率為的直線與拋物線交于兩點A、B，如果弦的長度為。求：（Ⅰ）點M的軌跡方程； （Ⅱ）的最小值。解：（1）設(shè)，依題意，則點的坐標(biāo)為 ……………1分∴ ………………………2分又 ∴ ………………………4分∵ 在⊙上，故 ∴ ………………………5分∴ 點的軌跡方程為 ………………………6分（2）假設(shè)橢圓上存在兩個不重合的兩點滿足，則是線段MN的中點，且有…9分又 在橢圓上∴ 兩式相減，得 ……12分∴ ∴ 直線MN的方程為 ∴ 橢圓上存在點、滿足，此時直線的方程為 …………………………14分9設(shè)、分別是橢圓：的左右焦點。=－ 設(shè)P(x0,y0),因P在C上,有0x01, y0=2, y 39。求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法.(1)直接法 直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動點軌跡方程.(2)定義法 若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求.(3)相關(guān)點法 根據(jù)相關(guān)點所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動點的軌跡方程.(4)參數(shù)法 若動點的坐標(biāo)(x,y)中的x,y分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程.，點P到兩點，的距離之和等于4，設(shè)點P的軌跡為，直線與C交于A，B兩點．（Ⅰ）寫出C的方程；（Ⅱ）若，求k的值；（Ⅲ）若點A在第一象限，證明：當(dāng)k0時，恒有||||．本小題主要考查平面向量，橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與橢圓位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查綜合運用解析幾何知識解決問題的能力．滿分12分．解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以為焦點，長半軸為2的橢圓．它的短半軸，故曲線C的方程為． 3分（Ⅱ）設(shè)，其坐標(biāo)滿足消去y并整理得，故． 5分若，即．而，于是，化簡得，所以． 8分27．已知動圓過定點，且與直線相切.(1) 求動圓的圓心軌跡的方程；(2) 是否存在直線，使過點（0，1），并與軌跡交于兩點，且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.（1）如圖，設(shè)為動圓圓心， ，過點作直線的垂線，垂足為，由題意知：， ………………………………………………2分即動點到定點與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點的軌跡為拋物線，其中為焦點，為準(zhǔn)線， ∴ 動點的軌跡方程為 ………………………5分（2）由題可設(shè)直線的方程為，由得 △， ………………………………………………………………………………7分設(shè)，則，……………………………………………9分 由，即 ，于是，……11分即， ，解得或（舍去），…………………………………13分又， ∴ 直線存在，其方程為 ………………………………………14分28 已知點是⊙：上的任意一點，過作垂直軸于,動點滿足。當(dāng)時，綜上所述。解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，所求橢圓方程為。本題解決過程中運用了兩大解題技巧：與韋達(dá)定理有關(guān)的同類坐標(biāo)變換技巧，與點的縱、橫坐標(biāo)有關(guān)的同點縱橫坐標(biāo)變換技巧。 （14分）21已知直線經(jīng)過橢圓 21世紀(jì)教育網(wǎng) 的左頂點A和上頂點D，橢圓的右頂點為，點和橢圓上位于軸上方的動點，直線，與直線分別交于兩點。 依題意：切線的斜率為1。又點，則直線的斜率為，根據(jù)得：，即，此方程無解，即k不存在，也就是不存在滿足條件的直線。13. 直線被橢圓所截得的弦的中點坐標(biāo)是（ ） A. B. C. D. ，則a=（ ）A． B． C． D．?dāng)?shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系1已知直線與橢圓始終有交點，求的取值范圍思路點撥：直線方程的特點是過定點（0，1），橢圓的特點是過定點（2，0）和（2，0），和動點。 又設(shè)中點P（x,y），將，代入，當(dāng)時得 。解⑴直線AB的方程為，聯(lián)立方程,消去y得