【正文】 值求法 :2 1 01 2 10 1 2AA?????? ? ????? ???例 利 用 逆 冪 法 計(jì) 算 下 面 矩 陣 的 按 模 最 小 特 征 值 :::1 0 0 2 1 01 / 2 1 0 0 3 2 10 2 / 3 1 0 0 4 3A LUA LU?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?解 對(duì) 作 分 解 得第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 )()0,0,1( 10 本例中未進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化解取?????? ?kkkkTyUvvLyv1 1 1/4 188。nxxx , 21 ?2反冪法的一個(gè)應(yīng)用 取 ，且設(shè) 是離 p最近的特征值，即 )(~jjp ?? ?? j?),(|||| jipp ij ????? ??)(,|| 1|| 1 jippij????? ??即 ,說明 ||1pj ??是 (ApI)1 的主特征根 第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 對(duì) (ApI)1應(yīng)用冪法得到反冪法計(jì)算公式： 即 ,10 ???niii xv ? ikinii xp )1(1 ?? ?? ??])()([)1( 1111 nknjjjkjkjxppxxppp ?????????? ???????? ??][)1( kjjkjxp ??? ???其中 ikijnjiiik xpp )(1 ??? ??? ????1)( ???? kk uvpIA),0(000 ??? jvu ?且 ,2,1 時(shí)當(dāng) ??k11)( ???? kk upIAv 線性方程組 ()取初始向量 )m a x ( kk v??kkk vu ?/????0)( vPIAv kk ??)(0 ??? k當(dāng)||1||1pp ij ???? ?? 1|||| ?????ppij??),2,1( jini ?? ?第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 )m ax ( kkk vvu ?][)1m a x (][)1(kjjkjkjjkjxpxp???????????)m ax ( kjjkjjxx???????))m a x ( ()(0)1(0vPIAvPIAvkkk ??????][)1m a x (][)1(1kjjkjkjjkjxpxp????????????)m ax (11?????? kjjkjjj xxp ?????于是 )m a x ( kk v??()m a x ( )jjx kx? ? ?)(1 ???? kpj?)m ax ()m ax (11?????? kjjkjjj xxp ?????第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 結(jié)論 定理 4（ 1)設(shè) 有 n個(gè)線性無關(guān)特征向量 ,即 nnRA ??,iii xAx ??)。 省計(jì)算量，可 先 將 (ApI)進(jìn)行 三角分解 P(ApI)=LU。對(duì)應(yīng)的特征向量是3?。得由 12 PuLU v ?。為了節(jié) 況較好時(shí) , r 很小 ,則它本身收斂速度很快。.1, pn ???若 A的特征值為 ， 則 ApI的特征值為 n??? , 21 ?,pn ??,1 p??,1,121 pp ?? ??問題： 已知 的特征值 的一個(gè)近似值 （通常用 nnRA ??j? j?其它方法得到），求 對(duì)應(yīng)的特征向量 （近似）。nkknnkk vxxu?1)m ax (lim,)m ax (lim ?? ????1111 因 為 的 計(jì) 算 比 較 麻 煩 ， 而 且 往 往 不 能 保 持 矩 陣 的 一 些 好 性 質(zhì)（ 如 稀 疏 性 ） ， 因 此 ， 反 冪 法 在 實(shí) 際 運(yùn) 算 時(shí) 以 求 解 方 程 組 代 替 冪 法 迭 代求 得 ， 每 迭 代 一 次 要 解 一 個(gè) 線 性 方 程 組 。 11 , 1 A n n u AA u u u A uA u u???????? ? ???設(shè) 為 階 非 奇 異 矩 陣 ， 為 的 特 征 值 與 相 應(yīng) 的 特征 向 量 ， 即111 AAAAA??? 此 式 表 明 ， 的 特 征 值 是 的 特 征 值 的 倒 數(shù) ， 而 相 應(yīng) 的 特 征向 量 不 變 。pA但 的 選 擇 必 須 依 賴 于 對(duì) 的 特 征 分 布 已 有 大 致 了 解 ，這 在 實(shí) 際 中 是 相 當(dāng) 困 難 的 。 這 種 方 法 稱 為 原 點(diǎn) 平 移 法 。Tu ??第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 K 0 (,1) 1 (,1) 5 (,1) 10 (,1) 15 (,1) 20 (,1) 表 91 Tku )max( kv,5 3 6 5 2 5 )8( 1 ??分別為位數(shù)字的準(zhǔn)確值的主特征值和特征向量矩陣 A位有次后，所得的主特征值。 1?1,kkvv?第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 。 為了克服這個(gè)問題 ， 利用向量的方向與長(zhǎng)度無關(guān)這一性質(zhì) , 將迭代向量的長(zhǎng)度 規(guī)范化 以改進(jìn)冪法 。mkkmmmkimkikkv x xx x Avvv? ? ?? ? ?? ? ??? ? ???? ? ? ?第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 ? ?21 2 1 331 1 1 2 2 3 3112 1 22 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 22 221 1 , 22 , , [ ( 1 ) ( ) ( ) ] ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) （ ） 且 矩 陣 有 個(gè) 線 性 無 關(guān) 的 特 征 向 量 。 冪法是一種計(jì)算 n階實(shí)矩陣 A的主特征值的一種 迭代法 ，它最大的優(yōu)點(diǎn)是方法簡(jiǎn)單，對(duì)稀疏矩陣較合適，但有時(shí)收斂速度很慢． 第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 冪法的基本思想是任取一個(gè)非零的初始向量 ， 由矩陣 A構(gòu)造一向量序列 {vk}k=0,1,2,… ,n 0v??????????????????,011021201vAAvvvAAvvAvvkkk() 稱為迭代向量 ． 由此計(jì)算按摸最大的特征值和特征向量 。ninin n A i ninx x x?? ? ? ???? ? ? ?第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 001 ( 1 , 2 , , ) ,niniiiR v n ainv a x??? ?則 對(duì) 中 的 任 一 非 零 向 量 （ 如 ） , 必 存 在 個(gè) 不 全 為 零 的 數(shù)使 得 (設(shè) ), () nn xaxaxav ???? ?2211001 ?a于是 1 0 1 1 1 2 2 2k k k kk k n n nv A v A v a x a x a x? ? ??? ? ? ? ? ?1 1 1 1 1 1 12[ ( / ) ] [ ] ,nk k ki i i kia x a x a x? ? ? ? ??? ? ? ??其中 ),3,2(1/ 1 nii ?????0 ( )k k? ? ? ?由假設(shè)，知 從而 2 1knik i iiax?? ??????????1 1 1kkv a x??11 1 1 1 1kk k kv A v a x v???? ? ? ??即兩個(gè)相鄰迭代向量的對(duì)應(yīng)