【正文】 5??????????????C = ( 5 , 2 , 3 , 1 , 1 )?C = ( 5 , 2 , 3 , 1 , 1 )?31x ,x 2 4 5x ,x , x3 1 72 111 011 1 0 45 5 5 522 5 661 1 23 0 1 3 1022 5 5 5 5???????? ??? ??26 （ 2） 檢驗(yàn) 是否最優(yōu)。X14BB N 25N3xx C = ( 1 ,1 )1 0 1 2 2 8X = ,X = x ,B = ,N = , ,b =x C = ( 5 ,2 ,3 )0 1 3 4 1 7x???? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ????第一行除以２ 第二行減去第一行 21 —————————————————————————— 可得改進(jìn)的基本可行解 。X 1 1( I , B N , B b )BNX( B , N ) = bX??????39。 1 1 1 1B m + k m + k m + kX = B b B P x B b B P ?? m + 1 1 1B m + 1 m + k n B m + knxZ =C B b+( σ , σ , σ ) C B b+σx?????????? ?????????m + kx , ( 0 )????m+k 0? ?15 ? 用初等變換求改進(jìn)了的基本可行解 假設(shè)Ｂ是線性規(guī)劃 的可行基 ， 則 令非基變量 ，則基變量 。 由此可得一個(gè)新的基本可行解 ， 由 可知 ， 這樣的變換一定能使目標(biāo)函數(shù)值有所增加 。 為了設(shè)法得到一個(gè) m階單位矩陣 I作為初始可行基Ｂ，可在性規(guī) 劃標(biāo)準(zhǔn)化過(guò)程中作如下處理： ? 若在化標(biāo)準(zhǔn)形式前， m個(gè)約束方程都是 “ ≤ ” 的形式， 那么在化標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)只需在一個(gè)約束不等式左端都加上一個(gè)松弛變 量 xn+i (i=12… m)。 5 所以約束方程 就可以表示為 BBNNXA X = ( B N ) = B X + N X = bX?????? 用可行基Ｂ的逆陣Ｂ 1左乘等式兩端，再通過(guò)移項(xiàng)可推得： 若令所有非基變量 , 則基變量 由此可得初始的基本可行解 1BbX=0???????AX=b 1 1BNX =B b B NX1BX =B bNX =06 ? 問題： ?要判斷 m個(gè)系數(shù)列向量是否恰好構(gòu)成一個(gè)基并不是一件容易的事 。 根據(jù)線性規(guī)劃基本定理： 如果可行域Ｄ ={ Ｘ ∈ Ｒ n / ＡＸ =ｂ ， Ｘ ≥ 0}非空有界 ， 則Ｄ上的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值Ｚ =ＣＸ一定可以在Ｄ的一個(gè)頂點(diǎn)上達(dá)到 。 （ 2） 檢查現(xiàn)行的基本可行解是否最優(yōu) ， 如果為最優(yōu) ， 則停止迭代 ， 已找到最優(yōu)解 ， 否則轉(zhuǎn)一步 。 ?為了求得基本可行解 ， 必須求基Ｂ的逆陣Ｂ 1。 定理 2：無(wú)窮多最優(yōu)解判別定理 若 是一個(gè)基本可行解，所對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)向量 ，其中存在一個(gè)檢驗(yàn)數(shù) σ m+k=0， 則線性規(guī)劃問題有無(wú)窮多最優(yōu)解。 為保持解的可行性，可以按最小比值原則確定換出變量： 若 B 1 2 mX =( x , x , x ) T111im + k i 1 1m + k i m + k( B b)( B b)m in /(B P ) 0 ,1 i m =( B P ) ( B P )ll? ?? ????? ??m+kx 1 1 1 1B N B m + k m + kX = B b B N X X = B b B P x?m+kP m+kxm+kx則選取對(duì)應(yīng)的基變量 為換出變量。這些基變量的系數(shù)列向量是單位矩陣 I中的單位向量。 X = ( 0 , 0 , 0 , 8 , 7 ) T 1N N B1 2 31 2 2σ =C C B N=( 5,2, 3) (1,1)3 4 1=( 5,2, 3) ( 2,2, 1)= ( 3, 0 , 4) σ σ σ?????????14BB N 25N3xx C = ( 1 ,1 )1 0 1 2 2 8X = ,X = x ,B = ,N = , ,b =x C = ( 5 ,2 ,3 )0 1 3 4 1 7x???? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ????X = ( 0 , 0 , 0 , 8 , 7 ) T19 （ 3） 基本可行解 的改進(jìn) ① 選取換入變量 因?yàn)?max{3， 4}=4，取 x3為換入變量。 ② 選取換出變量 且 ， 選取 為換出變量 . 4 3 3m i n ,1 / 2 5 / 2 5 / 2?? ?????X = ( 0 , 0 , 4 , 0 , 3 ) T11114 2B b = , B P 0352??????????????? ? ? ?????1 10? ?? 1x5x13BB N 25N411x1x C = ( 3 , 1 )1 0 422X = , X = x , B = , N = , , b =x C = ( 5 , 2 , 1 )0 1 5 1 33x22???????? ? ? ? ??????? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ????????3 1 11 1 15x 4 1 / 2= B b B P x = xx 3 5 / 2?? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ???24 （ 4） 求改進(jìn)了的基本可行解 對(duì)約束方程組的增廣矩陣施以初等行變換 ， 使換入變量 所對(duì)應(yīng) 的系數(shù)列向量 變換成換出變量 所對(duì)應(yīng)的單位向量 , 112P=52????????????50P1???????39。X = X = ( , 0 , , 0 , 0 )55T* 81Z=52B3B N 4N152 3 1 1 7xC = ( 3 ,5 )x 10 5 5 5 5X = ,X = x ,B = ,N = , ,b =C = ( 2 , 1 ,1 )x 0 1 6 1 2 6x5 5 5 5? ? ? ???? ? ? ??? ????? ? ? ??? ????? ? ? ????? ??? ? ? ???? ? ? ?27 ?表格單純形法 通過(guò)例１我們發(fā)現(xiàn) ， 在單純形法的求解過(guò)程中 ， 有下列重要指標(biāo)： ? 每一個(gè)基本可行解的檢驗(yàn)向量 根據(jù)檢驗(yàn)向量可以確定所求得的基本可行解是否為最優(yōu)解 。m a x Z = 8 o r m i n Z = 8? ?X 4 , 2 , 0 , 1 , 0 T? ?? ?X ( 2 , 3 , 2 , 0 , 0 ) ( 1 ) 4 , 2 , 0 , 1 , 0 , 0 1 .TT? ? ?? ? ? ? ? ?C 1 2 0 0 0 Θ CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 0 2 1 x4 x2 x1 1 2 4 0 0 1/2 1 1/2 0 1 1/2 0 1/2 1 0 1 0 0 Z’ 8 0 0 0 0 1 35 對(duì)于極小化的線性規(guī)劃問題的處理： ? 先化為標(biāo)準(zhǔn)型 ， 即將極小化問題變換為極大化問題 ， 然后利用單 純形方法求解 ． ? 直接利用單純形方法求解 ， 但是檢驗(yàn)是否最優(yōu)的準(zhǔn)則有所不同 ， 即： 若某個(gè)基本可行解的所有非基變量對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)數(shù) （ 而不是 ≤ ０ ） ， 則基本可行解為最優(yōu)解 ． 否則采用最大減少原則 （ 而非最大增加原則 ） 來(lái)確定換入變量 ， 即： 若 則選取對(duì)應(yīng)的非基變量 xm+k為換入變量． ? 確定了換入變量以后，換出變量仍采用最小比值原則來(lái)確定。 此時(shí)可以把所有人工變量剔除 ， 開始正式進(jìn)入求原線性規(guī)劃最優(yōu)解的過(guò)程 。 以后的計(jì)算與單純形表解法相同 ， Ｍ只需認(rèn)定是一個(gè)很大的正數(shù)即可 。 ? 求原問題的最優(yōu)解 。 49 例 求解下列線性規(guī)劃問題 解： 首先將問題化為標(biāo)準(zhǔn)型 令 ， 則 1 2 31 2 313231 2 3m i n Z = 3 x + 2 x + xx x x 6x x 4 x x 3x ,x ,x 0? ? ????????? ??39。 ? 產(chǎn)生的原因：在單純形法計(jì)算中用最小比值原則確定換出變量時(shí) ，有時(shí)存在兩個(gè)或兩個(gè)以上相同的最小比值 θ， 那么在下次迭代中就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)甚至多個(gè)基變量等于零 。 例３：最優(yōu)表： 非基變量檢驗(yàn) 數(shù) ， 所以有無(wú)窮多 最優(yōu)解。 無(wú)最優(yōu)解也稱為有限最優(yōu)解 ， 或無(wú)界解 。 人工變量的值不能取零 ， 說(shuō)明了原線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型的約束條件出現(xiàn)了相互矛盾的約束方程 。 如果輔助線性規(guī)劃存在一個(gè)基本可行解 ， 使目標(biāo)函數(shù)的最小值等于零 ， 則所有人工變量都已經(jīng) “ 離基 ” 。 為此可以在目標(biāo)函數(shù)中賦予人工變量一個(gè)絕對(duì)值很大的負(fù)系數(shù) Ｍ 。 37 考慮線性規(guī)劃問題： 為了在約束方程組的系數(shù)矩陣中得到一個(gè) m階單位矩陣作為 初始可行基 ， 在每個(gè)約束方程組的左端加上一個(gè)人工變量 可得到： njjj= 1ni j j ij= 1jm a xZ = c x a x =b ,i=1, 2, ... ,m x 0, j =1 ,2 ,.. .., n???? ????n + ix ( i = 1 , 2 , m )njjj= 1ni j j n + i ij= 1jm a xZ = c x a x + x = b ,i= 1, 2, ... ,m x 0, j=1 ,2 ,.. .., n+ m???? ????38 ———————————————————————— 添加了 m個(gè)人工變量以后 ， 在系數(shù)矩陣中得到一個(gè) m階單位矩陣 ，以該單位矩陣對(duì)應(yīng)的人工變量 為基變量 ， 即可得到一個(gè)初始的基本可行解 這樣的基本可行解對(duì)原線性規(guī)劃沒有意義的 。m a x Z = 8 o r m i n Z = 82/2 3/1 34 因?yàn)榉腔兞?x4的檢驗(yàn)數(shù) σ 4=0， 由無(wú)窮多最優(yōu)解判別定理 ， 本例的線性規(guī)劃問題存在無(wú)窮多最優(yōu)解 。X = ( , 0 , , 0 , 0 )55T* 6 1 739。 檢驗(yàn)向量 因?yàn)? ， 所以 仍不是最優(yōu)解。 4510B = ( P P ) =01??????45x ,x 1 2 3x ,x , x14BB N 25N3xx C = ( 1 ,1 )1 0 1 2 2 8X = ,X = x ,B = ,N =