張英伯clifford-theorem-rv(存儲(chǔ)版)
【正文】 1 , aaa?建立一個(gè)圓方程，圓心在 ，半徑為 ： ?當(dāng) 時(shí)， ?當(dāng) 時(shí)， ?當(dāng) 時(shí)， ?所以我們的圓經(jīng)過(guò)三條直線中每?jī)蓷l的交點(diǎn) ， 這就是 三點(diǎn)共圓 。又因?yàn)? 的任意性，方程等價(jià)于： ?其中 是 n= 4 時(shí)的特征常數(shù)。 則該假設(shè)當(dāng) p=2， p=3 時(shí)都是正確的 。根據(jù)引理 , 2p 條直線的特征常數(shù)可以通過(guò) 2p+1 條直線的特征常數(shù)表示出來(lái)。偉大的數(shù)學(xué)家高斯曾經(jīng)說(shuō)過(guò)： “數(shù)學(xué)中的一些美麗定理具有這樣的特性：它們極易從事實(shí)中歸納出來(lái)，但證明卻隱藏得極深。下面列出的第二篇參考文獻(xiàn)就專門討論了這個(gè)問(wèn)題。 ?在關(guān)于 2p 的 p 個(gè)方程中消去 ，即得所求公式，定理的第一部分證畢。在 2x21 時(shí)得到三條直線的 Clifford 圓滿足的方程： ?在 2x2 的情況得到四條直線的 Clifford 點(diǎn)滿足的方程 ?設(shè) p=3, 是兩個(gè)變?cè)某醯葘?duì)稱多項(xiàng)式。 nuuu , 21 ??iuiuinni uuu ??ii vvvu ??21?? .1,1 niv i ???inniiniini uvvvvvvvvuu???? ? ??? ????1111五、 n=4 和 n=5 時(shí)的證明 ?設(shè)我們有四條直線 ?根據(jù)第四節(jié)的討論，三條直線確定的圓方程為： ?或 ?其中 是一個(gè)變?cè)某醯葘?duì)稱多項(xiàng)式。 111xtxtt? ?11111 , xytxy ??四、特征常數(shù) ?如果我們有兩條直線： ， ?則 . 兩式相減，得到 兩條直 線的交點(diǎn) ： . 再設(shè) . 稱 為 n=2時(shí)的 特征常數(shù) 。 ?現(xiàn)在考慮 復(fù)平面 C, 建立原點(diǎn)，實(shí)軸和虛軸。 ?此點(diǎn)被稱為 Wallace 點(diǎn) 。 。 ?他建立了 Clifford代數(shù)，這是一種交換環(huán)上的有限維結(jié)合代數(shù)，可以看作是復(fù)數(shù)域和 Hamilton四元數(shù)除環(huán)的推廣，他將這種代數(shù)應(yīng)用于運(yùn)動(dòng)幾何。 ?感謝今天的互聯(lián)網(wǎng)，把這個(gè)世界所有的信息擺在了每一個(gè)人的面前。 ?2022年春天，我去德國(guó)訪問(wèn)。 ?江澤民先生隨后給數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家張景中院士打電話征詢答案，并親函濠江中學(xué)參考。 ?2022 年底，澳門的一個(gè)研討班邀請(qǐng)我去做報(bào)告，報(bào)告剛好在濠江中學(xué)舉行。女孩馬上去搜索 Clifford 所有文章的目錄，找到了他關(guān)于這個(gè)問(wèn)題的文章： On Miquel’s Theorem. 遺憾的是年代過(guò)于久遠(yuǎn)，我們的北京圖書館，中科院圖書文獻(xiàn)中心都沒(méi)有收藏。 ?在十九世紀(jì)下半葉和二十世紀(jì)初，許多歐美大數(shù)學(xué)家致力于建立歐幾里得幾何的公理化體系。 ?我國(guó)正處于清朝末年 ， 尚未進(jìn)入近代數(shù)學(xué)的研究領(lǐng)域 ， 因此對(duì)當(dāng)時(shí)的一些研究都比較陌生 。 n=7 ?任取平面內(nèi)兩兩相交， ?且任意三條直線都不共點(diǎn)的七條直線， ?則其中每六條作為一組可確定如上所述 ?的一個(gè)點(diǎn)，共有七個(gè)這樣的點(diǎn)， ?那么這七個(gè)點(diǎn)共 圓。 ?考察公式 ?當(dāng) 在單位圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)， 跑過(guò)原點(diǎn) 0 和點(diǎn) 連線的垂直平分線 。 12x a a t??1a|| 2a?定義 . 關(guān)于 n 條直線 的特征常數(shù) 定義為： ?其中求和號(hào)表示對(duì) (12 n) 進(jìn)行輪換。消去 , ? 即 ?是四條直線的 Clifford 點(diǎn)。我們來(lái)計(jì)算 2p 條直線的情況。故 2p 條直線的 Clifford 點(diǎn)滿足的方程誘導(dǎo)出下述 p 個(gè)方程： 12121121111222111112111433211113221)()1()()(0)()1()()(0)()1()
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