大數(shù)定律與中心極限定理(存儲(chǔ)版)
【正文】 努利大數(shù)定律） 設(shè) ?n 是 n重伯努利試驗(yàn)中事件 A出現(xiàn)的次數(shù) ，每次試驗(yàn)中 P(A) = p, 則對(duì)任意的 ? 0，有 l i m 1nn Ppn? ???? ????????? ? ?第四章 大數(shù)定律與中心極限定理 華東師范大學(xué) 22 August 2022 第 10頁(yè) 常用的幾個(gè)大數(shù)定律 大數(shù)定律一般形式 ： 若隨機(jī)變量序列 {Xn}滿足： 1111 ()l i m 1nniiiinX E XnnP ??????????????? ? ???則稱 {Xn} 服從大數(shù)定律 . 第四章 大數(shù)定律與中心極限定理 華東師范大學(xué) 22 August 2022 第 11頁(yè) 切比雪夫大數(shù)定律 定理 {Xn}兩兩不相關(guān)，且 Xn方差存在，有共同的上界，則 {Xn}服從大數(shù)定律 . 證明用到切比雪夫不等式 . 第四章 大數(shù)定律與中心極限定理 華東師范大學(xué) 22 August 2022 第 12頁(yè) 馬爾可夫大數(shù)定律 定理 若隨機(jī)變量序列 {Xn}滿足： 則 {Xn}服從大數(shù)定律 . 2 11 Va r 0nii Xn ????????? (馬爾可夫條件 ) 第四章 大數(shù)定律與中心極限定理 華東師范大學(xué) 22 August 2022 第 13頁(yè) 辛欽大數(shù)定律 定理 若隨機(jī)變量序列 {Xn}獨(dú)立同分布，且 Xn的數(shù)學(xué)期望存在。 特征函數(shù) 167。 中心極限定理 ? 討論 獨(dú)立隨機(jī)變量和 的 極限分布 , ? 本指出極限分布為 正態(tài)分布 . 獨(dú)立隨機(jī)變量和 設(shè) {Xn} 為獨(dú)立隨機(jī)變量序列，記其和為 1niinYX?? ?第四章 大數(shù)定律與中心極限定理 華東師范大學(xué) 22 August 2022 第 23頁(yè) 獨(dú)立同分布下的中心極限定理 定理 林德貝格 — 勒維中心極限定理 設(shè) {Xn} 為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，數(shù)學(xué)期望為 ?, 方差為 ?20，則當(dāng) n 充分大時(shí)，有 1l i m ( )niinX nnPy y??????? ? ????????????應(yīng)用之例 : 正態(tài)隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生 ； 誤差分析 第四章 大數(shù)定律與中心極限定理 華東師范大學(xué) 22 August 2022 第 24頁(yè) 例 每袋味精的凈重為隨機(jī)變量，平均重量為 100克，標(biāo)準(zhǔn)差為 10克 . 一箱內(nèi)裝 200袋味精，求一箱味精的凈重大于 20500克的概率 ? 解 : 設(shè)箱中第 i 袋味精的凈重為 Xi, 則 Xi 獨(dú)立同分布， 且 E(Xi)=100， Var(Xi) =100， 由中心極限定理得，所求概率為： 20012 0 5 0 0 2 0 0 1 0 02 0 5 0 0 12 0 0 1 0 0iiPX ????? ??? ? ? ????? ??????1 ( 3 .5 4)? ? ? = 故一箱味精的凈重大于 20500克的概率為 . (很小 ) 第四章 大數(shù)定律與中心極限定理 華東師范大學(xué) 22 August 2022 第 25頁(yè) 例 設(shè) X 為一次射擊中命中的環(huán)數(shù)，其分布列為 求 100次射擊中命中環(huán)數(shù)在 900環(huán)到 930環(huán)之間的概率 . X P
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