【正文】 y=4說明：當兩個方程中的常數(shù)項絕對值相等或成整數(shù)倍時，用加減法消去常數(shù)項來解比較簡捷迅速。注意：一元一次方程的解也叫做根，而二元一次方程的解不能叫做根。甲寫出的解是 x=0；乙寫出的解是 x=2y=0 y=2，你找出的與甲、乙不相同的一個解是_________。（2002年紹興） y=7解：先圍繞x、y列出一個方程組 x－2y=?（方程組中每一項的系數(shù)可以任意選?。?，然后 2x＋y=?把 x=0 代入，分別求出相應(yīng)的“？”，得 x－2y=－14 y=7 2x＋y=7例10 已知四個方程x＋by=8，2x－y=7，3x－y=6，3ax－5by=9具有相同的解，求a－b的值。根據(jù)題意得 a=12300=3600 b=24140=3360答：甲、乙兩人單獨完成此工程各需費用3600元、3360元。因此，本題看似只有一個待求量——牛的頭數(shù)，實際上還隱含著兩個未知量——每星期每公頃牧場上的草長出的量和每星期每頭牛吃草的量。y分析：代數(shù)式的值是指用數(shù)字代替代數(shù)式中的字母，按照指明的運算順序計算出的結(jié)果。因此，可先建立關(guān)于后三個未知數(shù)的方程組，再解之，從而解決問題。設(shè)每天新申請裝機的固定電話部數(shù)也相同。某汛期，上游的洪水在未開泄洪閘的情況下使水庫水位勻速上升，當水庫水位超過警戒線h米時開始泄洪。用4臺抽水機15小時可把井抽完，用8臺同樣的抽水機7小時可把井水抽完。但只要細心，就會看到系數(shù)之間的如下特點：323＋177=500，457＋543=1000，1103＋897=2000，容易找到化簡的途徑。例5 △ABC是等邊三角形，表示其邊長的代數(shù)式均已在圖1中標出。依題意列出關(guān)系式如下： (x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＋（2x2＋3x3＋4x4＋5x5）=1992 ① （x1＋x2＋x3＋x4＋x5）＋2（2x2＋3x3＋4x4＋5x5）=2984 ②①2－②得x1＋x2＋x3＋x4＋x5=21992－2984=1000（元）所以每種教具各購買一件共需1000元。解法二：設(shè)該學生做對了x道題，做錯了y道題，有z道題沒做，則 x＋y＋z=20 ① 8x－5y=13 ②由②得8x=13＋5y所以8（x＋y）=8x＋8y=13＋5y＋8y=13＋13y=13（1＋y）因為8和13的公約數(shù)為1，所以x＋y必是13的倍數(shù)。【智力沖浪】1．方程1995x＋6y=420000的一組正整數(shù)解（x，y）是（ ）A．（61，48723） B．（62，48725） C．（63，48726） D．（64，48720）2．若∣x－y＋3∣與∣x＋y－1995∣互為相反數(shù)，求的值。4．掌握多邊形的內(nèi)角和與多邊形的外角和的探索過程。一個三角形有三條角平分線，它們都位于三角形內(nèi)部。直角三角形有一條高在三角形內(nèi)部，另兩條高恰好與兩條直角邊重合；鈍角三角形有一條高在三角形內(nèi)部，另兩條高在三角形外部。 按邊的相等關(guān)系可將三角形分類為： 不等邊三角形三角形 等腰三角形 底邊和腰不相等的等腰三角形等邊三角形 等腰三角形是有兩條邊相等的三角形，等邊三角形是三條邊都相等的三角形。8．什么是多邊形的對角線？答：連結(jié)多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線。任意多邊形的外角和都為3600，與邊數(shù)無關(guān)。本題請同學們自己完成。∴∠A=1800－900=900∠B=1800－1200=600∠C=1800－1500=300（2）∵∠A=900，∴△ABC是直角三角形。1800，再減去以O(shè)為頂點的一個周角，即可推得n邊形的內(nèi)角和為（n－2）1800。7．什么是多邊形？什么是正多邊形？答：一般地，由n條不在同一直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形稱為n邊形，又稱為多邊形。而按照三角形的三個內(nèi)角中有無直角，可將三角形分成直角三角形和斜三角形兩類。一個三角形有三條高。如“三角形ABC”可記作“△ABC”。2．知道三角形具有穩(wěn)定性。k只能取1，2，3，4，5，6，7，8這八個正整數(shù)，k與x的對應(yīng)取值如下表所示：k12345678x17所以只有當k=8時，相應(yīng)的值取正整數(shù)17。而當z=20時，根據(jù)，這個學生只可能得0分，所以z=20不合題意。”請你根據(jù)小明的回憶，把原方程組復(fù)原出來。例4 已知a、b都是有理數(shù)。分析：本題的思路是由方程組解出x、y，然后求出欲計算的代數(shù)式的值。小結(jié)：對于生活中的一些總是同學們要善于從數(shù)學的角度加以分析，透過現(xiàn)象看實質(zhì)，通過建立數(shù)學模型、靈活地引進參數(shù)，使問題靈活、快捷地得以解決，起到事半功倍之效。例5 某水庫共有6個相同的泄洪閘。n ∴ n≥答：至少要同時開放4個窗口。若開放一個窗口，需要40分鐘才可使排隊等候的學生全部買到晚餐；若同時開放兩個窗口，則需15分鐘就可使排隊等候的學生全部買到晚餐。解：令=k（k≠0），則x=5k－z，y=4k－z又x＋y=3k將x=5k－z，y=4k－代入上式，得 5k－z＋4k－z=3k ∴z=3k， ∴x=2k，y=k把z=3k，x=2k，y=k代入方程3x＋2y－4z=－8中，得 6k＋2k－12k=－8 ∴ k=2 ∴x=4，y=2，z=6小結(jié)：若方程組中有一個含比例的方程，可引入?yún)?shù)，用含的代數(shù)式表示方程組中的未知數(shù)，再代入到另一個方程中，達到消元的目的。如果要在96天內(nèi)把牧場的草吃完，問該有多少頭牛？由于三種不同情況下，整片牧場的原有草量保持不變，因而我們不妨引入一個參數(shù)a——設(shè)整片牧場上草的面積為a公頃，并設(shè)牧場上每天長出x公頃的草，每頭牛每天吃y公頃的草。問在第三片牧場上飼養(yǎng)多少頭牛恰好可以維持18星期？這個問題來源于生活實際，解題時不可忽視“牧場上的草是一樣密的，而且長得一樣快”這一條件。根據(jù)題意得解得 m=12 n=24答：甲、乙兩人單獨完成此工程各需12天、24天。（2003年昭通）解：由二元一次方程的概念知2a－3b－3=1 2a－3b=4 a=5 a＋b－6=1 a＋b=7 b=2 ba=25=323．方程組的解法例5 二元一次方程 2x＋y=2 的解是（ ） （2003年南寧） －x＋y=5A． x=1 B． x=－1 C． x=－3 D． x=3 y=6 y=4 y=2 y=2 解：用加減消元法可以很容易地解得 x=－1，故應(yīng)選B y=4例6 解方程組 x＋y=4① 2x－y=－1②解法一（加減消元法）：①＋②得3x=3 ∴ x=1把x=1代入得y=3 x=1 ∴ y=3解法二（代入消元法）：由①得y=4－x③把③代入②得2x－（4－x）=－1 ∴ x=1把x=1代入得y=3 x=1 ∴ y=34．方程組的應(yīng)用例7 若2amb2m＋3n與a2n－3b8的和仍是一個單項式，則m與n的值分別是（ ）A．1，2 B．2，1 C．1，1 D．1，3 （2003年煙臺）解：由題意知 m=2n－3 解得 m=1 2m＋3n=8 n=2故應(yīng)選A例8 已知二元一次方程組 ax＋by=2 的解為 x=2，某同學看錯了系數(shù)c，求出解為 cx＋2y=10 y=4x=3 y= ，則正確的c=______，b=_______。1．方程組的解例1 已知 x=2 是關(guān)于x、y的方程2x－y＋3k=0的解，則k=_____。例6 如果方程組 ax＋2y=b 的解x，y滿足∣x－2y－3∣＋（x＋3y＋2）2=0，求 4x－by=2a－1a、b的值。這種解法叫做加減消元法。 y=－2 y=07．如果一元二次方程組 ax－by=4，與 ax＋by=2的解相同，那么a=_____，b=____。對于含有多個未知數(shù)的問題，利用方程組來解，往往比列一元一次方程容易，原因在于通過多個未知數(shù)來尋找等量的數(shù)量關(guān)系直截了當。其一般形式為2．二元一次方程組的解：使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)的值。q%總之，尋求等量關(guān)系的途徑因題而異，但有一點是共同的，就是在變化的諸未知量中找不變的量，從運動變化的關(guān)系中找相對穩(wěn)定的相等關(guān)系，這就是尋求等量關(guān)系的關(guān)鍵之所在。例10 有含8%的鹽水40kg，要配成含鹽20%的鹽水，需要加鹽多少千克？分析：這是一道有關(guān)溶液濃度的問題。上面的解法是在路程方面尋求等量關(guān)系，下面我們再從時間方面尋求等量關(guān)系來布列方程。甲、乙兩人同時由A地出發(fā)向B地行進，甲到B后立即返回，問從A出發(fā)后幾小時，乙在去路上恰遇甲在歸途中？解法一：這是一個勻速運動的行程問題，甲時速為20km，乙時速為16km，其行進過程如右圖所示。∴9y=，y=。當x≥1時，由x－1=1得x=2當x1時，由x－1=－1得x=0經(jīng)檢驗，x=2，x=0都是原方程的根。檢驗一個數(shù)是否為方程的根，只需將該數(shù)代入方程，看這個數(shù)是否滿足方程即可。例2 如果等式1992＋1994＋1996＋1998=5000－□成立，則□中應(yīng)填的數(shù)是（ ）A．5 B．－980 C．－1900 D．－2980解：設(shè)□中應(yīng)填的數(shù)是x，則1992＋1994＋1996＋1998=5000－x即7980=5000－xx=5000－7980=－2980，應(yīng)選D【說明】含有未知數(shù)物等式叫做方程，而1992＋1994＋1996＋1998=5000－□是含有未知數(shù)□的等式，因此是方程?！嗨蟮膬晌粩?shù)分別為13，24，35，46，57，68，79。解決這類問題的關(guān)鍵在于熟悉諸如成本、利潤、利息、增值、貶值、盈利、虧損、賺錢、賠本、售價、折扣、費用、股票等名詞術(shù)語，再加深對百分比、增長率等有關(guān)概念的理解和應(yīng)用。根據(jù)題意得60z－60z=600解得z=20同理可求得第二次相遇所需的時間為t=50說明：環(huán)形問題的同向相遇相當于直線問題的同向追及問題；而背向相遇問題相當于直線問題的相向相遇問題。說明：本題有多種解法，但無論怎樣列方程，總要依據(jù)等量關(guān)系：甲車所行路程＋乙車所行路程=全程。（四）常見類型1．和、差、倍、分問題等量關(guān)系：兩數(shù)和=較大數(shù)＋較小數(shù)較大數(shù)=較小數(shù)倍數(shù)增（減）數(shù)2．調(diào)配問題等量關(guān)系：調(diào)配后，新的甲、乙兩方的倍比關(guān)系3．等積變形問題等量關(guān)系：變形前的質(zhì)量=變形后的質(zhì)量 變形前的體積=變形后的體積4．利息問題基本關(guān)系：利息=本金利率期數(shù)等量關(guān)系：本息和=本金＋利息=本金＋本金利率期數(shù)稅后利息=本金利率期數(shù)（1－利息稅率）5．增長（或降低）率問題等量關(guān)系：增長率=100%實際生產(chǎn)數(shù)=計劃數(shù)＋（1＋增長率）實際生產(chǎn)數(shù)=計劃數(shù)（1－減少率）6．市場經(jīng)濟問題等量關(guān)系：商品的利潤=商品的售價－商品的進價商品的利潤率=100%7．行程問題基本關(guān)系：s=vt，v=，t=等量關(guān)系：（1）相向相遇問題：甲、乙所走路程的和=A、B兩地的距離同時出發(fā)到相遇時，甲、乙所用時間相等（2）同向追及問題： 乙所走路程的差=A、B兩地的距離從開始追趕到追及時，甲、乙所用時間相等（3）環(huán)行相遇問題：同地同向：每相遇一次所走路程差=一環(huán)的路程同地背向：每相遇一次所走路程和=一環(huán)的路程（4）航行問題：順流速度=靜水速度＋水流速度逆流速度=靜水速度－水流速度（5）時鐘問題：分針走的總路程－時針走的總路程=環(huán)形周長（60）n（n是第n次重合）開始追趕到追上（重合）時，分針與時針所用的時間相等8．工程問題基本關(guān)系：工作量=工作效率工作時間等量關(guān)系：各個部分完成工作量的和=全部工作量 原計劃完成時間=實際完成時間＋提前完成時間=實際完成時間－誤工時間9．濃度配比問題基本關(guān)系：溶質(zhì)質(zhì)量=溶液質(zhì)量濃度溶液質(zhì)量=溶質(zhì)質(zhì)量＋溶劑質(zhì)量（水）等量關(guān)系：甲溶質(zhì)質(zhì)量＋乙溶質(zhì)質(zhì)量=混合后溶質(zhì)質(zhì)量甲溶液質(zhì)量＋乙溶液質(zhì)量=混合后溶液質(zhì)量注意：稀釋時，加溶劑前后，溶質(zhì)不變；加濃時，加溶質(zhì)前后，溶劑不變。四、常見誤區(qū)分析本章常見誤區(qū)是在解一元一次方程時出現(xiàn)錯誤?！郺=2例7 求作一個一元一次方程，使其根為－。分析：利用同類項的定義，構(gòu)造一元一次方程求解。設(shè)——設(shè)未知數(shù)。2．方程的基本變形3．一元一次方程從定義來看，一個方程若是一元一次方程，必須滿足三個條件：一、必須是整式方程；二、只含有一個未知數(shù)（故稱作“一元”）；三、未知數(shù)的次數(shù)是1