【正文】 ) 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）單調遞減. 4分（2）由上知：當x a0時, fn ( x ) = xn – ( x + a)n是關于x的減函數(shù),∴ 當n 179。 –1, ∴ ⊿ = (–c2a)2 – 16c2 = c4a2 – 16c2 179。 f () = = f ( | a | ) + f ( | c | ) = + += ( | a | ) + f ( | c | ) 1.7. 設函數(shù)在上是增函數(shù).（1） 求正實數(shù)的取值范圍；（2）設，求證：解：（1）對恒成立，對恒成立，又 為所求.……4分（2）取，一方面，由（1）知在上是增函數(shù)，即……………………………………8分另一方面，設函數(shù)，∴在上是增函數(shù)且在處連續(xù)，又∴當時， ∴ 即綜上所述，………………………………………………14分8. 已知，函數(shù).(Ⅰ)當時，求使成立的的集合；(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.解：（Ⅰ）由題意，.當時，解得或；當時，解得.綜上，所求解集為.（Ⅱ）設此最小值為.①當時，在區(qū)間上，.因為，則在區(qū)間上是增函數(shù)，所以.②當時，在區(qū)間上，由知.③當時，在區(qū)間上，..④當時，故；⑤當時，故⑥若，在區(qū)間內(nèi)，從而為區(qū)間上的增函數(shù)，由此得.⑦若，則.當時，從而為區(qū)間上的增函數(shù)； 當時，當時，或.綜上所述，所求函數(shù)的最小值9. 函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)可導，導函數(shù)是減函數(shù)，且 設是曲線在點（）得的切線方程，并設函數(shù)（Ⅰ）用、表示m；（Ⅱ）證明：當；（Ⅲ）若關于的不等式上恒成立，其中a、b為實數(shù)，求b的取值范圍及a與b所滿足的關系.本小題考查導數(shù)概念的幾何意義，函數(shù)極值、（Ⅰ）解：…………………………………………2分（Ⅱ）證明：令因為遞減，所以遞增，因此，當；，且是極小值點，可知的最小值為0，因此即…………………………6分（Ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要條件，以下討論設此條件成立.對任意成立的充要條件是另一方面，由于滿足前述題設中關于函數(shù)的條件，利用（II）的結果可知，的充要條件是：過點（0，）與曲線相切的直線的斜率大于，該切線的方程為于是的充要條件是…………………………10分綜上，不等式對任意成立的充要條件是 ①顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式 ②有解解不等式②得 ③因此，③式即為b的取值范圍，①式即為實數(shù)在a與b所滿足的關系.…………12分（Ⅲ）解法二：是不等式成立的必要條件，以下討論設此條件成立.對任意成立的充要條件是………8分令，于是對任意成立的充要條件是由當時當時，所以，當時，即………………10分綜上，不等式對任意成立的充要條件是 ①顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式 ②有解解不等式②得因此，③式即為b的取值范圍，①式即為實數(shù)在a與b所滿足的關系.…………12分10. 已知函數(shù)（1）函數(shù)在區(qū)間（0，+）上是增函數(shù)還是減函數(shù)？證明你的結論；（2）若當時，恒成立，求正整數(shù)的最大值.解：（1）.因此函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù).（2）（方法1）當時，恒成立，令有又為正整數(shù). 的最大值不大于3.…7′，恒成立.令當取得最小值時，.（2）（方法2）當時，恒成立，即恒成立.即的最小值大于上連續(xù)遞增，又存在唯一實根，且滿足：由知：的最小值為因此正整數(shù)的最大值為3.11. 已知二次函數(shù)的二次項系數(shù)為a，且不等式的解集為（1，3）.（1）若方程有兩個相等的根，求的解析式；2）若的最大值為正數(shù)，求a的取值范圍.本小題主要考查二次函數(shù)、方程的根與系數(shù)關系，.解：（Ⅰ）①由方程 ②因為方程②有兩個相等的根，所以，即由于代入①得的解析式（Ⅱ）由及由 解得 故當?shù)淖畲笾禐檎龜?shù)時，實數(shù)a的取值范圍是，點P（，0）是函數(shù)的圖象的一個公共點，兩函數(shù)的圖象在點P處有相同的切線.；（Ⅰ）用表示a，b，c；（Ⅱ）若函數(shù)在（－1，3）上單調遞減，求的取值范圍.解：（I）因為函數(shù)，的圖象都過點（，0），所以，. 又因為，在點（，0）處有相同的切線，所以而將代入上式得 因此故，（II）解法一.當時，函數(shù)單調遞減.由，若；若由題意，函數(shù)在（－1，3）上單調遞減，則所以又當時，函數(shù)在（－1，3）上單調遞減.所以的取值范圍為解法二：因為函數(shù)在（－1，3）上單調遞減，且是（－1，3）上的拋物線，所以 即解得所以的取值范圍為13. .已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小值，并求最小值小于0時的取值范圍；（2）令求證： 14. 已知函數(shù)是在上處處可導的函數(shù),若在上恒成立. (I)求證：函數(shù)上是增函數(shù)； (II)當； (III)已知不等式時恒成立，求證：解析:(I),所以函數(shù)上是增函數(shù)(II)因為上是增函數(shù),所以,兩式相加后可以得到(Ⅲ) …… 相加后可以得到:所以 令有 所以(方法二)所以又,所以15. .已知函數(shù) .若對任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) 1, 求 a的取值范圍. 解析:函數(shù)f (x)的定義域為(∞, 1)∪(1, +∞), 導數(shù)為.(iⅰ) 當0 a≤2時, f (x) 在區(qū)間 (∞, 1) 為增函數(shù), 故對于任意x∈(0, 1) 恒有 f (x) f (0) =1, 因而這時a滿足要求. (iiⅱ) 當a2時, f (x) 在區(qū)間 (,)為減函數(shù), 故在區(qū)間(0, ) 內(nèi)任取一點, 比如取, 就有 x0∈(0, 1)且 f (x0) f (0) =1, 因而這時a不滿足要求.(ⅲiii) 當a≤0時, 對于任意x∈(0, 1) 恒有≥, , 所求 a的取值范圍為 a≤2.16. 已知函數(shù)（a＞0，且a≠1），其中為常數(shù)．如果 是增函數(shù)，且存在零點（為的導函數(shù)）．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）設A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1x2）是函數(shù)y＝g（x）的圖象上兩點，（ 為的導函數(shù)），證明：．（Ⅰ）因為，所以．…………3分因為h（x）在區(qū)間上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上恒成立．若0a1，則lna0，于是恒成立．又存在正零點，故△＝（－2lna）2－4lna＝0，lna＝0，或lna＝1與lna0矛盾．所以a1．由恒成立，又存在正零點，故△＝（－2lna）2－4lna＝0，所以lna＝1，即a＝e． ………………………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ），于是，．…………9分 以下證明． （※）（※）等價于． ………………………11分令r（x）＝xlnx2－xlnx－x2＋x，……………………………13分r ′（x）＝lnx2－lnx，在（0，x2］上，r′（x）0，所以r（x）在（0，x2］上為增函數(shù)．當x1x2時，r（x1） r（x2）＝0，即，從而得到證明．…………………………………………15分對于同理可證所以．……………………………………16分17. 已知實數(shù)a滿足0＜a≤2，a≠1，設函數(shù)f （x）＝x3－x2＋ax．（Ⅰ）當a＝2時，求f （x）的極小值；（Ⅱ）若函數(shù)g（x）＝x3＋bx2－（2b＋4）x＋ln x （b∈R）的極小值點與f （x）的極小值點相同．求證：g（x）的極大值小于等于．本題主要考查函數(shù)的極值概念、導數(shù)運算法則、導數(shù)應用，同時考查推理論證能力，分類討論等綜合解題能力和創(chuàng)新意識。知，對一切n∈N時有方法二：用數(shù)學歸納法證明：1176。23.（2009北京理）已知數(shù)集具有性質；對任意的，與兩數(shù)中至少有一個屬于.（Ⅰ）分別判斷數(shù)集與是否具有性質，并說明理由；（Ⅱ）證明：，且；（Ⅲ）證明：當時，成等比數(shù)列.【解析】本題主要考查集合、等比數(shù)列的性質，考查運算能力、推理論證能力、分分類討論等數(shù)學思想方法．本題是數(shù)列與不等式的綜合題，屬于較難層次題.（Ⅰ）由于與均不屬于數(shù)集，∴該數(shù)集不具有性質P. 由于都屬于數(shù)集， ∴該數(shù)集具有性質P.（Ⅱ）∵具有性質P，∴與中至少有一個屬于A，由于，∴，故. 從而，∴.∵， ∴，.又∵，∴，從而，∴. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時，有，即， ∵，∴，∴，由A具有性質P可知. ，得，且，∴，∴，即是首項為1，公比為成等比數(shù)列.24.（2009江蘇卷）設是公差不為零的等差數(shù)列，為其前項和，滿足。 26.（2009山東卷理)等比數(shù)列{}的前n項和為， 已知對任意的 ，點，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.（1）求r的值； （11）當b=2時，記 證明：對任意的 ，不等式成立解:因為對任意的,點，,當時,當時,又因為{}為等比數(shù)列,所以,公比為,（2）當b=2時，, 則,所以 下面用數(shù)學歸納法證明不等式成立.① 當時,左邊=,右邊=,因為,所以不等式成立.② 假設當時不等式成立,左邊=所以當時,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立.【命題立意】:本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項公式,以及已知求的基本題型,并運用數(shù)學歸納法證明與自然數(shù)有關的命題,以及放縮法證明不等式.27.（2009廣東卷理）知曲線．從點向曲線引斜率為的切線，切點為．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：.解：（1）設直線：，聯(lián)立得，則，∴（舍去） ，即，∴（2）證明：∵ ∴由于，可令函數(shù)，則，令，得，給定區(qū)間，則有，則函數(shù)在上單調遞減，∴，即在恒成立，又，則有，即. 28（2009安徽卷理）首項為正數(shù)的數(shù)列滿足 （I）證明：若為奇數(shù)，則對一切都是奇數(shù)；（II）若對一切都有，求的取值范圍.解：本小題主要考查數(shù)列、數(shù)學歸納法和不等式的有關知識，考查推理論證、抽象概括、運算求解和探究能力，考查學生是否具有審慎思維的習慣和一定的數(shù)學視野。根據(jù)數(shù)學歸納法，與同號因此，對一切都有的充要條件是或。（II）（方法一）由知，當且僅當或。（1）設公差為，則，由性質得，因為，所以，即，又由得，解得，,(2) （方法一）=,設， 則=, 所以為8的約數(shù)（方法二）因為為數(shù)列中的項，故為整數(shù)，又由（1）知：為奇數(shù)，所以經(jīng)檢驗，符合題意的正整數(shù)只有。 (3).解析:(1),猜想,下面用數(shù)學歸納法證明:(i)當時,結論成立。(2) 若數(shù)列的通項公式為, 求數(shù)列 的前m項和(3) 設數(shù)列滿足: ,.設,若(2)中的滿足對任意不小于2的正整數(shù)n, 恒成立, 試求m的最大值.解: (1)設點是函數(shù)的圖象上任意一點, 得所以, 點P的坐標為P.………………(2分)由點在函數(shù)的圖象上, 得.∵ ∴點P在函數(shù)的圖象上.∴函數(shù)的圖象關于點對稱. ………………(4分)(2)由(1)可知, , 所以,即………………(6分)由, …… ①得 ……②由①＋②, 得∴……… (8分)(3) ∵③∴對任意的. …④由③、④, 得即.∴.……(10分)∵∴數(shù)列是單調遞增數(shù)列.∴關于n遞增. 當, 且時, .∵∴………………(12分)∴即∴ ∴m的最大值為6. ………(14分)，其前項和為，且對任意都有（為大于1的常數(shù)），記．(1) 求；(2) 試比較與的大小（）；(3) 求證：，（）．解：(1) ∵， ① ∴．②②－①，得，即． （3分）在①中令，可得．∴是首項為，公比為的等比數(shù)列，（4分）(2) 由(1)