高三數(shù)學(xué)解三角形(存儲(chǔ)版)
【正文】 法一 ： 由正弦定理得2sin45176。 ， 求 B 及 S △ A B C . 【 解析 】 ∵asinA＝bsinB， ∴ sin B ＝bsin Aa＝6 sin30176。 ， △ ABC 為等腰三角形 ． S △ ABC ＝12absin C ＝ 3 3 . 三角形形狀的判定 在△ ABC中， a、 b、 c分別表示三個(gè)內(nèi)角 A、 B、 C的對(duì)邊，如果 (a2＋ b2)sin(A－ B)＝ (a2－ b2)sin(A＋ B)，判斷三角形的形狀． 【 思路點(diǎn)撥 】 分別以 a2和 b2為同類項(xiàng)整理已知條件 → 展開 sin ( A ＋ B ) 和 sin ( A － B ) → 轉(zhuǎn)化為邊或角的關(guān)系求解 → 得三角形形狀 【 自主解答 】 方法一： 由已知得 a2[sin(A－ B)－ sin(A＋ B)] ＝ b2[－ sin(A＋ B)－ sin(A－ B)]， ∴ 2a2cosAsinB＝ 2b2cosBsinA. 由正弦定理，得 sin2AcosAsinB＝ sin2BcosBsinA， ∴ sinAsinB(sinAcosA－ sinBcosB)＝ 0， ∴ sin2A＝ sin2B，由 0＜ A＋ B＜ π ， 得 2A＝ 2B或 2A＝ π － 2B， 即△ ABC是等腰三角形或直角三角形． 方法二：同方法一可得 2a2cosAsinB＝ 2b2cosBsinA， 由正、余弦定理，即得 a 2 b b2 ＋ c 2 － a 22bc ＝ b2 a a2 ＋ c 2 － b 22ac ， ? ∴ a2(b2＋ c2－ a2)＝ b2(a2＋ c2－ b2)， ? 即 (a2－ b2)(c2－ a2－ b2)＝ 0， ? ∴ a＝ b或 c2＝ a2＋ b2， ? 故△ ABC為等腰三角形或直角三角形． 【 方法點(diǎn)評(píng) 】 依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時(shí)，主要有如下兩種方法： (1)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀； (2)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用 A＋ B＋ C＝ π 這個(gè)結(jié)論． 2．已知方程 x2－ (bcosA)x＋ acos B＝ 0的兩根之積等于兩根之和， a， b為△ ABC的兩邊， A， B為兩內(nèi)角，試判斷這個(gè)三角形的形狀． 【 解析 】 方法一：設(shè)方程的兩根為 x1， x2，由韋達(dá)定理知：x1＋ x2＝ bcos A， x1 的方向，距離 A處 2 n mile的 C處的緝私船奉命以 n mile/h 的速度追截走私船．此時(shí)，走私船正以 10 n mile/h的速度從 B處向北偏東 30176。 47′ ，與呼救船相遇所需時(shí)間為小時(shí)． 1 ． (2020 年全國 Ⅱ 高考 ) 已知 △ ABC 中 ， cot A ＝－125，則 cos A ＝ ( ) A.1213 B.513 C ．－513 D ．－1213 【 解析 】 在 △ A BC 中， ∵ cot A ＝－125，故 A 為鈍角，則根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系可求得 cos A ＝－1213. 【 答案 】 D 2． (2020年全國 Ⅰ 高考 )在△ ABC中，內(nèi)角 A、 B、 C的對(duì)邊長分別為 a、 b、 a2－ c2＝ 2b，且 sin Acos C＝3cos A sin C，求 b. 【 解析 】 由余弦定理得 a2－ c2＝ b2－ 2bccos A. 又 a2－ c2＝ 2b， b≠ 0，所以 b＝ 2ccos A＋ 2.① 又 sin Acos C＝ 3cos Asin C， sin Acos C＋ cos Asin C＝ 4cos Asin C， sin(A＋ C)＝ 4cos Asin C， sin B＝ 4sin Ccos A. 由正弦定理得 sin
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