函數(shù)的奇偶性與周期性(存儲(chǔ)版)
【正文】 x)，故不符合要求；對(duì)于D，∵f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，∴y＝ex－e－x為奇函數(shù)，故選D.答案：D(2)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是( )A．y＝ B．y＝lg|x| C．y＝(x－1)2 D．y＝2x解析：根據(jù)奇、偶函數(shù)的定義，可得A是奇函數(shù)，B是偶函數(shù)，C，D為非奇非偶函數(shù)．答案：B(3)函數(shù)f(x)＝＋，則( )A．不具有奇偶性 B．只是奇函數(shù)C．只是偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)解析：由得x＝－或x＝.∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧－，}．∵對(duì)任意的x∈{－，}，－x∈{－，}，且f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0，∴f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)．答案：D[方法引航] 判斷函數(shù)的奇偶性的三種重要方法(1)定義法：(2)圖象法：函數(shù)是奇(偶)函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)(y軸)對(duì)稱．(3)性質(zhì)法：①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇山東泰安模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)且f(x)在[－1,0]上是增函數(shù)，給出下列四個(gè)命題：①f(x)是周期函數(shù)；②f(x)的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱；③f(x)在[1,2]上是減函數(shù)；④f(2)＝f(0)，其中正確命題的序號(hào)是________(請(qǐng)把正確命題的序號(hào)全部寫出來(lái))．[分析關(guān)系] ①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)隱含了用什么結(jié)論？什么方法探究？②f(x＋2)＝－f(x)，隱含了什么結(jié)論？用什么方法探究．③若f(x)的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱，其解析式具備什么等式關(guān)系？從何處理探究？④f(x)在[－1,0]上的圖象與[1,2]上的圖象有什么關(guān)系？依據(jù)什么指導(dǎo)？⑤f(2)，f(0)從何處計(jì)算．[解析] 第一步：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)對(duì)任意x，y∈R恒成立．(賦值法)：令x＝y(tǒng)＝0，∴f(0)＝0.令x＋y＝0，∴y＝－x，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．第二步：∵f(x)在x∈[－1,0]上為增函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)在[0,1]上為增函數(shù)．第三步：由f(x＋2)＝－f(x)?f(x＋4)＝－f(x＋2)?f(x＋4)＝f(x)，(代換法)∴周期T＝4，即f(x)為周期函數(shù)．第四步：f(x＋2)＝－f(x)?f(－x＋2)＝－f(－x)．(代換法)又∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(2－x)＝f(x)，∴關(guān)于x＝1對(duì)稱．第五步：由f(x)在[0,1]上為增函數(shù)，又關(guān)于x＝1對(duì)稱，∴[1,2]上為減函數(shù)．(對(duì)稱法)第六步：由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．(賦值法)[答案]?、佗冖邰躘回顧反思] 此題用圖象法更直觀．[高考真題體驗(yàn)]1．(20142得g(x)＝，所以g(0)＝＝1.答案：19．已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)＝－xlg(2－x)，求f(x)的解析式．解：設(shè)x∈(0，＋∞)，∴－x∈(－∞，0)，∴f(－x)＝xlg(2＋x)，∵f(x)為奇函數(shù)，f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝xlg(2＋x)，∴f(x)＝－xlg(2＋x)．又∵當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝0，適合f(x)＝－xlg(2＋x)∴f(x)＝10．已知函數(shù)f(x)＝x2＋(x≠0，常數(shù)a∈R)．(1)討論函數(shù)f(x)的奇偶性，并說(shuō)明理由；(2)若函數(shù)f(x)在[2，＋∞)上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x2(x≠0)，顯然為偶函數(shù)；當(dāng)a≠0時(shí)，f(1)＝1＋a，f(－1)＝1－a，因此f(1)≠f(－1)，且f(－1)≠－f(1)，所以函數(shù)f(x)＝x2＋(x≠0)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．(2)f′(x)＝2x－＝，當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)＞0，則f(x)在[2，＋∞)上是增函數(shù)；當(dāng)a＞0時(shí)，令f′(x)＝≥0，解得x≥，由f(x)在[2，＋∞)上是增函數(shù)，可知≤2
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