【正文】 {X=1，Y=1}+ P {X=0，Y=1} =++=P {V=2}=P {X=2，Y=0}+ P {X=2，Y=1}+ P {X=2，Y=2} +P {Y=2, X=0}+ P {Y=2, X=1} =++++=P {V=3}=P {X=3，Y=0}+ P {X=3，Y=1}+ P {X=3，Y=2}+ P {X=3，Y=3} +P {Y=3, X=0}+ P {Y=3, X=1}+ P {Y=3, X=2} =++++++=P {V=4}=P {X=4，Y=0}+ P {X=4，Y=1}+ P {X=4，Y=2}+ P {X=4，Y=3} =+++=P {V=5}=P {X=5，Y=0}+ …… + P {X=5，Y=3} =+++=（3）顯然U的取值為0，1，2，3 P {U=0}=P {X=0，Y=0}+……+ P {X=0，Y=3}+ P {Y=0，X=1}+ …… + P {Y=0，X=5}=同理 P {U=1}= P {U=2}= P {U=3}=或縮寫成表格形式（2） V 0 1 2 3 4 5 Pk 0 （3） U 0 1 2 3 Pk （4）W=V+U顯然W的取值為0，1，……8 P{W=0}=P{V=0 U=0}=0 P{W=1}=P{V=0, U=1}+P{V=1U=0}∵ V=max{X，Y}=0又U=min{X，Y}=1不可能上式中的P{V=0，U=1}=0，又 P{V=1 U=0}=P{X=1 Y=0}+P{X=0 Y=1}=故 P{W=1}=P{V=0, U=1}+P{V=1，U=0}= P{W=2}=P{V+U=2}= P{V=2, U=0}+ P{V=1，U=1} = P{X=2 Y=0}+ P{X=0 Y=2}+P{X=1 Y=1} =++= P{W=3}=P{V+U=3}= P{V=3, U=0}+ P{V=2，U=1} = P{X=3 Y=0}+ P{X=0，Y=3}+P{X=2，Y=1} + P{X=1，Y=2} =+++= P{W=4}= P{V=4, U=0}+ P{V=3，U=1}+P{V=2，U=2} =P{X=4 Y=0}+ P{X=3，Y=1}+P{X=1，Y=3} + P{X=2，Y=2} = P{W=5}= P{V+U=5}=P{V=5, U=0}+ P{V=5，U=1}+P{V=3，U=2} =P{X=5 Y=0}+ P{X=5，Y=1}+P{X=3，Y=2}+ P{X=2，Y=3} = P{W=6}= P{V+U=6}=P{V=5, U=1}+ P{V=4，U=2}+P{V=3，U=3} =P{X=5，Y=1}+ P{X=4，Y=2}+P{X=3，Y=3} = P{W=7}= P{V+U=7}=P{V=5, U=2}+ P{V=4，U=3} =P{V=5，U=2} +P{X=4，Y=3}=+= P{W=8}= P{V+U=8}=P{V=5, U=3}+ P{X=5，Y=3}=或列表為 W 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P 0 [二十一] 設(shè)隨機變量（X，Y）的概率密度為（1）試確定常數(shù)b；（2）求邊緣概率密度fX (x)，fY (y)（3）求函數(shù)U=max (X, Y)的分布函數(shù)。解：（1） （2） 8.[八] 設(shè)（X，Y）的分布律為XY123－10100(1) 求E (X)，E (Y )。解：設(shè)X為圓盤的直徑，則其概率密度為用Y表示圓盤的面積，則12.[十三] 設(shè)隨機變量X1，X2的概率密度分別為求（1）E (X1+X2)，E (2X1－3)；（2）又設(shè)X1，X2相互獨立，求E (X1X2)解：（1） = （2） = （3）13.[十四] 將n只球（1～n號）隨機地放進n只盒子（1～n號）中去，一只盒子裝一只球。解：（1） D (X* )= E [X*－E (X )* ]]2= E (X*2 )= = （2） 16.[十六] 設(shè)X為隨機變量，C是常數(shù)，證明D (X )E {(X－C )2 }，對于C≠E (X )，（由于D (X ) = E {[X－E (X )]2 }，上式表明E {(X－C )2 }當(dāng)C=E (X )時取到最小值。EY = (－1)(－1) +(－1)1+1(－1)+11=0∴ X，Y是不相關(guān)的27．已知三個隨機變量X，Y，Z中，E (X )= E (Y )=1, E (Z )=－1，D (X )=D (Y )=D (Z )=1, ρXY=0 ρXZ=，ρYZ=－。[二十一]（1）設(shè)隨機變量X1，X2，X3，X4相互獨立，且有E (Xi )=i, D (Xi )=5－i, i=1,2,3,4。），Z2～N（ 于是： 8．某藥廠斷言，醫(yī)院檢驗員任意抽查100個服用此藥品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受這一斷言，否則就拒絕這一斷言。從而U，V獨立。解：μ，σ2的矩估計是 。解：（1），得
。（1）寫出X1，…，X10的聯(lián)合概率密度（2）寫出的概率密度。解：（1）設(shè)每個部件為Xi (i=1,2,……100)設(shè)X是100個相互獨立，服從（0－1）分布的隨機變量Xi之和X=X1+ X2+……+ X100由題設(shè)知 n=100 P {Xi=1}=p=, P {Xi=0}= E (Xi ) =p= D (Xi ) =p (1－p)== n有 （2）設(shè)商店倉庫儲存a公斤該產(chǎn)品，使得P {Y ≤ a}由相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布，并注意到（1），得Y～ N（1200，1225）查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知∴ a至少取1282.第五章 大數(shù)定理和中心極限定理1．[一] 據(jù)以往經(jīng)驗?zāi)撤N電器元件的壽命服從均值為100小時的指數(shù)分布，現(xiàn)在隨機的抽取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨立的，求這16只元件壽命總和大于1920小時的概率。有D (Y )=22 D (X1 )+ (－1)2 D (X2 )+32 D (X3 )+()2 D (X4 )=（2）根據(jù)有限個相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布，知Z1～N（)故29．[二十三] 卡車裝運水泥，設(shè)每袋水泥重量（以公斤計）服從N（50,）.解：已知X～N（50,）=AX～N（50A,）.故由題意得P {Y≥2000}≤即 解得A≥39.30.[三十二] 已知正常男性成人血液中，每一毫升白細胞數(shù)平均是7300，均方差是700，利用契比雪夫不等式估計每毫升含白細胞數(shù)在5200～9400之間的概率p.解：由題意知μ=7300,σ=700，則由契比雪夫不等式31.[三十三]對于兩個隨機變量V,W若E(V2 )E (W2 )存在,證明[E (VW)]2≤E (V2 )E (W 2 )這一不等式稱為柯西施瓦茲（CauchySchwarz）不等式.證明：由和關(guān)于矩的結(jié)論，知當(dāng)E (V2 ), E (W 2 )存在時E (VW)，E(V ), E(W ), D (V ), D (W ), (V2 ), E (W 2 )至少有一個為零時，不妨設(shè)E (V2 )=0，由D (V )= E (V2 )－[E (V )]2≤E (V2 )=0知D (V )=0，此時[E (V )]2 = E (V2 )=0即E (V )=0。)（2）首先證于是（3） 23．[二十五] 設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合分布為：XY－101－1001驗證：X和Y不相關(guān)，但X和Y不是相互獨立的。設(shè) i=1, 2 …… n則試開到能開門所須試開次數(shù)為Xii0P∵ E (Xi)= i=1, 2……n∴ 15. （1）設(shè)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為E (X)，方差為D (X)0，引入新的隨機變量（X*稱為標(biāo)準(zhǔn)化的隨機變量）：驗證E (X* )=0，D (X* )=1（2）已知隨機變量X的概率密度。解：一臺設(shè)備在一年內(nèi)損壞的概率為故設(shè)Y表示出售一臺設(shè)備的凈贏利則 故 11.[十一] 某車間生產(chǎn)的圓盤直徑在區(qū)間（a, b）服從均勻分布?！? 事件 {X=1}={一只球裝入一號盒，兩只球裝入非一號盒}+{兩只球裝入一號盒，一只球裝入非一號盒}+{三只球均裝入一號盒}（右邊三個事件兩兩互斥）∴ ∵事件“X=2”=“一只球裝入二號盒，兩只球裝入三號或四號盒”+“兩只球裝二號盒，一只球裝入三或四號盒”+“三只球裝入二號盒”∴ 同理： 故 5.[五] 設(shè)在某一規(guī)定的時間間段里，其電氣設(shè)備用于最大負荷的時間X（以分計）是一個連續(xù)型隨機變量。解：（1）設(shè)第一周需要量為X，它是隨機變量 設(shè)第二周需要量為Y，它是隨機變量且為同分布，其分布密度為Z=X+Y表示兩周需要的商品量，由X和Y的獨立性可知：∵ z≥0∴ 當(dāng)z0時，fz (z) = 0當(dāng)z0時，由和的概率公式知∴ （2）設(shè)z表示前兩周需要量，其概率密度為 設(shè)ξ表示第三周需要量，其概率密度為：z與ξ相互獨立η= z +ξ表示前三周需要量則：∵η≥0， ∴當(dāng)u0， fη(u) = 0 當(dāng)u0時所以η的概率密度為22.[二十二] 設(shè)某種型號的電子管的壽命（以小時計）近似地服從N（160，20）分布。（2）求邊緣概率密度。2解：（1）① 放回抽樣（第1題）XY0x+y=4110xo1邊緣分布律為 X 0 1 Y 0 1 Pi考慮兩種試驗：（1）放回抽樣，（2）不放回抽樣。∵ FY ( y)=P (Y≤y) = P (sinX≤y)當(dāng)y0時：FY ( y)=0當(dāng)0≤y≤1時：FY ( y) = P (sinX≤y) = P (0≤X≤arc sin y或π－arc sin y≤X≤π) =當(dāng)1y時：FY ( y)=1∴ Y的概率密度ψ( y )為：y≤0時，ψ( y )=[ FY ( y)]39。 =0當(dāng)y0時：ψ( y)= [FY ( y)]39。且 α = min[g (0), g (1)]=min(+∞, 0 )=0 β=max[g (0), g (1)]=max(+∞, 0 )= +∞∴ Y的分布密度為：32.[二十九] 設(shè)X～N（0，1）（1）求Y=eX的概率密度∵ X的概率密度是 Y= g (X)=eX 是單調(diào)增函數(shù)又 X= h (Y ) = lnY 反函數(shù)存在且 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=0 β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞∴ Y的分布密度為：（2）求Y=2X2+1的概率密度。并求P（Y≥1）。 = －=（2）每分鐘的呼喚次數(shù)大于10的概率。 P (XY)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)=P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)= 9.[十] 有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯。（1）以X表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，求X的分布律。（此時稱X服從以p為參數(shù)的幾何分布。獨立地分別從兩只盒子各取一只球。B1，B2，B2分別表示甲、乙、丙擊中飛機∵ ，三種情況互斥。它們的可靠性分別為P1，P2，P3，P4，將它們按圖（1）的方式聯(lián)接，求系統(tǒng)的可靠性。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。 C2為“從第一盒子中取得2只白球”。不能用組合作，法二： 法三： 22.[十八] 某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，因而隨機的