【正文】 在直線m上，點(diǎn)E、C在直線n上，連結(jié)FE并延長至點(diǎn)A，連結(jié)BA和CA，使∠AEC=∠BAC．（1）求證：∠BFA+∠BAC=180176。時，點(diǎn)E、F分別在CD和AC的延長線上運(yùn)動，試探討∠E和∠F的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，AD和BC交于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DH∥BC交AC于點(diǎn)H，若AC⊥BC，問當(dāng)∠CDH為多少度時，∠GDC=∠ADH．20．已知直線AB∥CD．（1）如圖1，直接寫出∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關(guān)系為　 　；（2）如圖2，∠BME與∠CNE的角平分線所在的直線相交于點(diǎn)P，試探究∠P與∠E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直線MB、ND交于點(diǎn)F，則=　 ?。?1．如圖1，MN∥PQ，直線AD與MN、PQ分別交于點(diǎn)A、D，點(diǎn)B在直線PQ上，過點(diǎn)B作BG⊥AD，垂足為點(diǎn)G．（1）求證：∠MAG+∠PBG=90176。求∠BOE的度數(shù)；（2）把“∠AOB=90176。∠HMN=30176。分別作BN∥AP，DN∥PC，AM、DM分別平分∠PAB，∠CDN，則∠M的度數(shù)為　 ?。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果）．37．如圖1，AB∥CD，E是AB、CD之間的一點(diǎn)．（1）判定∠BAE，∠CDE與∠AED之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）如圖2，若∠BAE、∠CDE的兩條平分線交于點(diǎn)F．直接寫出∠AFD與∠AED之間的數(shù)量關(guān)系；（3）將圖2中的射線DC沿DE翻折交AF于點(diǎn)G得圖3，若∠AGD的余角等于2∠E的補(bǔ)角，求∠BAE的大?。?8．實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．如圖1，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射后的光線為n，則入射光線m、反射光線n與平面鏡a所夾的銳角∠1=∠2．（1）如圖2，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b反射．若被b反射出的光線n與光線m平行，且∠1=50176。時，可以使任何射到平面鏡a上的光線m，經(jīng)過平面鏡a、b的兩次反射后，入射光線m與反射光線n平行．你能說明理由嗎？（4）如圖3，兩面鏡子的夾角為α176。2. （1，3）或（5，1）3. B。2=6，∴第91個點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣6，13），第90個點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣5，13）．故答案為：（﹣5，13）．【點(diǎn)評】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)與規(guī)律變化問題，觀察出縱坐標(biāo)的數(shù)值與相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)的個數(shù)相等是解題的關(guān)鍵．　11．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個整數(shù)點(diǎn)，其順序按圖中箭頭方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…，根據(jù)這個規(guī)律探索可得，第102個點(diǎn)的坐標(biāo)為?。?4，10）　．【分析】應(yīng)先判斷出第102個數(shù)在第幾行，第幾列，再根據(jù)分析得到的規(guī)律求解．【解答】解：把第一個點(diǎn)（1，0）作為第一列，（2，1）和（2，0）作為第二列，依此類推，則第一列有一個數(shù)，第二列有2個數(shù)，第n列有n個數(shù)．則n列共有個數(shù)，并且在奇數(shù)列點(diǎn)的順序是由上到下，偶數(shù)列點(diǎn)的順序由下到上．因?yàn)?05=1+2+3+…+14，則第102個數(shù)一定在第14列，由下到上是第11個數(shù)．因而第102個點(diǎn)的坐標(biāo)是（14，10）．故答案填：（14，10）．【點(diǎn)評】本題考查了學(xué)生閱讀理解并總結(jié)規(guī)律的能力，解決的關(guān)鍵是能正確找出題目中點(diǎn)的規(guī)律．　12．如圖，在直角坐標(biāo)系中，第一次將△OAB變換成△OA1B1，第二次將△OA1B1變換成△OA2B2，第三次將△OA2B2變換成△OA3B3…已知：A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3）；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．觀察每次變換前后的三角形有何變化，按照變換規(guī)律，第五次變換后得到的三角形A5的坐標(biāo)是?。?2，3）　，B5的坐標(biāo)是?。?4，0）?。痉治觥繉ふ乙?guī)律求解．【解答】解：A、AA2…An都在平行于X軸的直線上，點(diǎn)的縱坐標(biāo)都相等，所以A5的縱坐標(biāo)是3；這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)有一定的規(guī)律：An=2n．因而點(diǎn)A5的橫坐標(biāo)是25=32；B、BB2…Bn都在x軸上，B5的縱坐標(biāo)是0；這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)也有一定的規(guī)律：Bn=2n+1，因而點(diǎn)B5的橫坐標(biāo)是B5=25+1=64．∴點(diǎn)A5的坐標(biāo)是（32，3），點(diǎn)B5的坐標(biāo)是（64，0）．故答案分別是：（32，3），（64，0）．【點(diǎn)評】考查X軸上的點(diǎn)的特征與平行于X軸的直線上點(diǎn)的特點(diǎn)．注意數(shù)形結(jié)合思想在此的應(yīng)用，找到點(diǎn)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．　13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系上有點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)A第一次向左跳動至點(diǎn)A1（﹣1，1），第二次向右跳動至點(diǎn)A2（2，1），第三次向左跳動至點(diǎn)A3（﹣2，2），第四次向右跳動點(diǎn)A4（3，2），…，依次規(guī)律跳動下去，點(diǎn)A第2017次跳動至點(diǎn)A2017的坐標(biāo)是?。ī?009，1009）．?。痉治觥扛鶕?jù)圖形觀察發(fā)現(xiàn)，第偶數(shù)次跳動至點(diǎn)的坐標(biāo)，橫坐標(biāo)是次數(shù)的一半加上1，縱坐標(biāo)是次數(shù)的一半，奇數(shù)次跳動與該偶數(shù)次跳動的橫坐標(biāo)的相反數(shù)加上1，縱坐標(biāo)相同，然后寫出即可．【解答】解：觀察發(fā)現(xiàn)，第2次跳動至點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，1），第4次跳動至點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，2），第6次跳動至點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，3），第8次跳動至點(diǎn)的坐標(biāo)是（5，4），…第2n次跳動至點(diǎn)的坐標(biāo)是（n+1，n），則第2018次跳動至點(diǎn)的坐標(biāo)是（1010，1009），第2017次跳動至點(diǎn)A2017的坐標(biāo)是（﹣1009，1009）．故答案為：（﹣1009，1009）．【點(diǎn)評】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，以及圖形的變化問題，結(jié)合圖形得到偶數(shù)次跳動的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的變化情況是解題的關(guān)鍵．　二．解答題（共27小題）14．如圖，已知直線AB∥CD，直線EF分別與AB、CD相交于點(diǎn)E、F，F(xiàn)M平分∠EFD，點(diǎn)H是射線EA上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)E重合），過點(diǎn)H的直線交EF于點(diǎn)P，HM平分∠BHP交FM于點(diǎn)M．（1）如圖1，試說明：∠HMF=（∠BHP+∠DFP）；請?jiān)谙铝薪獯鹬?，填寫相?yīng)的理由：解：過點(diǎn)M作MQ∥AB（過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行）．∵AB∥CD（已知），∴MQ∥CD（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）∴∠1=∠3，∠2=∠4（　兩直線平行，內(nèi)錯角相等　）∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性質(zhì)）即∠HMF=∠1+∠2．∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP（已知）∵∠1=∠BHP，∠2=∠DFP（　角平分線定義?。唷螲MF=∠BHP+∠DFP=（∠BHP+∠DFP）（等量代換）．（2）如圖2，若HP⊥EF，求∠HMF的度數(shù)；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時，F(xiàn)N平分∠HFE交AB于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作NQ⊥FM于點(diǎn)Q，試說明無論點(diǎn)H在何處都有∠EHF=2∠FNQ．【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，以及角平分線定義進(jìn)行判斷即可；（2）先根據(jù)HP⊥EF，AB∥CD，得到∠EHP+∠DFP=90176。）又∵AB∥CD，∴∠HEP=∠DFP．∴∠EHP+∠DFP=90176。﹣∠FNQ．∵FN平分∠HFE，F(xiàn)M平分∠EFD，又∵∠NFQ=∠NFE+∠QFE=（∠HFE+∠EFD）=∠HFD，∴∠HFD=2∠NFQ．又∵AB∥CD，∴∠EHF+∠HFD=180176?！唷螧FA+∠BAC=180176。；（2）①過E作EF∥AB，構(gòu)造內(nèi)錯角，依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等進(jìn)行推導(dǎo)計算，即可得到∠DNE﹣∠BME=∠MEN；②設(shè)∠GMB=α，∠G=β，由∠BMP=∠EMB，∠G=∠E，可得∠EMQ=3α，∠E=4β，根據(jù)8字形結(jié)構(gòu)得到∠GNQ=3α+3β，根據(jù)三角形外角性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，得到∠GND=∠1=α+β，據(jù)此可得∠ENG：∠GND的值．【解答】解：（1）①∠BME+∠DNE+∠MEN=360176。∴3∠1+3∠2+∠MEN=360176。再根據(jù)∠AED是△AEH的外角，即可得到∠AED=∠A+∠AHE=30176?！摺螦ED是△AEH的外角，∴∠AED=∠A+∠AHE=30176。∵DI平分∠EDC，∴∠CDE=2∠EDK=2α﹣4176。=142176。再根據(jù)BP平分∠ABE，CP平分∠DCE，可得∠PBE+∠PCE=130176。．選圖③證明：過點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），∴EF∥DC（平行于同一條直線的兩直線互相平行），∴∠C=∠CEF（ 兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵EF∥AB，∴∠B=∠BEF（ 兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∴∠B﹣∠C=∠CEF﹣∠BEF（等式的性質(zhì)），即∠B﹣∠C=∠BEC．（3）∠BPC的度數(shù)是130176。﹣100176。=60176。即可得到∠E+2∠NPM=180176。；當(dāng)點(diǎn)C在DG上時，依據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，2∠AHB+∠CBG=90176?！?∠AHB=∠CBG+90176。﹣∠MAC﹣∠PBC=360176。﹣2∠AHB，又∵Rt△BCG中，∠ACB=90176?！螧CD=120176。﹣2t，∴∠BAC=60176。﹣∠BCA=120176。；（2）∠AKC=∠APC．理由：如圖2，過K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，過P作PF∥AB，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，∵∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K，∴∠BAK+∠DCK=∠BAP+∠DCP=（∠BAP+∠DCP）=∠APC，∴∠AKC=∠APC；（3）∠AKC=∠APC．理由：如圖3，過K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，∴∠AKC=∠AKE﹣∠CKE=∠BAK﹣∠DCK，過P作PF∥AB，同理可得，∠APC=∠BAP﹣∠DCP，∵∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K，∴∠BAK﹣∠DCK=∠BAP﹣∠DCP=（∠BAP﹣∠DCP）=∠APC，∴∠AKC=∠APC．【點(diǎn)評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯角，依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等進(jìn)行計算．　25．已知直線AB∥CD．（1）如圖1，直接寫出∠ABE，∠CDE和∠BED之間的數(shù)量關(guān)系是　∠ABE+∠CDE=∠BED?。?）如圖2，BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．（3）如圖3，點(diǎn)E在直線BD的右側(cè)，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，請直接寫出∠BFD和∠BED的數(shù)量關(guān)系　2∠BFD+∠BED=360176?！唷螦BE+∠CDE+∠BED=360176。最后解方程組即可得到∠ABE=15176。又∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90176。∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15176。﹣2x=180176。﹣2x=180176。﹣2x，∵EP平分∠FEH，∴∠FEH=2∠PEH=2（∠PEG+x），又∵∠FEH+∠HEN=180176。﹣2x，根據(jù)EP平分∠FEH，可得∠FEH=2（∠PEG+x），再根據(jù)∠FEH+∠HEN=180176。②由①②聯(lián)立方程組，解得α=15176。故答案為：∠A+∠C=90176?？傻茫?α+β）+3α+（3α+β）=180176。．理由：如圖3，過點(diǎn)E作EG∥CD，∵AB∥CD，EG∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠ABE+∠BEG=180176。+20176。﹣t，而∠ACD=120176。∵AC∥BD，∴∠CAN=∠BDA∴∠PBD+∠CAN=180176。則在轉(zhuǎn)動過程中，請?zhí)骄俊螧AC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)∠BAM+∠BAN=180176。；②如圖，當(dāng)C在DG上時，同理可得，∠ACB=360176。；2∠AHB﹣∠CBG=270176?；?∠AHB+∠CBG=90176。；（2）若點(diǎn)C在線段AD上（不與A、D、G重合），連接BC，∠MAG和∠PBC的平分線交于點(diǎn)H，請?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形，猜想并證明∠CBG與∠AHB的數(shù)量關(guān)系；（3）若直線AD的位置如圖3所示，（2）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請直接寫出∠CBG與∠AHB的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）依據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，即可得到∠MAG+∠PBG=90176。．故當(dāng)∠CDH為60度時，∠GDC=∠ADH．【點(diǎn)評】本題主要考查了平行線的判定以及三角形外角性質(zhì)的運(yùn)用，兩條直線被第三條所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行．即內(nèi)錯角相等，兩直線平行．　20．已知直線AB∥CD．（1）如圖1，直接寫出∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關(guān)系為　∠E=∠END﹣∠BME　；（2）如圖2，∠BME與∠CNE的角平分線所在的直線相交于點(diǎn)P，試探究∠P與∠E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直線MB、ND交于點(diǎn)F，則=　　．【分析】（1）由AB∥CD，即可得到∠END=∠EFB，再根據(jù)∠EFB是△MEF的外角，即可得出∠E=∠EFB﹣∠BME=∠END﹣∠BME；（2）由平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，即可得到∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠E+2∠PMA+2∠CNP=180176。依據(jù)∠2是△CEF的外角，可得∠E+∠F=∠2=30176?！嗨倪呅蜳CEB中，∠BPC=360176。=360176。﹣100176。﹣16176。∠KAI+∠KIA+∠AKI=180176。求得∠EDK=16176?！螴=20176。即∠BME+∠DNE+∠MEN=360176。﹣α．【點(diǎn)評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯角，解題時注意：兩直線平