【正文】 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P B P A? ? ? ?. 17 習(xí)題二 5 只乒乓球，編號為 1， 2， 3， 4， 5，在其中同時取 3 只，以 X 表示取出的 3 只球中的最大號碼，寫出隨機變量 X 的分布律 . 【解】 353524353, 4 , 51( 3) C3( 4) CC( 5 ) CXPXPXPX?? ? ?? ? ?? ? ? 故所求分布律為 X 3 4 5 P 15 只同類型零件中有 2 只為次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽樣，以 X 表示取出的次品個數(shù)，求： （ 1） X 的分布律； （ 2） X 的分布函數(shù)并作圖； (3) 1 3 3{ }, { 1 }, { 1 }, { 1 2 }222P X P X P X P X? ? ? ? ? ? ?. 【解】 313315122 1 33151133150 ,1, 2.C 22( 0) .C 35CC 12( 1) .C 35C 1( 2) .C 35XPXPXPX?? ? ?? ? ?? ? ? 故 X 的分布律為 X 0 1 2 P 2235 1235 135 （ 2） 當(dāng) x0 時， F（ x） =P（ X≤ x） =0 當(dāng) 0≤ x1 時， F（ x） =P（ X≤ x） =P(X=0)= 2235 18 當(dāng) 1≤ x2 時， F（ x） =P（ X≤ x） =P(X=0)+P(X=1)=3435 當(dāng) x≥ 2 時， F（ x） =P（ X≤ x） =1 故 X 的分布函數(shù) 0 , 022 , 0 135()34 , 1 2351, 2xxFxxx???? ?????? ???? ?? (3) 1 1 2 2( ) ( ) ,2 2 3 53 3 3 4 3 4( 1 ) ( ) ( 1 ) 02 2 3 5 3 53 3 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 2 3 53 4 1( 1 2 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) 1 0 .3 5 3 5P X FP X F FP X P X P XP X F F P X? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 次射擊，每次擊中率為 ，求 3 次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)的分布律及分布函數(shù)，并求 3 次射擊中 至少擊中 2 次的概率 . 【解】 設(shè) X 表示擊中目標(biāo)的次數(shù) .則 X=0， 1， 2， 3. 31232233( 0) ( ) ( 1 ) C ( ) ( 2) C ( ) ( 3 ) ( ) PXPXPXPX? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? 故 X 的分布律為 X 0 1 2 3 P 分布函數(shù) 0 , 0 , 0 1() , 1 2 , 2 31 , 3xxFx xxx??? ????? ???? ?????? ( 2) ( 2) ( 3 ) X P X P X? ? ? ? ? ? 4.（ 1） 設(shè)隨機變量 X 的分布律為 19 P{X=k}= !kak? ， 其中 k=0， 1， 2，?， λ ＞ 0 為常數(shù)，試確定常數(shù) a. （ 2） 設(shè) 隨機變量 X 的分布律為 P{X=k}=a/N， k=1， 2，?， N， 試確定常數(shù) a. 【解】 （ 1） 由分布律的性質(zhì)知 001 ( ) e!kkkP X k a ak??????? ? ? ??? 故 ea ??? (2) 由分布律的性質(zhì)知 111 ( )NNkkaP X k aN??? ? ? ??? 即 1a? . 、乙兩人投籃，投中的概率分別為 ,今各投 3 次，求： （ 1） 兩人投中次數(shù)相等的概率 。 (2) f(x)=????? ?? ??.,0,21,1,10,2其他xxxbx 試確定常數(shù) a,b，并求其分布函數(shù) F（ x） . 【解】（ 1） 由 ( )d 1f x x??? ??知 ||0 21 e d 2 e dxx aa x a x?? ???????? ? ??? 故 2a ?? 即密度函數(shù)為 e , 02()e02xxxfxx?????? ???? ?? ??? 當(dāng) x≤ 0 時 1( ) ( ) d e d e22xx xxF x f x x x???? ? ? ?? ? ??? 當(dāng) x0 時 00( ) ( ) d e d e d22xxF x f x x x x???? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? 11e2 x???? 28 故其分布函數(shù) 11 e , 02()1 e , 02xxxFxx???? ????? ?? ??? (2) 由 12201 111 ( ) d d d 22bf x x b x x xx???? ? ? ? ?? ? ? 得 b=1 即 X 的密度函數(shù)為 2, 0 11( ) , 1 20,xxf x xx?????? ? ????? 其 他 當(dāng) x≤ 0 時 F（ x） =0 當(dāng) 0x1 時 00( ) ( ) d ( ) d ( ) dxxF x f x x f x x f x x? ? ? ?? ? ?? ? ? 20 d 2x xxx??? 當(dāng) 1≤ x2 時 01201 1( ) ( ) d 0 d d dxxF x f x x x x x xx? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 312 x?? 當(dāng) x≥ 2 時 F（ x） =1 故其分布函數(shù)為 20 , 0, 0 12()31 , 1 221, 2xx xFxxxx???? ?????? ? ? ??? ?? ? 分位點， （ 1） ? =，求 z? 。 1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 復(fù)旦大學(xué) 習(xí)題 一 1 .見教材習(xí)題參考答案 . A， B， C 為三個事件，試用 A， B， C （ 1） A 發(fā)生， B， C 都不發(fā)生； （ 2） A 與 B 發(fā)生， C （ 3） A， B， C 都發(fā)生； （ 4） A， B， C （ 5） A， B， C 都不發(fā)生； （ 6） A， B， C （ 7） A， B， C 至多有 2 個發(fā)生； （ 8） A， B， C 至少有 2 個 發(fā)生 . 【解】 （ 1） ABC （ 2） ABC （ 3） ABC （ 4） A∪ B∪ C=AB C∪ A BC ∪ ABC ∪ A BC∪ AB C∪ ABC ∪ ABC= ABC (5) ABC = A B C (6) ABC (7) A BC∪ AB C∪ ABC ∪ AB C∪ ABC ∪ A BC ∪ ABC = ABC =A ∪ B ∪ C (8) AB∪ BC∪ CA=ABC ∪ AB C∪ A BC∪ ABC 3. . A， B 為隨機事件，且 P（ A） =,P(A?B)=，求 P（ AB ） . 【解】 P（ AB ） =1?P（ AB） =1?[P(A)?P(A?B)] =1?[?]= A， B 是兩事件，且 P（ A） =,P(B)=, （ 1） 在什么條件下 P（ AB （ 2） 在什么條件下 P（ AB 【解】 （ 1） 當(dāng) AB=A 時， P（ AB）取到最大值為 . （ 2） 當(dāng) A∪ B=Ω時， P（ AB）取到最小值為 . A， B， C 為三事件，且 P（ A） =P（ B） =1/4， P（ C） =1/3 且 P（ AB） =P（ BC） =0，P（ AC） =1/12，求 A， B， C 至少有一事件發(fā)生的概率 . 2 【解】 P（ A∪ B∪ C） =P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)+P(ABC) =14 +14 +13 ?112 =34 7. 52 張撲克牌中任意取出 13 張，問有 5 張黑桃， 3 張紅心， 3 張方塊， 2 張梅花的概率是多少？ 【解】 p= 5 3 3 2 1313 13 13 13 52C C C C / C 8. 對一個五人學(xué)習(xí)小組考慮生日問題： （ 1） 求五個人的生日都在星期日的概率； （ 2） 求五個人的生日都不在星期日的概率； （ 3） 求五個人的生日不都在星期日的概率 . 【解】 （ 1） 設(shè) A1={五個人的生日都在星期日 }，基本事件總數(shù)為 75，有利事件僅 1 個，故 P（ A1） =517=（ 17 ） 5 （亦可用獨立性求解，下同） （ 2） 設(shè) A2={五個人生日都不在星期日 }，有利事件數(shù)為 65，故 P（ A2） = 5567=(67 )5 (3) 設(shè) A3={五個人的生日不都在星期日 } P（ A3） =1?P(A1)=1?(17 )5 9. .見教材習(xí)題參考答案 . N 件，其中 M 件正品 .從中隨機地取出 n 件（ nN） .試求其中恰有 m 件（ m≤ M）正品（記為 A）的概率 . （ 1） n 件是同時取出的； （ 2） n （ 3） n 件 是有放回逐件取出的 . 【解】 （ 1） P（ A） = C C / Cm n m nM N M N?? (2) 由于是無放回逐件取出，可用排列法計算 .樣本點總數(shù)有 PnN 種， n 次抽取中有 m次為正品的組合數(shù)為 Cmn 種 .對于固定的一種正品與次品的抽取次序，從 M 件正品中取 m 件的排列數(shù)有 PmM 種，從 N?M 件次品中取 n?m 件的排列數(shù)為 PnmNM?? 種，故 P（ A） = C P PPm m n mn M N MnN?? 由于無放回逐漸抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可寫成 P（ A） = CCCm n mM N MnN?? 可以看出，用第二種方法簡便得多 . （ 3） 由于是有放回的抽取，每次都有 N 種取法，故所有可能的取法總數(shù)為 Nn 種， n 3 次抽取中有 m 次為正品的組合數(shù)為 Cmn 種，對于固定的一種正、次品的抽取次序，m 次取得正品，都有 M 種取法，共有 Mm種取法， n?m 次取得次品，每次都有N?M 種取法，共有（ N?M） n?m種取法，故 ( ) C ( ) /m m n m nnP A M N M N??? 此題也可用貝努里概型，共做了 n 重貝努里試驗，每次取得正品的概率為 MN ，則取得m 件正品的概率為 ( ) C 1m n mmn MMPA NN ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 11. .見教材習(xí)題參考答案 . 12. 50 只鉚釘隨機地取來用在 10 個部件上，其中有 3 個鉚釘強度太弱 .每個部件用 3 只鉚釘 .若將 3 只強度太弱的鉚釘都裝在一個部件上，則這個部件強度就太弱 .求發(fā)生一個部件強度太弱 的概率是多少？ 【解】 設(shè) A={發(fā)生一個部件強度太弱 } 1 3 31 0 3 5 0 1( ) C C / C 1960PA ?? 13. 7 個球，其中 4 個是白球， 3 個是黑球，從中一次抽取 3 個，計算至少有兩個是白球的概率 . 【解】 設(shè) Ai={恰有 i 個白球 }（ i=2,3），顯然 A2與 A3互斥 . 21 343 4233377CC C1 8 4( ) , ( )C 3 5 C 3 5P A P A? ? ? ? 故 2 3 2 3 22( ) (