【正文】 ? 求 其 N 維特征函數(shù) (接上題 )若各個分量的之間的協(xié)方差為 , ||miK n m i? ? ? 設(shè)另一隨機(jī)變量 Y 為1niiYX???，求 Y 的特征函數(shù) 設(shè) 3 維高斯隨機(jī)矢量 X=[X1,X2,X3]各個分量的均值為 0，其協(xié)方差矩陣的元素值為kij(i,j=1,2,3), 且 k11=k22=k33= 2 ；求 (1) 1 2 3[]E X X X ， (2) 2 2 21 2 3[]E X X X ， (3) 2 2 2 2 2 21 2 3[ ( ) ( ) ( ) ]E X X X? ? ?? ? ? 設(shè) 3 維高斯隨機(jī)矢量 X=[X1,X2,X3]的概率密度為 2 2 21 2 3 1 1 2 2 1 3 31( , , ) e x p { [ 2 2 ] }2Xf x x x C x x x x x x x? ? ? ? ? ? (1) 證明經(jīng)過線性變換 1231 1 / 4 1 / 20 1 2 / 70 0 1XY AX XX??? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 得到的隨機(jī)矢量 Y=[Y1,Y2,Y3]，則 Y1,Y2,Y3是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量； (2)求 C 的值。( )Xt , 2()Xt , 239。 察如下的二階自回歸過程 X(n) 12( ) ( 1 ) ( 2 ) ( )X n b X n b X n V n? ? ? ? ? 零均值白色噪聲 ()Vn的方差 為 2V? ， 221 1 2| 4 | 2b b b? ? ?； 求： (1)X(n)的功率譜密度； (2)根據(jù) Wold 分解求 X(n)的自相關(guān)函數(shù)； (3)求 YuleWalker 方程 考察如下的二階 MA 模型，輸入 X(n)的功率譜密度為 2X? ，求 Y(n)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。 考慮窄帶高斯過程 ( ) ( ) c os( ) ( ) si n( )c t X t t Y t t????，假定其物理功率譜密度對稱于載頻 c? ，求概率密度 ( , , , )t t t tf x x y y????。 設(shè)窄帶信號 0( ) c os( ) ( )Z t A t n t??? ? ?，其中 ()nt 為高斯過程， ? 為 [0,2? ]上均勻分布隨機(jī)變量，且 00( ) ( ) c os( ) ( ) si n( )n t X t t Y t t???? 證明 ()Zt 的包絡(luò)平方的相關(guān)函數(shù)為 4 2 2 2 2 2 2( ) 4 4 4 [ ( ) ( ) ( ) ]Z X X X YR A A A R R R? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 變量為卡方分布變量的 2? 的 平方根，證明 n 個自由度的 ? 變量的概率密度為 21 / 2( 2 ) / 2() 2 ( / 2 )nn ef n??? ???? ? 證明 n 個自由度的卡方分布 2? 變量的 m 階原點(diǎn)矩為 2 1 .. . 12 2 2m n n n m? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 第六章： 隨機(jī)過程的非線性變換 給定實(shí)數(shù) x 和一個平穩(wěn)隨機(jī)過程 ()Xt ，定義理想門限系統(tǒng)的特性為 1 ( )() 0 ( )X t xYt X t x??? ? ?? 試證： (1) [ ( )] ( )XE Y t F x? ； (2) ( )] ( , , )YXR F x x??? 設(shè)平方律檢波器的傳輸特性為 2yx? ，在檢波器輸入端加入一窄帶高斯隨機(jī)過程()Xt ，其概率密度函數(shù)為 221 ( )( ) e x p { }22X XX xafx ??? ??? 在檢波器后聯(lián)接一個理想低通濾波器，求低通濾波器輸出過程的一維概率密度和均值；當(dāng) 0a? 時結(jié)果有何變化。 圖示非線性系統(tǒng)。 設(shè) ()Xt 為馬爾可夫過程，又設(shè) 1 2 1... ...n n n kt t t t t??? ? ? ? ? ?，試證明 11| , . . . , 1 | 1( | , ..., ) ( | )n n n k n nt t t n n n k t t n nf x x x f x x? ? ?? ? ?? 即一個馬爾可夫過程的反向也具有馬爾可夫性。質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動構(gòu)成馬爾可夫鏈，試寫出其轉(zhuǎn)移概率矩陣。 設(shè) {X(n)}是一馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間為 I： {0,1}，其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為 1 1 ppP pp???? ????? 證明： ()11( 2 1 ) ( 2 1 )22 11( 2 1 ) ( 2 1 )22nnnnnppPpp??? ? ? ????? ? ? ??? 天氣預(yù)報(bào)問題。 設(shè) 1()Nt與 2()Nt是兩個相互獨(dú)立的、比率分別為 1? 和 2? 的泊松過程 (1)證明 12( ) ( ) ( )SN t N t N t??是比率為 12??? 的泊松過程； (2)證明 12( ) ( ) ( )DN t N t N t??不是泊松過程 設(shè)在時間 t 內(nèi)向電話 總機(jī)呼喚 k 次的概率為 , 0,1, 2,...!k ekk ?? ? ? ，其中 0?? 為常數(shù)，在任意相鄰的時間間隔內(nèi)的呼喚次數(shù)是相互獨(dú)立的，求在 2t 時間內(nèi)呼喚 n 次的概率 ()2ntP 。tt? ， (39。 一質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動，圓周按順時針等距排列 5 個點(diǎn) (0,1,2,3,4)將圓周分成 5 格，質(zhì)點(diǎn)每次移動或順時針或逆時針移動一格，順時針 前進(jìn)一格的概率為 p ，逆時針退一格的概率為 1p? 。設(shè) ()Xn代表 質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過 n 次游動后所處的位置， ()Xn為齊次馬爾可夫鏈。t ，若對于任意時刻 139。 (1) 0 1 / 2 1 / 21 / 2 0 1 / 21 / 2 1 / 2 0P???????； (2) 0 0 0 10 0 0 11 / 2 1 / 2 0 00 0 1 0P?????????；1 / 2 1 / 2 0 01 / 2 1 / 2 0 01 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 40 0 1 0P??????? (4) 1 / 2 0 1 / 2 0 01 / 4 1 / 2 1 / 4 0 01 / 2 0 1 / 2 0 00 0 0 1 / 2 1 / 20 0 0 1 / 2 1 / 2P?????????； (5) 1 / 4 3 / 4 0 0 01 / 2 1 / 2 0 0 00 0 1 0 00 0 1 / 3 2 / 3 01 0 0 0 0P????????? 設(shè) ()Nt 為具有比率為 ? 的泊松記數(shù)過程，其相應(yīng)的概率分布為 (){ ( ) } ! k ttP N t k ek ?? ??? 試求該過程的特征函數(shù) ，并根據(jù)特征函數(shù)求其均值、方差。 三個黑球與三個白球，將這 6 個球任意等分兩個袋中，并將甲袋中的白球數(shù)定義為隨機(jī)過程的狀態(tài)，則有四種狀態(tài)： 0， 1， 2， 3；現(xiàn)每次從甲、乙袋中各取一球，然后相互交換，經(jīng)過 n 次交換，過程的狀態(tài)為 X(n)， n=1,2,3， … ； (1)該過程是 否為馬爾可夫鏈； (2)計(jì)算其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣； (3)該鏈的平穩(wěn)分布是否存在，為什么？若存在，求其平穩(wěn)分布； (4)若 X(0)=0，求經(jīng)過三次交換后甲袋中有三個白球的概率。 若質(zhì)點(diǎn) M 在圖示的反射壁間四個位置 1 2 3 4( , , , )a a a a 上隨機(jī)游動，在 1a 處向右移動一步的概率為 1；在 4a 處向左移動一步的概率為 1；在 2a 、 3a 處向左或向右移動一步的概率為 1/停留的概率為 1/2，試求在平穩(wěn)情況下，質(zhì)點(diǎn)處于各狀態(tài)的概率。 設(shè)全波線性檢波器的傳輸特性為 ||yx? ，檢波器的輸入為 ()a Nt? ，其中 0a?? 為直流電平信號， ()Nt 為零均值平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程 ， 其方差為 2? ， 求檢波器輸入、輸出端的信噪比 (考慮高信噪比情況 )。 全波線性檢波器的傳 輸特性為 ||yx? ，在檢波器輸入端加入一零均值平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程 ()Xt ， 其方差為 2? ， 相關(guān)函數(shù)為 ()XR? ， (1)求檢波器輸出過程 ()Yt的一維概率密度、均值； (2)用 Price 定理求輸出過程 ()Yt的相關(guān)函數(shù)及方差。 考慮圖示 RLC 帶通濾波器，設(shè)其品質(zhì)因素 1Q?? ，輸入是功率譜密度為 0/2N 的零均值高斯白噪聲 ()wt ，求濾波器輸出端的窄帶過程 ()nt 及其同相分量、正交分量的功率譜密度 ()nG? 、 ()nCG ? 、 ()nSG ? ，并以圖示之。 在復(fù)隨機(jī)過程 ( ) ( ) ( )Z t X t jY t??中，如果其均值 [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] ZE Z t E X t jE Y t m? ? ?為 復(fù)常數(shù)，且其自相關(guān)函數(shù) *[ ( ) ( ) ] ( )ZE Z t Z t R????為僅與 ? 有關(guān) 的復(fù)函數(shù)，則稱 ()Zt 為復(fù)平穩(wěn)隨機(jī)過程，設(shè) , 1, 2,...,kA k n? 是 n 個實(shí)隨機(jī)變量， , 1, 2,...,k kn? ? 是 n 個實(shí)數(shù)。 (1)證明：若 V(n)均值非零，則 X(n)非平穩(wěn)； (2)證明：若 V(n)均值為零、 |a1|1，則當(dāng) n足夠大時， 2 2 21[ ( ) ] / (1 )VE X n a???； (3)若 V(n)均值為零， |a1|1，求 X(n)的自相關(guān)函數(shù)的平穩(wěn)解。 設(shè)有平穩(wěn)實(shí)高斯過程 X(t)，均值為 0，相關(guān)函數(shù)為 RX( )，該過程依均方意義可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)過程為 39。 圖示 RC 低通濾波器的輸入為白色噪聲，物理功率譜密度為 FX( )=N0(0 )，求輸出隨機(jī)過程的物理功率譜密度及相關(guān)函數(shù)，并證明對于任意的 t3t2t1，有 3 2 2 131 ( ) ( )() ( 0 )YYYYR t t R t tR t t R???? (與第 3 章第 26 題重復(fù) )。 設(shè) X、 Y 是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量，且它們具有相同的該密度 N(m, 2)；求隨機(jī)變量 U=aX+bY 和 V=aXbY 的互相關(guān)系數(shù)以及 U、 V 的二維聯(lián)合概率密度。(2) ( ) ( , , )YXR F x x??? 。 如圖所示系統(tǒng)，輸入隨機(jī)過程的 功率譜密度函數(shù) 為常數(shù)， 0() 2X NG ? ?， 試用頻譜法求輸出隨機(jī)過程 Z(t)的均方值。 在圖示積分電路的輸入端加入一平穩(wěn)隨機(jī)過程 X(t)， E[X(t)]=0， 12||212( , ) ttXR t t e ?? ??? ，電路的初始條件為 Y(0)=0，試分析輸出過程 Y(t)的統(tǒng)計(jì)特性 (瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài) )。()Xt的互功率譜密度以及 39。 設(shè)隨機(jī)過程 X(t)=cos( t+ )，其中 為常量， 為隨機(jī)變量，其特征函數(shù)為(u)=E[eju ]，證明：當(dāng)且僅當(dāng) (1)= (2)=0 時，隨機(jī)過程 X(t)廣義平穩(wěn)。 設(shè) X(t)是雷達(dá)發(fā)射信號，遇到目標(biāo)后返回接收機(jī)的微弱信號為 1()Xt??? ，其中1??? ， 1? 是 信號返回時間，由于接收到的信號總是伴隨有噪聲 N(t)，于是 接收到的信號為： 1( ) ( ) ( )Y t X t N t??? ? ?； (1)若 X(t)與 Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程，求二者的互相關(guān)函數(shù)； (2) 在 (1)的條件下，假設(shè) N(t)為零均值，且與 X(t)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，求 X(t)和 Y(t)的互相關(guān)函數(shù)。 設(shè)從 t=0 開始，作每秒 1 次的擲硬幣試驗(yàn)，如正面朝上，則 X(t)在該秒內(nèi)的取值為1，如反面朝上，則 X(t)在該秒內(nèi)的取值為 0；求： (1)X(t)的均值函數(shù)， (2)計(jì)算 RX(,), RX(,)。 Y(t)=X(t+a)X(t)。 隨機(jī)初始相位正弦波隨機(jī)過程 X(t)=Acos( t+ )，其中振幅 A、角頻率 取常數(shù)，相位 為均勻分布于 [ , ]的隨機(jī)變量，求 X(t)的一維概率密度分布函數(shù)。 給定隨機(jī)變量 X(ti)， xi為任一實(shí)數(shù)。若將Z(t)寫成 ( ) c os ( )Z t V t?? ? ?， (1)求隨機(jī)變量 V、 的概率密度分布函數(shù)及聯(lián)合概率密度分布函數(shù)，問二者是否統(tǒng)計(jì)獨(dú)立？ (2)求隨機(jī)過程的一維概率密度分布函數(shù)。 第二章： 隨機(jī)過程的基本概念 某公共汽車站停放著兩輛公共汽車 A、 B，從 t=1s 開始，每隔 1s 有一名乘客到達(dá)車站。 已知二維隨機(jī)變量 (X,Y