【正文】 2222 ABACBC)OAOC()OBOC( ?????? 又∵ OB=3， OA=1， AB=4 ∴ 3OC? ∴點 C的坐標是 (0， 3 ) 由題意可設拋物線的函數解析式為 )3x)(1x(ay ??? ，把 C(0， 3 )代入 函數解析式得 33a ?? (第 24 題 ) 所以，拋物線的函數解析式為 )3x)(1x(33y ???? (2)解法 1：截得三條線段的數量關系為 KD=DE=EF 理由如下： 可求得直線 1l 的解析式為 3x3y ??? ，直線 2l 的解析式為 3x33y ?? 拋物線的對稱軸為直線 1x? 由此可求得點 K的坐標為 ( 1? ， 32 )，點 D的坐標為 ( 1? ， 334 )，點 E的坐標為 ( 1? ， 332 )，點 F的坐標為 ( 1? ， 0) ∴ KD= 332 ， DE= 332 ， EF= 332 ∴ KD=DE=EF 解法 2：截得三條線段的數量關系為 KD=DE=EF 理由如下： 由題意可知 Rt△ ABC中，∠ ABC=30176。 （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）點 M 是線段 AB 上的一個動點，過點 M 作 MN ∥ BC ，交 AC 于點 N ，連接 CM ，當 CMN△ 的面積最 大時，求點 M 的坐標； （ 3）點 ? ?4,Dk在（ 1）中拋物線上，點 E 為拋物線上一動點，在 x 軸上是否存在點 F ，使以 A D E F、 、 、 為頂點的四邊形是平行四邊形，如果存在，求出所有滿足條件的點 F 的坐標，若不存在，請說明理由。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。 9分 ③ 如圖（ 3），當 AF 為平行四邊形的對角線時，設 ( ,0)Fn ， 則平行四邊形的對稱中心為（ 22n? ， 0）。178。178。178。178。178。 12分 y x O B M N C A 圖（ 1） H y x O B 2F E A 圖（ 2） 1F D y x O B 3F E A 圖（ 3） E? D 4F E? （蕪湖 2022） 本小題滿分 14分 ) 平面直角坐標系中，平行四邊形 ABOC如圖放置，點 A、 C的坐標分別為 (0， 3)、 ( 1? ，0)，將此平行四邊形繞點 0順時針旋轉 90176。 39。的坐標為 (3， 0)。C OD BOA?? 又 39。 39。連接 FM、FN，當 F、 N、 M 不在同一直線時 ， 可得 △FMN ，過 △FMN 三邊的中點作 △PQW 。 （ 2022 年廣東省 ） 22．如圖（ 1），（ 2）所示，矩形 ABCD 的邊長 AB=6， BC=4，點 F 在 DC上， DF=2。 （ 3）連接 OM，設 M點的坐標為 ()mn， ， ∵點 M在拋物線上，∴ 2 23n m m? ? ? ?。OC D OC A B? ? ? ? ?. 39。OC39。求此拋物線的解析式； (2)求平行四邊形 ABOC和平行四邊形 39。178。178。178。 3(8 2 7,0)F ? ， 4 (8 2 7,0)F ? 。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。 5分 ∴ 1122C M N A C M A M NS S S A M C O A M N H? ? ? ?△ △ △ 21 2 1( 2 ) ( 4 ) 32 2 4mm m m?? ? ? ? ? ? ? 178。178。178。178。178。178。 3分 （ 2）設點 M 的坐標為（ m ， 0），過點 N 作 NH x? 軸于點 H （如圖 （ 1））。178。178。178。178。178。易知△ KDC為等腰三角形 ∴當 2l 過 拋物線頂點 D時，符合題意，此時點 2M 坐標為 ( 1? ， 334 ) (iii)當點 M在拋物線對稱軸右邊時，只有點 M與點 A重合時，滿足 CM=CK，但點 A、 C、 K在同一直線上，不能構成三角形 綜上所述，當點 M的坐標分別為 ( 2? ， 3 )， ( 1? ， 334 )時，△ MCK為等腰三 角形。 (1)求點 C的坐標，并求出拋物線的函數解析式； (2)拋物線的對稱軸被直線 1l ，拋物線，直線 2l 和 x軸 依次截得三條線段，問這三條線段有何數量關系？請說明理由?！?ACB＞∠ A， CD是 AB上的中線，過點 B作 BE⊥ CD，垂足為 E，試說明 E是△ ABC的自相 似點． ⑵在△ ABC中，∠ A＜∠ B＜∠ C． ①如圖③，利用尺規(guī)作出△ ABC的自相似點 P（寫出作法并保留作圖痕跡）； ②若△ ABC的內心 P是該三角形的自相似點，求該三角形三個內角的度數． 28． （ 11分） 問題情境 已知矩形的面積為 a（ a 為常數， a＞ 0），當該矩形的長為多少時，它的周長最??？最小值是多少？ 數學模型 設該矩形的長為 x，周長為 y，則 y與 x的函數關系式為 2( )( 0)ay x xx?? ＞ ． 探索研究 ⑴我們可以借鑒以前研究函數的經驗，先探索函數 1 ( 0)y x xx?? ＞ 的圖象性質． ① 填寫下表，畫出函數的圖象： ② x ?? 14 13 12 1 2 3 4 ?? y ?? ?? ②觀察圖象，寫出該函數兩條不同類型的性質； A B C P Q O (第 26 題 ) B B B C C C A A A D P E ① ② ③ (第 27 題 ) 1 x y O 1 3 4 5 2 2 3 5 4 （第 28 題） － 1 － 1 ③在求二次函數 y=ax2＋ bx＋ c（ a≠ 0）的最大（?。┲禃r，除了通過觀察圖象，還可以通過配方得到．請你通過配方求函數 1yxx?? (x＞ 0)的最小值． 解決問題 ⑵用上述方法解決“問題情境”中的問題，直接寫出答案． ⑴直線 AB 與 ⊙ P相切． 如圖，過點 P作 PD⊥ AB, 垂足為 D． 在 Rt△ ABC中， ∠ ACB＝ 90176。 DN=21 AD178。 (2)設⊙ C與 PA交于點 M，與 AB交于點 N，則不論動點 P處于直線 l上（除點 B以外）的什么位置時，都有△ AMN∽△ ABP。 (7t) 179。 ∴∠ BAG+∠ EAP=90176。A 39。 解得 8 2 7n?? 。178。178。178。 如圖（ 2），當 AF 為平行四邊形的邊時， AF DE ， ∵ D （ 4， 4? ），∴ E （ 0， 4? ）， 4DE? 。178。 此時，點 M 的坐標為（ 2， 0）。 5分 ∴ 1122C M N A C M A M NS S S A M C O A M N H? ? ? ?△ △ △ 21 2 1( 2 ) ( 4 ) 32 2 4mm m m?? ? ? ? ? ? ? 178。178。178。178。178。178。 3分 （ 2）設點 M 的坐標為（ m ， 0），過點 N 作 NH x? 軸于點 H （如圖（ 1））。178。178。178。 28．（ 1）∵ 2 4 12 0xx? ? ? ，∴ 1 2x?? ， 2 6x? ?！?AEF＝ 72176。 PP2＝ 12． （ 3）如圖，連接 MN，則 MN 過點 Q，且 S△ MON＝ S△ AOB＝ 12． ∴ OA178。 8分 法二：提示：過點 N 作 x 軸的平行線交 y 軸于點 E，作 CF⊥ EN 于點 F，則N F CA E NA E F CA N C SSSS ??? ??? 梯形 （再設出點 N的坐標，同樣可求 ,余下過程略） （重慶市潼南縣 2022 年） 26.（ 12 分）如圖 ,在平面直角坐標系中，△ ABC 是直角三角形 ,∠ ACB=90,AC=BC,OA=1， OC=4，拋物線 2y x bx c? ? ? 經過 A， B兩點，拋物線的頂點為 D． （ 1）求 b,c的值； （ 2）點 E是直角三角形 ABC斜邊 AB上一動點 (點 A、 B除外 )，過點 E作 x軸的垂線 交拋物線于點 F，當線段 EF 的長度最大時，求點 E的坐標； （ 3）在（ 2）的條件下：①求 以點 Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ 為頂點的四邊形的面積；②在拋物線上 是否存在一點 P，使△ EFP是以 EF 為直角邊的直角三角形 ? 若存在，求出所有點 P的坐標；若不存在，說明理由 . 26. 解：（ 1）由已知得： A（ 1， 0） B（ 4， 5） 1分 ∵二次函數 2y x bx c? ? ? 的圖像經過點 A（ 1， 0） B(4,5) ∴ 1016 4 5bcbc? ? ??? ? ? ?? 2分 解得： b=2 c=3 3分 （ 2如２６ 題圖：∵直線 AB 經過點 A（ 1， 0） B(4,5) ∴直線 AB的解析式為： y=x+1 ∵二次函數 2 23y x x? ? ? ∴設點 E(t， t+1),則 F（ t， 2 23tt??） 4分 ∴ EF= 2( 1) ( 2 3)t t t? ? ? ? 5分 = 23 25()24t? ? ? ∴當 32t? 時， EF 的最大值 =254 ∴點 E的坐標為（ 32 ， 52 ） 6分 A O CBDxy26題 備 用 圖A O CBDxy26題 圖 （ 3）①如２６題圖：順次連接點 E、 B、 F、 D得四邊形ＥＢＦＤ． 可求出點 F的坐標（ 32 ， 154? ） ,點 D的坐標為（ 1， 4） S EBFD四 邊 行 = S BEF + S DEF = 1 2 5 3 1 2 5 3( 4 ) ( 1 )2 4 2 2 4 2? ? ? ? ? =758 9分 ②如２６題備用圖：ⅰ )過點 E作 a⊥ EF交拋物線于點 P,設點 P(m, 2 23mm??) 則有： 2 5232mm? ? ? 解得 :1 2 262m ? －,2 2 262m ?? ∴1 2 26 5( , )22p －, 2 2 26 5( , )22p ? ⅱ）過點 F作 b⊥ EF交拋物線于 3P ，設 3P （ n， 2 23nn??） 則有： 2 15423nn? ? ? ? 解得：1 12n? ，2 32n?（與點 F 重合，舍去） ∴3P 1 1524（ ， － ） 綜上所述：所有點 P 的坐標：1 2 26 5( , )22p －，2 2 26 5( , )22p ? 3P（ 1 1524（ ， － ） . 能使△ EFP 組成 以 EF 為直角邊的直角三角形． 12 分 （江蘇省宿遷市 2022 年） 26．（本題滿分 10分）如圖，在平面直角坐標系中， O為坐標原點， P是反比例函數 y＝ x6 （ x＞ 0）圖象上的任意一點，以 P為圓心， PO為半徑的圓與 x、y軸分別交于點 A、 B． （ 1）判斷 P是否在線段 AB 上，并說明理由； （ 2）求△ AOB的面積； （ 3） Q是反比例函數 y＝ x6 （ x＞ 0）圖象上異于點 P的另一點，請以 Q為圓心， QO 半徑畫圓與 x、 y軸分別交于點 M、 N，連接 AN、 MB．求證： AN∥ MB． 解：（ 1）點 P在線段 AB上，理由如下： ∵點 O在⊙ P 上，且∠ AOB＝ 90176。７分 ∴ 225)25(21025)52054(2121 222 ?????????????? tttttOCNGS A C N ∴當 25?t 時，△ CAN面積的最大值為 225 ， 由 25?t ，得： 3452454 2 ????? tty ，∴ N（ 25 ， 3）． 178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。 178。178。178。178。178。178。 （ 3分） （ 3）如圖（三），連接 1AO ，并延長 1AO 交⊙ 1O 與點 E ，連 ED ∵ 1B EOC? ?? 又 EB? ?? ∴ 1EOC E? ?? ∴ 1 //CO ED 又 ED AD? ∴ 1CO AD? 178。178。178。178。178。所以△ M1FN1是直角三角形． ⑷存在，該直線為 y=－ 1．理由如 下： 直線 y=－ 1即為直線 M1N1． 如圖，設 N點橫坐標為 m，則 （黃石市 2022 年） 24.（本小