【正文】 ??? ??? ? ? ? ????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ? ????? 1 0 0 0 00 0 1 0 0xxxyu???????? ? ? ? ? ??? ?? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??????? (325) 需要說明的是，在 本文 的控制器設計和程序中，采用的都是以小車的加速度作為系統(tǒng)的輸入，如果需要采用力矩控制的方法，可以參考以上把外界作用力作為輸入的各式。 在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖 31 所示。 MATLAB 不僅流行于控制界，在生物醫(yī)學工程、語言處理、圖像信號處理、雷達工程、信號分析，以及計算機技術等行業(yè)中也都廣泛應用。為了創(chuàng)建動態(tài)系統(tǒng)模型， Simulink 提供了一個建立模型方塊圖的圖形用戶接口 (GUI) ，這個創(chuàng)建過程只需單擊和拖動鼠標操作就能完成，它提供了一種更快捷、直接明了的方式，而且用戶可以立即看到系統(tǒng)的仿真結果。 目前，在自動控制、圖像處理、語言處理、信號分析、振動原理、優(yōu)化設計、時序分析和系統(tǒng)建模等領域廣泛應用。 （ 2） 預測控制和變結構控制方法 由于線性控制理論與倒立擺系統(tǒng)多變量、非線性之間的矛盾，使人們意識到針對多變量、非線性對象，采用具有非線性特性的多變量控制解決多變量、非線性的必由之路。倒立擺常規(guī)的控制算法如 LQR 在倒立擺的控制中已被廣泛采用，模糊控制作為一種智能控制的方法，在一定程度上模仿了人的控制，它不需要有準確的控制對象模型，作為一種非線性智能控制方 法，已在多變量、時變、非線性系統(tǒng)的控制中發(fā)揮了重要的作用。倒立擺系統(tǒng) 是一個典型的非線性、強耦合、多變量和不穩(wěn)定系統(tǒng)，作為控制系統(tǒng)的被控對象，它是一個理想的教學實驗設備，許多抽象的控制概念都可以通過倒立擺直觀地表現(xiàn)出來。 事實上 ,人們一直在試圖尋找不同的控制方法來實現(xiàn)對倒立擺的控制 ,以便檢查或說明該方法對嚴重非線性和絕對不穩(wěn)定系統(tǒng)的控制能力。 （ 4） 魯棒控制方法 雖然，目前對倒立擺系統(tǒng)的控制策略有如此之多，而且有許多控制策略都對倒立擺進行了穩(wěn)定控制，但大多數(shù)都沒考慮倒立擺系統(tǒng)本身的大量不確定因素和外界干擾，目前對不確定倒立擺系統(tǒng)的魯棒控制問題進行了研究并取得了一系列成果。在該環(huán)境中，無需大量書寫程序，而只需要通過簡單直觀的鼠標操作，就可構造出復雜的系統(tǒng)。對各種時變系統(tǒng)，包括通訊、控制、信號處理、視頻處理和圖像處理系統(tǒng)， Simulink提供了交互式圖形化環(huán)境和可定制模塊庫來對其進行設計、仿真、執(zhí)行和測試。 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 4 小 車滑 軌皮 帶電 機擺 桿 圖 21 一階倒立擺結構示意圖 系統(tǒng)組成框圖如圖 22 所示 。 注意：在實際倒立擺系統(tǒng) 中檢測和執(zhí)行裝置的正負方向已經(jīng)完全確定，因而矢量方向定義如圖，圖示方向為矢量正方向。0 0 0 0。 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 11 得到如下計算結果： 圖 33 直線一級倒立擺單位階躍響應仿真 可以看出，在單位階躍響應作用下，小車位置和擺桿角度都是發(fā)散的。 A = [0 1 0 0。 0]。 m = 。 [r,p,k] = residue(num,den)。系統(tǒng)由模擬 PID 控制器 KD(S)和被控對象 G(S)組成。 PID 校正兼顧了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能和動態(tài)性能的改善，因此在要求較多的場合，較多采用 PID 校正。 前面的討論只考慮了擺桿角度，那么，在控制的過程中，小車位置如何變化呢？ 小車位置輸出為： ? ? ? ?2X s s V s? 通過對控制量 v 雙重積分即可以得到小車位置。為消除穩(wěn)態(tài)誤差，我們增加積分參數(shù) IK ，令： 40PK ? ， 20IK? ， 10DK ? ，得到圖 49 仿真結果。但 由于經(jīng)典控制是用傳遞函數(shù)來描述的，它只能用輸出量作為反饋量。這種設置期望閉環(huán)極點的方法就稱為極點配置法。 (3) 確定使狀態(tài)方程變?yōu)榭煽貥藴市偷淖儞Q矩陣 T ： T MW? 其中 M 為可控性矩陣， 1nM B AB A B???? ?? 1 2 123111 0 01 0 01 0 0 0nnnna a aaaWa??????????? (4) 利用所期望的特征值，寫出期望的多項式 ? ? ? ? ? ? 11 1 1 1 1nn nns s s s s s? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? 并確定 12,n? ? ? 的值。此外對于控制系統(tǒng)的設計有了初步的認識，對自動控制理論的相關知識有了更深入的理解，學會一般系統(tǒng)的建模方法和控制器設計方法。 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 25 圖 52 直線一級倒立擺狀態(tài)反饋控制 MATLAB 仿真模型 在模塊中設置 A、 B、 C、 D 的值，如圖 53 所示 ?？刂葡到y(tǒng)的任務，就是選擇狀態(tài)反饋向量 K使閉環(huán)系統(tǒng)極點配置在要求位置，或者為實數(shù)，或者實部為負的共軛復數(shù)。 狀態(tài)反饋是將系統(tǒng)的每一個狀態(tài)變量乘以相應的反饋系數(shù)，然后又反饋到輸入端與參考輸入相減形成控制規(guī)律，作為受控系統(tǒng)的控制輸入。 5 直線一級倒立擺狀態(tài)空間極點配置控制器設計 經(jīng)典控制理論的研究對象主要是單輸入單輸出系統(tǒng)，現(xiàn)代控制理論將其概念擴展到多輸入多輸出系統(tǒng)。 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 18 圖 46 P 控制仿真結果圖（ 40PK ? ） 從圖 46 中可以看出，閉環(huán)控制系統(tǒng)持續(xù)振蕩，周期約為 。 圖 42 直線一級倒立擺閉環(huán)系統(tǒng)圖 圖中 )(sKD 是控制器傳遞函數(shù)， )(sG 是被控對象傳遞函數(shù)。 簡單說來， PID 控制器各校正環(huán)節(jié)的作用如下： （ 1）比例環(huán)節(jié)：成比例地反映控制系統(tǒng)的偏差信號 )(te ，偏差一旦產(chǎn)生，控制器立即產(chǎn)生控制作用，以減少偏差。 axis([0 1 0 60])。 l = 。 plot(T,Y)。 (I+m*l^2)/p。 I = 。 C=[1 0 0 0。 由于輸出為角度 ? ，求解方程組（ 310）的第一個方程，可以得到 : )(])([)( 22 ssgmlmlIsX ???? (311) 或 : ? ?? ? ? ? 222s m lsXsI m l s m g l? ??? (312) 如果令 vx? ，則有： ? ?? ? ? ?22s mlVs I m l s m gl? ? ?? (313) 把上式代入方程組（ 310）的第二個方程，得到 : )()()()()()()( 22222 sUssmlsssgml mlIbsssgml mlImM ?????????? ?????????? ??? (314) 整理后得到以輸入力 u 為輸入量，以擺桿擺角 ? 為輸出量的傳遞函數(shù)： 224 3 2()() ( ) ( )ml ss qUs b I m l M m m g l b m g ls s s sq q q? ???? ? ? (315) 其中 : ])())([( 22 mlmlImMq ???? 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 8 狀態(tài)空間數(shù)學模型 由現(xiàn)代控制理論原理可知，控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程可寫成如下形式： DuCXY BuAXX ?? ??? (316) 方程組 (39)對 ???,x 解代數(shù)方程，得到如下解： ????????????????????????????????????uM mlmMImlM mlmMImMm g lxM mlmMIm l buM mlmMImlIM mlmMIglmxM mlmMIbmlIxxx2222222222)()()()()()()()()(??????????????? (317) 整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程： uM m lmMImlM m lmMImlIxxM m lmMImMm g lM m lmMIm l bM m lmMIglmM m lmMIbmlIxx???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????2222222222)(0)(00)()()(010000)()()(00010???????????? 1 0 0 0 00 0 1 0 0xxxyu???????? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??????? (318) 由 (39)的第一個方程為： ? ?2I m l m gl m lx??? ? ? 對于質(zhì)量均勻分布的擺桿有： 213I ml? 于是可以得到： 2213 m l m l m g l m lx???