【正文】 （ ） logax (A)（ 0， 1） (B)(0, 31 ) (C)[71 ， 31 ） （ D） [71 ， 1） 這是年北京卷的一道考題．給出了一個(gè)分段函數(shù)，在 x小于 1 的是個(gè)一次函數(shù)，而在 x大于等于 1的時(shí)候是一個(gè)以 a為底的對(duì)數(shù)函數(shù)，然后題目給出函數(shù)在負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮整個(gè)實(shí)數(shù)集上是減函數(shù)，求參數(shù) a 的取值范圍．毫無(wú)疑問(wèn)，此題考查每個(gè)同學(xué)都應(yīng)熟悉的單調(diào)函數(shù)的概念，這道題放在卷子的第 5 題的位置上，是一道容 易題，考生下來(lái)也沒(méi)有覺(jué)得這道題有什么難的地方．但沒(méi)有想到這道題的得分率不足 0． 5，相對(duì)難度接近于一道難題，這是不是反映出我們?cè)诮虒W(xué)中，概念教學(xué)有弱化的現(xiàn)象， 11 例 23 在數(shù)列｛ an｝中，若 a1， a2是正整數(shù)，且 an＝ {anlan2}， n＝ 3， 4， 5，?，則稱 {an}為“絕對(duì)差數(shù)列”。 ③ 量化突出 這里所說(shuō)的量化，主要是要求學(xué)生在運(yùn)算當(dāng)中，考查對(duì)算理運(yùn)算法則的理解程度、靈活運(yùn)用的能力，以及準(zhǔn)確嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。 下面兩個(gè)考題，提出了在教學(xué)當(dāng)中要關(guān)注另一個(gè)問(wèn)題，那就是在 立體幾何和解析幾何的教學(xué)當(dāng)中，要會(huì)正確分析和處理運(yùn)動(dòng)和變化。 人們經(jīng)常關(guān)心的一個(gè)問(wèn)題是：即將到來(lái)的試題會(huì)在哪里創(chuàng)新？ 如果我們從命題者的思路分析，就不會(huì)那么茫然，顯然，要?jiǎng)?chuàng)新，就得有所突破，不斷擴(kuò)充原有的 13 邊界，我們以函數(shù)為例，單一的表達(dá)式不夠，就得有分段函數(shù)；解析式不夠，就得有圖象和表；具體函數(shù)不夠，就得有抽象的；連續(xù)的不夠，就得有間斷的或者離散的，研究的性質(zhì)，除了單調(diào)性、最大值、奇偶性外，還可涉及凸性、變化速度和增長(zhǎng)差異，研究方法除運(yùn)用不等式和導(dǎo)數(shù)等知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算求解和演繹證明外，還允許空間想象、直覺(jué)猜想的存在。 這兩道題研究的是同一個(gè)函數(shù) g（ x） =xln t 的凹凸性． 為證明 2020 年全國(guó)卷理科第（Ⅱ）問(wèn)，要用到函數(shù) f（ x）＝ ln（ 1＋ x） — x，它就是題目提供的材料。 命題是怎樣不斷改造、編制出來(lái)呢？我們不妨看看四道高考題的編制的思路吧！ 原題 l （人教版（ 2020 年版）高中數(shù)學(xué)教材第三冊(cè)（選修 II）第 157 頁(yè)］解下列方程： （ 1） x2+4x+5＝ 0； （ 2） 2x23x+4＝ 0． 高考試題 1（ 2020 年廣東高考試題）若復(fù)數(shù) x滿足方程 x2+2＝ 0，則 z3＝（ ） (A) 177。 近年來(lái)的高考數(shù)學(xué)試題，多數(shù)題目可在現(xiàn)行教材中找到原型，是課本例題或習(xí)題的變式題，或源于課本并適度延拓的引申題。則丨 AC 丨 2 十丨 CB 丨 2=｜ AB 丨 2； ③在△ ABC 中，丨 AC｜十丨 CB 丨＞丨 AB 丨； ④ 在△ ABC 中， CABBACABC sin ||sin ||sin || ?? ； ⑤在△ ABC 中，丨 BC 丨 2＝丨 AB｜ 2丨 AC 丨 2－ 2 丨 AB｜178。 (I)當(dāng)汽車以 x1 千米／小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？ （Ⅱ）當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？ 第五步，審核與定題（同高考題 3）． 評(píng)析：這是為高考命制一道應(yīng)用題，題材要貼近生活，背景要公平，要控制好試題的難度與長(zhǎng)度其中第四步，命題者要付出大量的幕后勞動(dòng)，然而高考命題者大都很忙，這是高考試題中高質(zhì)量的應(yīng)用題偏少的原因之一．為了方便，不少命題者在命制試題時(shí)，常把第一步與第二步的順序調(diào)換，這樣一不留神就會(huì)命制出一道“人造應(yīng)用題”來(lái)。在 2020 年與 2020年成功經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，繼續(xù)推進(jìn)命題改革的力度。 教學(xué)是一個(gè)無(wú)底洞，如果教師帶一個(gè)尖子班，即使學(xué)生不聽(tīng)課，他們的分?jǐn)?shù)是不會(huì)差的（就像一片肥沃的土地，你少勞作，莊稼也長(zhǎng)得不會(huì)差），學(xué)生在成長(zhǎng)，知識(shí)在長(zhǎng)進(jìn)，自身在發(fā)展。 （ 2）教師要全面統(tǒng)籌，精心設(shè)計(jì)，認(rèn)真實(shí)施。 （ 4）注重時(shí)效，每項(xiàng)工作落實(shí)到位。在高三開(kāi)展變式教學(xué)，一方面可以有效地提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的效率，另一方面使學(xué)生在全面深刻理解、掌握概念、定義、方法的本質(zhì)的同時(shí)，數(shù)學(xué)思維品質(zhì)也獲得良好的發(fā)展。學(xué)生獨(dú)立思考空間少，只喜歡做熟悉的題目，而問(wèn)題背景發(fā)生一點(diǎn)變化就會(huì)手忙腳亂．這種機(jī)械呆板的教學(xué)方法是低效率的，更無(wú)從談起有效培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)和創(chuàng)新意識(shí)。 ② 給學(xué)生印發(fā)的練習(xí)題，是自己精選并親自做過(guò)的題目，這樣的題目對(duì)學(xué)生復(fù)習(xí)的效率更高 。因此復(fù)習(xí)時(shí)尤其是后階段的復(fù)習(xí)要學(xué)習(xí)《考綱》，研究《考綱》，高考命題堅(jiān)持的： “兩個(gè)有利”為指導(dǎo)思想，即有利于高校選拔新生，有利于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)， 因 此，高考題必將對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)揮十分重要的導(dǎo)向作用。其次教師的水平與工作爭(zhēng)取在任一時(shí)刻使學(xué)生有更大的受益，在每一問(wèn)題上使學(xué)生思維能上一個(gè)新臺(tái)階，如果一個(gè)教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生不大認(rèn)真聽(tīng)自己的課，或?qū)W生對(duì)自己提出的要求不認(rèn)同，就得反思自己的教學(xué)是否到位，是否對(duì)學(xué)生有幫助；如果有學(xué)生感到聽(tīng)課不如看書(shū)，就說(shuō)明教師的教學(xué)阻礙了學(xué)生的發(fā)展，浪費(fèi)著學(xué)生的時(shí)間（常常抱怨學(xué)生的教師多，反思自己教學(xué)的教師少） 。 二、講究應(yīng)試策略 我們追尋高考改革的足跡，盤(pán)點(diǎn) 2020 年全國(guó)高考各省市數(shù)學(xué)試題，剖析 2020年高考《考試大綱》的重點(diǎn)、熱點(diǎn)，對(duì)分省命題進(jìn)行多角度、多層面的觀察和審視，在認(rèn)真回顧的基礎(chǔ)上進(jìn)行理性的思考，一個(gè)重要的目的：就是要更好地把握 2020 年 福建省 自主命題的方向，分析 2020 高考數(shù)學(xué)命題趨勢(shì)，更高效，有針對(duì)性的指導(dǎo)高三年級(jí)的復(fù)習(xí)備考工作。理）統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)耗油 y（升）關(guān)于行駛速度 x（千米／小時(shí)）的函數(shù)解析式可以表示為： y＝ 880312 80 001 2 ?? xx （ 0x≤ 120）．已知甲、乙兩地相距 100 千米． （ I）當(dāng)汽車以 40 千米／小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？ （Ⅱ）當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從 甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？ 命題過(guò)程：第一步，①選取貼近生活、背景公平的題材，如本題選取的耗油問(wèn)題，是 2020 年和 2020年頗為熱門的話題．②從數(shù)學(xué)的視角，對(duì)所選題材進(jìn)行加工，尋求可能出現(xiàn)的數(shù)學(xué)模型，并從中選取適合考查的數(shù)學(xué)模型，本題選擇了函數(shù)模型； 第二步，確立考查與所選取的數(shù)學(xué)模型相對(duì)應(yīng)的理論知識(shí)、思想方法、能力要求，本題選擇了考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值和建模能力； 第三步，在理論與實(shí)際之間選擇命題點(diǎn)，試著命題； 試題 統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)耗油量 y（升）關(guān)于行駛速度 x（千米／ 16 小時(shí)）的函數(shù)解析式可以表示為： y＝ ax2+bx+c（ 0x≤ s）．已知甲、乙兩地相距 m 千米。則丨 AC 丨 2 十丨 CB 丨 2=｜ AB 丨 2； ③在△ ABC 中，丨 AC｜十丨 CB 丨＞丨 AB 丨； ④ 在△ ABC 中，CABBACABC sin ||sin ||sin || ??； ⑤在△ ABC 中，丨 BC 丨 2＝丨 AB｜ 2+丨 AC 丨 2－ 2 丨 AB｜178。通常，前兩步位置可調(diào)換。 我們不妨看一看湖北卷的概率統(tǒng)計(jì)題： 2020年關(guān)于預(yù)防突發(fā)事件，如何決策； 2020年駕照考試，不是二項(xiàng)分布，也不是幾何分布，課本有類似的例子，但沒(méi)有給它命名，由此看到，湖北卷在概率統(tǒng)計(jì)方面，是領(lǐng)風(fēng)氣之先的，我們不難體察到其中的學(xué)術(shù)傾向． 2020 年為什么考查正態(tài)分布？這里不是可以找到某種解釋嗎？ 以上是其一，事先有某種信號(hào)，如果沒(méi)有這種信號(hào)呢？創(chuàng)新是有風(fēng)險(xiǎn)的，命題者必然有某種充足的理由。 例 32（ 2020 年全國(guó)卷 I 理科第 22 題） （ I）設(shè)函數(shù) f（ x）＝ xlog2x＋（ 1— x） log2（ 1— x）（ 0＜ x＜ l＝，求 f（ x）的最小值； （Ⅱ）設(shè)正數(shù) Pl， P2， P3， … ， P2n 滿足 Pl+P2+P3+… +P2n=1， 證明 Pllog2P1+P2 log2P2+P3 log2P3+… +P2n log2P2n≥ n 這道題很難，特別是用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，如何運(yùn)用歸納假設(shè)，與通常的做法是不一樣的．不難發(fā)現(xiàn)，這道題涉及的函數(shù)與 2020 年全國(guó)卷 III 理科第 22 題如出一轍。 從高考命題、常規(guī)思路與題源分析，研究命題走勢(shì) 命題從哪里產(chǎn)生呢？ （ 1）課本是試題的基本來(lái)源，是高考命題的主要依據(jù)，大多數(shù)試題的產(chǎn)生都是在課本的基礎(chǔ)上組合、加工和發(fā)展的結(jié)果； （ 2）歷屆高考題成為新高考題的借鑒，特別是全國(guó)題，它的發(fā)展變化在各省市命題中起引領(lǐng)作用； （ 3）課本與課程標(biāo)準(zhǔn)的交集成為新高考題的創(chuàng)生地帶，不能忽視課程改革背景下新理念、新內(nèi)容對(duì)命題者的影響； （ 4）高等數(shù)學(xué)的基本思想、基本問(wèn)題為高考題的命制提供背景，這既是高考考查潛能的需要 ，也是命題者學(xué)術(shù)背景使然； （ 5）當(dāng)包括向量、導(dǎo)數(shù)等新增內(nèi)容在內(nèi)的考查內(nèi)容常規(guī)化后，竟賽題將成為一個(gè)參考。 b，那么 a＋ b 與 ab 的夾角的大小是 . 這道考題， 給了用兩個(gè)三角形式表示的向量，然后問(wèn)這兩個(gè)向量和與這兩個(gè)向量差的夾角．下面問(wèn)了一些考生，大多數(shù)都是從計(jì)算兩者的數(shù)量積入手，再除以他們的長(zhǎng)度，求出夾角的余弦，事實(shí)上如果注意向量的幾何特征，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)向量是起點(diǎn)在原點(diǎn)，終點(diǎn)在單位圓上，它們所形成的平行四邊形是個(gè)菱形，而 a＋ b 與 a 一 b 恰是菱形的兩條對(duì)角線．互相垂直，不需要做任何的計(jì)算就能得出結(jié)論。這一過(guò)程蘊(yùn)含著怎樣才是正確的思考和解決問(wèn)題的原則：轉(zhuǎn)化必須要保持與原來(lái)的問(wèn)題等價(jià)；轉(zhuǎn)化要使問(wèn)題變得越來(lái)越簡(jiǎn)單，這三個(gè)思路中，甲是錯(cuò)誤的，而丙雖然沒(méi)有錯(cuò)誤，但是不可?。眠@樣的情景設(shè)置的方式，強(qiáng)調(diào)了拿到題目以后，應(yīng)該首先考慮怎樣選擇思路。 ① 概念性強(qiáng) 數(shù)學(xué)是由概念命題所組成的邏輯系統(tǒng)，概念是基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)當(dāng)中每一個(gè)術(shù)語(yǔ)、符號(hào)和習(xí)慣用語(yǔ)都有著具體的內(nèi)涵。 例 19（ 2020 年上海卷文、理科第 11 題）教材中“坐標(biāo)平面上的直線”與“圓錐曲線”兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)是＿＿＿．（答案：用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)） 評(píng)析：本題一是有人文背景 ，二是體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的新課標(biāo)的理念． 其次，命題改革有意識(shí)地關(guān)注考生在情感、態(tài)度和價(jià)值觀方面的表現(xiàn)如 2020年和 2020 年在福建卷、天津卷中，均出現(xiàn)了一行“祝各位考生考試順利！”的文字，讓考生感到高考試題有選拔功能的同時(shí)，有了人情味，這有利于減輕考生的緊張情緒，多了一份關(guān)懷與和諧。 例 17（ 2020 年湖北卷理科笫 22 題）已知不等式 21 +31 +… +n1 ＞ 21 ［ log2n］，其中 n 為大于 2 的整數(shù)，［ log2n］表示不超過(guò) log2n 的最大整數(shù)。但是用這個(gè)題目給出的五根木棒構(gòu)成三角形，不可能出現(xiàn)等邊三角形的精況，就需要通過(guò)合理的估算，得出結(jié)論。 例 13 設(shè) y=f（ t）是某港口水的深度 y（米）關(guān)于時(shí)間 t（時(shí)）的函數(shù)，其中 0≤ t≤ 24．下表是該港口某一天從 0 時(shí)至 24 時(shí)記錄的時(shí)間 t 與水深 y 的關(guān)系： 經(jīng)長(zhǎng)期觀察，函數(shù) y=f(t)的圖像可以近似地看成函數(shù) y＝ k＋ 4sin（ ω t+φ ）的圖像。就試題的內(nèi)容而言，均與概率、線性規(guī)劃、函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)有關(guān)，大部分蘊(yùn)含 著最優(yōu)化原理，這都是對(duì)學(xué)生起長(zhǎng)遠(yuǎn)作用的、基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能：就能力要求而言，均需要學(xué)生能將實(shí)際問(wèn)題抽象出來(lái)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型并用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法去解決；就思想性而言均是與生產(chǎn)、市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)息息相關(guān)，且具有教育意義的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。 （答案：（ I） h（ x） = 12?xx ,x∈ (? ,1)∪ (1,+? ) 1,x=1 （Ⅱ）（－∞， 0］∪［ 4，＋∞）．（ III） f（ x）＝ sir2x＋ cos2x， α=2? 或 f（ x）＝ 1＋ 2 2 sin2x, α=2?等，證明略） 評(píng)析：本題由兩個(gè)常規(guī)的初等函數(shù) y＝ f（ x）、 y＝ g（ x）定義出一個(gè)新的復(fù)合函數(shù) h（ x），考查考生加工信息，調(diào)動(dòng)儲(chǔ)存，制定合理解題思路的能力。如何先做出一個(gè)大小關(guān)系的有效估計(jì)，那就可以把問(wèn)題的計(jì)算量大大減少．意味著不僅要會(huì)“分”，而且要會(huì)“合”，要善于從整體上把握“分”與“合”的聯(lián)系。 把數(shù)學(xué)定位于思維型的學(xué)科，數(shù)學(xué)教學(xué)就是要通過(guò)知識(shí)的教學(xué)教給同學(xué)如何想問(wèn)題，在想問(wèn)題的過(guò)程中就會(huì)涉及到思維策略和思維方法．考試大綱提出在考查知識(shí)的同時(shí)，考查數(shù)學(xué)的思想方法十分重要。 對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的考查是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括的考查，考查時(shí)注意了與數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的考查，可以反映考生對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法理解和掌握的程度；考查中是從學(xué)科整體意義和思想價(jià)值立意，注重了對(duì)通性通法的考查，淡化了特殊技巧，這樣可以更有效際檢測(cè)考 生對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法的掌握程度。 又如， 2020 年四川卷，全卷 22 題中，文理各有十多道題來(lái)源于人教版教材的例、習(xí)題。這給考 生做題提供了方便，只需順著題目往下做就可以了。 從 2020年福建省質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷特點(diǎn)評(píng)價(jià)，研究命題走勢(shì) 2020年省質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷 難度適中，題目富有新意，完全符合我省 2020年考試說(shuō)明的要求，據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，文、理科全省平均分分別約為 ，難度系數(shù)分別為 ,標(biāo)準(zhǔn)差 。值得一提全國(guó)有 10卷出現(xiàn) “ 新信息遷移題 ” 。這道應(yīng)用題與 “ 燃油漲價(jià) ” 有關(guān)，是 2020年值得關(guān)注的社會(huì)熱點(diǎn)。