經(jīng)濟數(shù)學微積分一階微分方程(存儲版)
【正文】 消費函數(shù)模型，除絕對收入假設消費函數(shù)外，都可以近似表達為這種形式。 ? 在采用例如線性支出系統(tǒng)這樣的聯(lián)立方程模型時，必須對商品和服務進行分類，因為不可能將成千上萬種商品和服務單獨建立模型。即完成了模型的估計。 ? 必須反過來求得原模型中的每個參數(shù)估計量，才有明確的經(jīng)濟意義。 非線性的 . 三、一階線性微分方程 d ( ) 0 .dy P x yx ??d ( ) d ,y P x xy ??d ( ) d ,y P x xy ????1ln ( ) dy P x x C? ? ?? ，齊次方程的通解為 ( ) d .P x xy Ce ? ??1. 一階線性齊次方程 一階線性微分方程的 解法 由分離變量法 2. 一階線性非齊次方程 d ( ) ( ) .d y P x y Q xx ??討論 d ( ) ( ) d ,y Q x P x xyy????????兩邊積分 ()ln d ( ) d ,Qxy x P x xy????ln ( ) ( ) d ,y v x P x x? ? ? ?( ) ( ) d .v x P x xy e e ? ??即非齊次方程通解形式 對照 ), ( ) ( x v dx y x Q 為 設 ? ? ? ? dx x P Ce y ) ( 齊次方程的通解 常數(shù)變易法 把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法 . 實質(zhì) : 未知函數(shù)的變量代換 . ),()( xyxu 原未知函數(shù)新未知函數(shù) ?作變換 ( ) d() P x xy u x e ? ??( ) d ( ) d( ) ( ) [ ( ) ] ,P x x P x xy u x e u x P x e??????? ? ?代入原方程得和將 yy ?( ) d( ) ( ) d ,P x xu x Q x e x C????( ) d( ) ( ) ,P x xu x e Q x? ?? ?一階線性非齊次微分方程的通解為 : ( ) d ( ) d[ ( ) d ]P x x P x xy e Q x e x C? ?????( ) d ( ) d ( ) d( ) dP x x P x x P x xC e e Q x e x??? ? ?? ? ? ?對應齊次方程通解 非齊次方程特解 ?解 例 6 ，01 ??? yxyddyxyx?1lnln cxy ???第一步，求相應的齊次方程的通解 .cxy ?? 齊次方程的通解為. 2 的通解 求方程 x x y dx dy ? ? 解 例 6 第二步，常數(shù)變易法求非齊次方程的通解 ? ? ，令 xxuy ? ? ? ? ?xuxxuy ????則代入方程得 ? ? ? ? xxuxxxu ???? 即2? ? cxxu ?? 2 2.23cxxy ??? 所求通解為?. 2 的通解 求方程 x x y dx dy ? ? .s in1 的通解求方程 x xyxy ???,1)( xxP ? ,s i n)( x xxQ ?11ddsindxxxx xy e e x Cx? ????? ? ??????ln lnsin dxx xe e x Cx? ??? ? ??????? ?1 s in dx x Cx??? ? ?.c o s1 Cxx ???解 例 7 例 8 ).( yxx故先求方程，及其導數(shù)而言，是一次相對應于解 方程化為 d3d2xyxyy? ? ?,3)( yyP ?? ,2)( yyQ ??其中 . 0 2 ) 6 ( 2 的通解 求方程 ? ? ? y dx dy x y ( ) d ( ) d( ) dP y y P y yx e Q y e y C? ????? ? ??????3 ln 3 ln d2yyye e y C???? ? ? ??????.213 為所求通解???????? ?? Cyy113 d 3 d( ) d2yyyy ye e y C?????? ? ? ??????所以 例 9 如圖所示，平行于 軸的動直線被曲 線 與 截下的線段 PQ之長數(shù)值上等于陰影部分的面積 , 求曲線 . y)( xfy ? )0(3 ?? xxy)(xf30 ( ) d ( )x f x x x f x???30 dx y x x y???兩邊求導得 ,3 2xyy ???解 解此微分方程 xyo xPQ 3xy ?)( xfy ?即 dd 23dxxy e x e x C? ???????????,663 2 ???? ? xxCe x,0| 0 ??xy由 ,6??C得所求曲線為 ).222(3 2 ????? ? xxey x23 xyy ???四、利用變量代換求微分方程的解 解 ,uyx ??令 dd 1ddyuxx??代入原方程 2d 1du ux ?? ,a r c t a n Cxu ??解得得代回 ,yxu ?? ,)a r c t a n( Cxyx ???原方程的通解為 .)t a n( xCxy ???. ) ( 10 2 的通解 求 例 y x dx dy ? ? 例 11 用適當?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程 : 221 . 2 2 xy y x y x e ?? ??解 ,21 12 ????? yxexyy x,2)1(1 yyz ?? ??令2d 2,dxz x z x ex?? ? ? 22 d 2 d[ d ]x x x xxz e xe e x C? ??????所求通解為 ).2(22 2 Cxey x ?? ?貝努利方程 , 2 dx dy y dx dz ? 則 2d12.d sin ( )yyx x xy x?? ；解 ,xyz ?令22d 1 1( ) ,d s in ( ) s inzyyxx x x y x z? ? ? ?,42s i n2 Cxzz ???分離變量法得 ,代回將 xyz ?所求通解為 .4)2s i n (2 Cxxyxy ???, dx dy x y dx dz ? ? 則 d13. 。 ? 反映消費習慣等 “ 心理存量 ” 對需求的影響 。 為什么？ ? 時間序列數(shù)據(jù)適合于短期彈性的估計，截面數(shù)據(jù)適合于長期彈性的估計。 消費函數(shù) （ Consumption Function） 一、 幾個重要的消費函數(shù)模型及其參數(shù)估計 二、 消費函數(shù)模型的一般形式 三、 中國居民消費行為實證分析 一、幾個重要的消費函數(shù)模型及其 參數(shù)估計 ⒈ 絕
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