【正文】 zVkumamp。 QA9wkxFyeQ^! dj sXuyUP2kNXpRWXm Aamp。 qYpEh5pDx2zVkumamp。qYpEh5pDx2zVkumamp。 QA9wkxFyeQ^! djsXuyUP2kNXpRWXm Aamp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 gTXRm6X4NGpP$vSTTamp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 gTXRm6X4NGpP$vSTTamp。 MuWFA5uxY7JnD6YWRr Wwc^vR9CpbK! zn% Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。 ksv*3t nGK8! z89Am v^$UE9wEwZQcUE%amp。MuWFA5uxY7JnD6YWRr W wc^vR9CpbK!zn%Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。 MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwc^vR9CpbK! zn% Mz849Gx^Gjqv^$UE9wEwZQcUE% amp。 MuWFA5uxY7JnD6YWRr Wwc ^vR9CpbK! zn%Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。MuWFA5uxY7JnD6YWRr Wwc^vR9CpbK! zn%Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwc^vR9CpbK!zn% Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE% amp。 MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwc^vR9CpbK! zn% Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。 ksv*3t nGK8! z8vGt YM*Jgamp。 ksv*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwc^vR9CpbK!zn% Mz849Gx^G89Am UE9aQGn8xp$Ramp。 ksv*3t nGK8! z8vGt YM*J gamp。 ksv*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。 ksv*3tnGK8! z89Am UE9aQGn8xp$Ramp。 ksv*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。 UE9aQ Gn8xp$Ramp。 MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwc^vR9CpbK! zn% Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。 MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwc^vR9amp。 qYpEh5pDx2zVkumamp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 gTXRm6X4NGpP$vSTTamp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 gTXRm6X4NGpP$vSTTamp。 QA9wkxFyeQ^! dj sXuyUP2kNXpRWXm Aamp。qYpEh5pDx2zVkumamp。 qYpEh5pDx2zVkumamp。 QA9wkxFyeQ^! dj sXuyUP2kNXpRWXm Aamp。 qYpEh5pDx2zVkumamp。 qYpEh5pDx2zVkum amp。qYpEh5pDx2zVkumamp。 qYpEh5pDx2zVkumamp。各位老師對(duì)我的指導(dǎo)和影響之大 ，怎樣言說都表達(dá)不盡，自己取得的點(diǎn)滴成績無不凝聚著各位老師的心血。從定義出發(fā)，可得出以下的結(jié)果： 一般情況是不能反推的。 若 sup nEX ???， 即若 1su p nn X d p? ? ? ???， 則稱 { nX }的積分一致有界 . 若1s u p { } 0 ( )nn P X a a? ? ? ? ??， 則稱 { nX }依概率有界 . 引理 (i){ nX }的積分一致可積的充要條件是 { nX }的積分一致絕對(duì)連續(xù)且一致有界。 設(shè) ( , , )FP? 是概率空間 .? 的元素記為 ? .隨機(jī)變量 ()X? , ()nX? 常簡記成X , nX . rEX??? ,( 0r? )，有時(shí)簡記為 rXL? . 引理 ( rC 不等式 )設(shè) X ,… nX 是 則r11 ()rrn r nE X X C E X E X? ? ? ? ?LL，其中 11 , 0 1, 1 .r r rC nr? ???? ?? 注 關(guān)于數(shù)列的 rC 不等式為 ? ?11r r rn r na a C a a? ? ? ? ?LL， 其中 rC 與引理 中的相同 .當(dāng)然，它可看作是引理 情形。具體結(jié)果表述為如下定理 : 定理 1)設(shè)存在 0r? 使 rnXX??? ,且 1 | ( ) ( ) |rnn E X X???? ? ? ?? () 則 ..( ) ( )asnXX????? () 2)如 ()式成立 ,且 nX 幾乎處處有界 ,即存在正數(shù) c ,使得 (| ( ) | ) 1nP X c? ?? () 則對(duì)任 0r? , ( ) ( )rnXX????? () 證明 :1)設(shè) ()式成立 ,往證 1( | ( ) ( ) | ) 1rnnP X X???? ? ? ? ?? () 用反證法 :若 ()式不成立 ,則必有 1( | ( ) ( ) | ) 0rnnP X X p??? ?? ? ? ? ?? () 定義事件 1{ | ( ) ( ) | }N rNniA X X? ? ??? ? ?? () 其中 0?? 為給定的數(shù)。 但是在特殊場(chǎng)合有下面結(jié)果：對(duì)于常數(shù) C，則 PnXC??? 與 LnXC??? 等價(jià)。 定義 （ 依分布收斂 ）設(shè)隨機(jī)變量 nX ,X 的分布函數(shù)分別為 ()nFx及 ()Fx。概率論中的重要概念 —— 概率的收斂性，尋找 概率收 斂中的隨機(jī)變量序列收斂性的相互性質(zhì)以及收斂性之間的相互關(guān)系， 弄清楚它們之間的關(guān)系在理論和應(yīng)用上都是很有意義的。 21 參考文獻(xiàn) 19 致 謝 19 四種收斂 蘊(yùn)涵關(guān)系 2 Abstract The Probability is the study of a large number of random phenomena emerge, but for a large number of random phenomena should use extreme methods described. Probability and statistics in the limit theorem is a sequence of random variables convergence, convergence of random variables with different definitions lead to different limit theorem, and indeed the convergence of random variables can have different definitions. Mainly discussed convergence in probability and convergence in distribution, convergence in order r and almost everywhere convergence, almost sure convergence and convergence in probability relationship. Convergence in probability is given by the launch of almost everywhere convergence of conditions and the convergence in probability by the introduction of rorder convergence conditions, which more pletely describes the various random variables convergence relationship. This paper will make the convergence of several random variables is more brief presentations and discussions. Paper is structured as follows: 1. Convergence of random variables the concept of theory。概率統(tǒng)計(jì)中的極限定理研究的是隨機(jī)變量序列的某種收斂性，對(duì)隨機(jī)變量收斂性不同定義將導(dǎo)致不同的極限定理，而隨機(jī)變量的收斂性的確可以有各種不同的定義。 almost everywhere or almost surely。則 2 1( 0) 0nEX n? ? ?，故 2lim 0 0nn EX?? ??，即 .. 0msnX ??? . 定義 (幾乎處處收斂 )如果 (lim ) 1nnP X X?? ?? 則稱 { nX }以概率 1收斂于 X ,又稱 { nX }必乎處處收斂于 X,并記為 ..asnXX??? . 5 例 設(shè) { nX ， 1n? }， ,XY是定義在 [0,1]上博 雷爾概率空 間 ( , , )FP? = ([0,1], [0,1], )FP上的隨機(jī)變量，滿足： [0,1]??? ， ( ) 1Y?? 。 例 nZ ， nY 的記號(hào)同林德伯格 萊維（ LindebergLevy）定理，令Z ~ 2(0,1)N ，則 LnZZ??? ，即 xR?? ，有 lim ( ) ( )nn P Z x x?? ? ? ?。 例 設(shè) 12, , ,X X X 為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量 ,公共的分布列為( 0) ( 1 ) 1 / X P X? ? ? ?顯然 : (n=1,2, )nX 與 X 的分布函數(shù)相同 ,故 { nX }依分布收斂 X. 但對(duì)于任意 0E1 和 0R12,對(duì)一切 n,有 ( ) ( 1 , 0) ( 0 , 1 )n n nP X X E P X X P X X? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 ) ( 0) ( 0 , 1 )nnP X P X P X X? ? ? ? ? ? 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2 .R? ? ? ? ? ? 可見 {}nX 不依概率收斂于 X . 同此可知 ,一般說來 ,并不能從隨機(jī)變量序列依分布收斂肯定其依概率收斂 ,但在特殊情形下 ,它卻是成立的 ,那就是下述定理 . 定理 隨機(jī)變量序列 { nX }依概率收斂于 X≡C(C 為常數(shù) )的充要條件是{ nX }依分布收斂于 X≡C. 那么 ,在一般情形 ,能不能適當(dāng)?shù)卦黾訔l件 ,使隨機(jī)變量序列依分布收斂能保證其依概率收斂呢 ?考察一下上述反例知 ,當(dāng)極限分布函數(shù)不連續(xù)時(shí)無法保證 ,但如果極限分布函 數(shù)連續(xù)呢 ?回答是肯定的 ,這就是本文的主要結(jié)果 . 定理 設(shè)分布函數(shù)列 { ()nFx}弱收斂于連續(xù)的分布函數(shù) ()Fx,則存在隨機(jī)變量序列 { nX }和隨機(jī)變量 X,它們分別以 { ()nFx}和 ()Fx為其對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)列和分布函數(shù) ,且 { nX }依概率收斂于 X. 定理的證明需用到下述引理 . 取 [0,1)?? ,再取 F 為 [0,1)中 Borel 點(diǎn)集全體 ,而 P 取直線上的 Lebesgue 測(cè)度 ,則 ( , , )FP? 構(gòu)成一概率空間 . 引理 在 ( , , )FP? 上定義 , ( )=X??, 0??? , 8 則 ()X? 是服從 [0,1)上均勻分布的隨機(jī)變量 ,且對(duì)任意 0, 1ab??,有 ( ( ) )P a X b b a?? ? ? ?. 證明 顯然 ()X? 是 ( , , )FP? 上的隨機(jī)變量 .又 當(dāng) 0x? 時(shí) ,有 ? ?( ( ) ) 0P X x P? ? ? ? ?。由數(shù)字分析知 ,收斂級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)趨于零 ,因此由 ()式得出 ( l im | ( ) ( ) | 0 ) 1rnnP X X??? ? ? 從而有 ( lim ( ) ( ) ) 1nnP X X???? ?? 2)由 ()、 ()式容易推出 (| ( ) |