【正文】 ucu ???? ?????? ??? ?2211ttpp cuLLL ???? ?????? )1( 221 ?() 54 若設 ?(L) ? 1 ?1 L ?2 L2 … ?p Lp ， 令 () 則 ?(z) 是一個關于 z的 p次多項式 ， AR(p) 模型平穩(wěn)的充要條件是 ?(z) 的根全部落在單位圓之外 。在上面 AR定義中，我們已見過這種方法的例子，這對 MA也同樣適用。 60 建立如下模型： t = 1, 2, ?, T 估計輸出結果顯示為： ttt usrcsr ??? ? 1?61 圖 藍線是上證股價指數(shù)變化率序列 sr，紅線是 AR(1)模型的擬合值 從圖 1991年～ 1994年之間變化很大 ， 而后逐漸變小 ， 基本在 3%上下波動 。含有 AR項的模型獨有的統(tǒng)計量是估計的 AR系數(shù)。 tt LcuL ?)()( ????67 4. ARMA(p,q)模型的估計選擇 EViews估計 AR模型采用非線性回歸方法 ， 對于 MA模型采取回推技術 (Box and Jenkins,1976)。 68 為控制 ARMA估計初值 ， 在方程定義對話框單擊Options。 69 為適當?shù)卦O置初值 ， 需對 EViews如何為 ARMA設置系數(shù)多些了解 。如果 r1 ? 0 ，意味著序列 ut 是一階自相關。 ?????????????????????qkqkkrqqkqkkkk00101221110 ???????????75 MA(q) 的偏自相關系數(shù)的具體形式隨著 q 的增加變得越來越復雜 ， 很難給出一個關于 q 的一般表達式 ， 但是 ， 一個 MA(q) 模型對應于一個AR(∞) 模型 。 所以 ， 可以考慮使用偏自相關系數(shù)?k,k， 以便更加全面的描述自相關過程 AR(p)的統(tǒng)計特征 。 因此 ， 在實際的模型識別中 ， 自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)只能作為模型識別過程中的一個參考 ， 并不能通過它們準確的識別模型的具體形式 。 因此，在實際建模中，可以借助 ARMA(p,q)模型去擬合一些具有平穩(wěn)性的經(jīng)濟變量的變化規(guī)律。 86 圖 中國 1978年～ 2020年的生產(chǎn)法 GDP序列 87 描述類似圖 法 ， 一種方法是包含一個確定性時間趨勢 () 其中 ut 是平穩(wěn)序列； a + ? t 是線性趨勢函數(shù) 。 若令 a = 0， y0=0， 則由式 ()生成的序列 yt， 有 var(yt) = t? 2（ t = 1, 2, ?, T） ， 顯然違背了時間序列平穩(wěn)性的假設 。 定義如下： 定義： 如果序列 yt ， 通過 d 次差分成為一個平穩(wěn)序列 ， 而這個序列差分 d – 1 次時卻不平穩(wěn) ， 那么稱序列 yt為 d 階單整序列 ， 記為 yt ～ I(d)。 ADF檢驗和 PP檢驗方法出現(xiàn)的比較早 ， 在實際應用中較為常見 ， 但是 ， 由于這 2種方法均需要對被檢驗序列作可能包含常數(shù)項和趨勢變量項的假設 ， 因此 ， 應用起來帶有一定的不便；其它幾種方法克服了前 2種方法帶來的不便 ， 在剔除原序列趨勢的基礎上 ， 構造統(tǒng)計量檢驗序列是否存在單位根 ， 應用起來較為方便 。 98 其中： ? =? 1， 所以原假設和備選假設可以改寫為 可以通過最小二乘法得到 ? 的估計值 ， 并對其進行顯著性檢驗的方法 ， 構造檢驗顯著性水平的 t 統(tǒng)計量 。 100 2. ADF檢驗 考慮 yt 存在 p階序列相關 ， 用 p階自回歸過程來修正 ， 在上式兩端減去 yt1， 通過添項和減項的方法 ， 可得 其中 tptpttt uyyyay ?????? ??? ??? ?2211tpiititt uyyay ???? ?????111 ΔΔ ??11?? ??pii?? ?????pijji1??101 ADF檢驗方法通過在回歸方程右邊加入因變量 yt 的滯后差分項來控制高階序列相關 tpiititt uyyy ??? ????11 ?? ??tpiititt uyayy ???? ????11 ?? ??tpiititt uytayy ????? ????11 ?? ???() () () 102 擴展定義將檢驗 () 原假設為：至少存在一個單位根；備選假設為：序列不存在單位根 。 在實際應用中 ， 還需要兼。如果序列存在高階滯后相關 ， 這就違背了擾動項是獨立同分布的假設 。 tttt uyyy ???? ? 1ttt uyy ???? )1( ?97 因此 ， 判斷一個序列是否平穩(wěn) ， 可以通過檢驗 ? 是否嚴格小于 1來實現(xiàn) 。 非平穩(wěn)序列的單位根檢驗 檢查序列平穩(wěn)性的標準方法是單位根檢驗 。 一個可行的辦法是先把一個非平穩(wěn)時間序列通過某種變換化成一個平穩(wěn)序列 ， 根據(jù) ， 并利用變量之間的相關信息 ， 描述經(jīng)濟時間序列的變化規(guī)律 。如果 yt 能夠通過去勢方法排除確定性趨勢，轉化為平穩(wěn)序列，稱為退勢平穩(wěn)過程。 非平穩(wěn)時間序列在各個時間點上的隨機規(guī)律是不同的 ， 難以通過序列已知的信息去掌握時間序列整體上的隨機性 。建模得到 t = () () R2= .= tttt uC P IC P IC P I 21 ??? ?? ???圖 左邊是 CPI序列的實際值和擬合值，右邊是殘差序列 83 由 圖 AR(1) 模型比較好的擬合了 CPI序列，回歸方程的殘差序列基本上也是一個零均值的平穩(wěn)序列。 80 4. 模型的識別與建立 我們引入了自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)這兩個統(tǒng)計量來識別 ARMA(p,q) 模型的系數(shù)特點和模型的階數(shù) 。 因此 ， 可以通過自相關系數(shù)來獲得一些有關 AR(p) 模型的信息 ， 如低階 AR(p) 模型系數(shù)符號的信息 。 ut與 ut+k 不相關 ， 這種性質通常稱為截尾 。 71 通常的， AR(p) 模型的自相關系數(shù)是隨著滯后階數(shù) k的增加而呈現(xiàn)指數(shù)衰減或者震蕩式的衰減，具體的衰減形式取決于 AR(p) 模型滯后項的系數(shù)。 在這個選項下 ， EViews使用系數(shù)向量 C中的值 。從前一步初值重新開始，使方程從中止處開始而不是從開始處開始。 我們利用滯后算子多項式寫一般的 ARMA模型： 如果 AR模型滯后多項式有實根或一對復根的倒數(shù)在單位圓外（即 絕對值大于 1，或 模大于 1），這意味著自回歸過程是 發(fā)散 的。 實際上 ， 通過利用滯后殘差的預測能力 ， 改善了無條件預測和殘差 。 一般來講 ， 股價指數(shù)序列并不是一個平穩(wěn)的序列 ， 而通過變換后的變化率數(shù)據(jù) ，是一個平穩(wěn)序列 ， 可以作為我們研究 、 建模的對象 。 可以看出 ARMA模型的平穩(wěn)性完全取決于自回歸模型的參數(shù) (?1 , ?2 ,… , ?p )， 而與移動平均模型參數(shù) (?1 , ?2 ,… , ?q )無關 。 ARMA模型的平穩(wěn)性 1. AR(p)模型的平穩(wěn)性條件 為了理解 AR(p)、 MA(q)和 ARMA(p,q)模型的理論結構 ，簡單的算子理論是必不可少的 。 167。 例如：將例 ， 估計如下帶有附加修正項 AR(3)的非線性方程： tcttt uGDPCSccCS ???? ? 2110 用公式法輸入： cs=c(1)+gdp^c(2)+c(3)*cs(1)+[ar(1)=c(4), ar(2)=c(5), ar(3)=c(6)] ttttt uuuu ???? ???? ??? 33221146 輸出結果顯示為： 47 167。 對于含有 AR項的模型 ， 基于殘差的回歸統(tǒng)計量 ， 如 R2 (回歸標準誤差 )和 DW值都是以一期向前預測誤差 為基礎的 。 而且從相關圖看到 ， 可以采用 AR(3) 模型來修正回歸方程的自相關性 。 34 我們可以將上述討論引申到更一般的情形：對于非線性形式為 f (xt , ? )的非線性模型， xt = {1, x1t , x2t ,…, xkt} ，? = {?0 , ?1 ,…, ?k }，若擾動項序列存在 p階序列相關， () () 也可用類似方法轉換成誤差項 ?t為白噪聲序列的非線性回歸方程 ， 以 p = 1為例 ， () 使用 GaussNewton算法來估計參數(shù) 。 下面將討論如何利用 AR(p) 模型修正擾動項的序列相關 ， 以及用什么方法來估計消除擾動項后方程的未知參數(shù) 。這里采用 LM 統(tǒng)計量進行檢驗 (p=2)， 得到結果如下 ： LM統(tǒng)計量顯示 ， 回歸方程的殘差序列存在明顯的序列相關性 。 ktktttt xxxye ???? ???? 22110 ?????? ?tptpttt veee ????? ?? ??? ?11X23 在給定的顯著性水平下 ， 如果這兩個統(tǒng)計量小于設定顯著性水平下的臨界值 ， 說明序列在設定的顯著性水平下不存在序列相關；反之 ， 如果這兩個統(tǒng)計量大于設定顯著性水平下的臨界值 ， 則說明序列存在序列相關性 。 選擇 View/Residual test/CorrelogramQstatistice會產(chǎn)生如下結果： 21 3 . 序列相關的 LM檢驗 與 不同， BreushGodfrey LM檢驗（ Lagrange multiplier，即拉格朗日乘數(shù)檢驗）也可應用于檢驗回歸方程的殘差序列是否存在高階自相關，而且在方程中存在滯后因變量的情況下， LM檢驗仍然有效。 18 例 : 利用相關圖檢驗殘差序列的相關性 考慮美國的一個投資方程。 在實際的檢驗中 ，通常會計算出不同滯后階數(shù)的 Q統(tǒng)計量 、 自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù) 。 在 k階滯后下估計偏相關系數(shù)的計算公式如下 （ ） 其中： rk 是在 k階滯后時的自相關系數(shù)估計值 。 3． 僅僅檢驗是否存在一階序列相關 。 1． D_W統(tǒng)計量檢驗 DurbinWat