【正文】 因此 , ARCH 模型 不能很好地擬合非線性的情況 . 4) 條件方差 2th 只與 2tia? 有關(guān) , 而與 tia? 的正負無關(guān) . 實際 上 , 條件方差 2th 還取決于tia? 的符號的正負 , 如金融產(chǎn)品的當前收益變化與未來波動呈負相關(guān) . GARCH 模型 傳統(tǒng)計量經(jīng)濟模型假 設(shè) 金融時間序列的樣本方差為恒定常數(shù)，盡管 ARCR(r)模型擺脫了 這種“同方差”的限制 , 使“異方差”成為可能 , 但在實際 研究 中為了 使 擬合效果更好 , 需要的階數(shù) r .?? 于是 , 當 ARCH 模型的階數(shù)過高時可以在式 ()右邊加入過去的條件方差項 , 就得到廣義自回歸條件異方差模型 (generalized autoregressive conditional heteroskedasticity, GARCH), 該模型是由 [5 ]Bollersive(1986)提出的 . GARCH模型的條件方差 2th 不僅與 滯后項 的殘差項 2tia? 有關(guān) , 而且也 與 滯后項 的條件方差 2tjh? 有關(guān) . GARCH 模型的定義 對于序列 {}ta 如果 1|t t t tah??? ? , () 2 2 20 11rst i t i j t jijh a h? ? ?????? ? ??? , () iiN(0,1)t?～ . () 則稱序列 {}ta 是一個 GARCH(r, s)序列 (過程 ), 式 ()～ ()稱為 GARCH(r, s)模型 . 由于 2,tia? 2tjh? 的非負性 , 一般要求 0 0?? , 0,i?? 0( 0,j i? ?? 0)j? , 以保證條件方差為正 . GARCH(1, 1)模型 GARCH(1, 1)模型 雖然 形式 簡單 , 但它在金融學領(lǐng)域中 有著廣泛的應(yīng)用 . 數(shù)學與統(tǒng)計學院 2020 屆畢業(yè)論文 6 GARCH(1, 1)模型可表示為： 1|t t t tah??? ? , () 2 2 20 1 1 1 1t t th a h? ? ???? ? ? , () ? ?iiN 0,1t?～ . () 其中 ? ?iiN 0,1t?～ 表示獨立同標準正 態(tài) 分布 , 參數(shù)滿足條件 0 0?? , 1 0?? , 1 0?? . 1|tta ?? ～ GARCH(1, 1)是平穩(wěn)序列的充要條件是 11??? ? 1. GARCH 模型的特點 1) 與 ARCH 模型相比 , 可 用低階的 GARCH 模型 代替高階的 ARCH 模型 , 從而使模型的 診斷 與 參數(shù) 估計都變得 較為容易 . 2) GARCH 模型 除了具有 ARCH 模型的優(yōu)點外 , 還 在解釋金融時間序列的波動 性 以及建模方面 具 有較強的優(yōu)勢 . GARCH(r, s)模型的不足 GARCH模型與 ARCH模型相比 , 雖然 適用性較強 , 但 GARCH(r, s)模型用于資產(chǎn)評估時存在一些不足： 1) 股票收益和收益變化波動之間 有時 呈現(xiàn) 出 負相關(guān)現(xiàn)象 , 但這種現(xiàn)象 無法 用GARCH 模型 來 解釋 , 從條件方差方程式 ()易知 , 殘差符號對波動無影響 , 即條件方差對正的收益變化和負的收益變化的反應(yīng)是對 稱 的 . 但是 , 大量的實際研究表明 ,當出現(xiàn)好消息時 , 波動趨向于減小 , 當出現(xiàn)利空消息時 , 波動趨向于增大 . 而 GARCH(r, s)模型無法解釋 這種非對稱現(xiàn)象 . 2) 條件方差方程中 假設(shè)所有系數(shù)均 為 非負 , 這些 限制 暗含 2ta 的任何滯后項都會 使2th 增大 , 因而排除了 2th 的隨機波動 性 . ARCH模型的其它拓廣 EGARCH 模型 對實際 金融時間序列數(shù)據(jù) 的 研究發(fā)現(xiàn) , 其分布較正態(tài)分布而言具有 “ 尖峰 厚 尾 ” 性的分布特征 . 用 GARCH 模型刻劃這種現(xiàn)象較為合適 , 但由于 GARCH 模型假設(shè)條件 方差是滯后 殘差平方 和滯后條件方差 的函數(shù) , 因此 , 殘差 符號對波動無影響 , 即條件方差對正的收益變化和負的收益變化 的反應(yīng)是對稱的 . 然而大量對金融時間序列的研究結(jié)果數(shù)學與統(tǒng)計學院 2020 屆畢業(yè)論文 7 表明 , 當出現(xiàn)利空消息時 , 波動趨于增大；當出現(xiàn) 利空 消息時 , 波動趨于減小 , 為了測試這種現(xiàn)象 , Engle 和 Ng 于 1933 年 給出了一種不對稱的消息沖擊曲線 , 見圖 2. 1. 為了擬合資產(chǎn)收益中的杠桿效應(yīng) , [6]Nelson(1991) 提出了指數(shù) GARCH(exponential GARCH, EGARCH)模型 , 其條件方差方程為： 220 11l n ( ) ( ) l n ( )qqt i t i j t jijh g h? ? ? ?????? ? ??? , () 其中 ( ) { | | ( | |) }t t t tgE? ?? ? ? ?? ? ? , () t t tah?? . () 目前 EGARCH 模型的條件方差方程表達式不唯一 , 本文采用較常用的形式： 220 2211l n ( ) l n ( ) ( )sr t i t it j t j i ijit i t iaahhhh? ? ? ??????? ? ? ??? . () TARCH 模型 考慮到正 tia? 與負 tia? 對時間序列 ta 的條件方差 2th 有不對稱影響 , 于是由 Glsoten、Jagannathan、 runkle(1992)和 Rabermannanjara、 Zakoian(1993)提出了 TGARCH(threshold ARCH)模型 , 該模型 主要用于分析金融資產(chǎn)的“杠桿效應(yīng)” , 即金融資產(chǎn)的波動率對 利空消息 的反應(yīng)比對 利好消息 的反應(yīng)更加迅速 . 考慮 TGARCH(1, 1)模型 , 其條件方差方數(shù)學與統(tǒng)計學院 2020 屆畢業(yè)論文 8 程表達式為 2 2 2 20 1 1 1 1 1 1t t t t th a I a h? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? , () 其中 , 1tI? 為示性變量 1tI? =1 ( 1 0ta? ? ） , () 1 0tI? ? ( 1 0ta? ? ） . () 在式 ()中 211ttaI? ??項被稱為 TGARCH 項 , 條件方差 2th 依賴于 滯后 的殘差平方 21ta? 和條件方差 21th? 的大小 , 式 ()表明 利空消息 和 利好消息 對金融資產(chǎn)波動率的的影響是不 對稱 的 . 利空消息 ( 1 0ta? ? )對條件方差有 ( 0??? )倍的沖擊 , 而 利好消息 ( 1 0ta? ? )對方差只有 ( 0? )倍的沖擊 . 當 ? 0 時 , 負的 1ta? 對波動有更大的影響 , 說明杠桿效應(yīng) 存在 . 上面所討論的是一階 TGARCH 模型 , 它還可以擴展為高階模型： 2 2 2 201 1 1r s mt i t i j t j k t k t ki j kh a h I a? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? . () 數(shù)學與統(tǒng)計學院 2020 屆畢業(yè)論文 9 3. 滬市股價指數(shù)收益率的基本統(tǒng)計分析和檢驗 3. 1 收益率的描述性統(tǒng)計分析 下面對上證綜指的日收益率序列建立 GARCH 模型 , 估計其條件方差序列并分析動態(tài)風險波動特性 . 樣本期從 2000 年 1 月 4 日至 2020 年 11 月 30 日的上證綜指的收盤價格 , 共 1905個交易日 . 數(shù)據(jù)來源于和迅股道信息平臺 , 以 相鄰 兩個指數(shù) 在 1905個交易日的日收盤指數(shù)為基本的分析數(shù)據(jù) , 并以 tP 作為第 t 日的股票收盤指數(shù) , 本文所有檢驗均由 [7] 軟件實現(xiàn) . 研究股票市場的波動特性 , 以股票市場的日收益率作為研究變量 , 股價指數(shù)的日收益率用相鄰兩日收盤指數(shù)對數(shù)的一階差分來表示 , 并用 tR 來表示 , 計算公式為： 1ln( ) ln( )t t tR P P ???, 其中 tP 為第 t 日的收盤指數(shù) , 1tP? 為第 1t? 日的收盤指數(shù) , tR 為第 t 日股價指數(shù)的日收益率 . 日收益率 指數(shù) tR 組成新的樣本 序列 . 對序列 tR 進行基本的統(tǒng)計分析 , 得到日收益率的描述性統(tǒng)計分析結(jié)果 , 見圖 3. 1. 圖 3. 1 上證綜合指數(shù)日收益率序列分布圖 由 圖 3. 1 可知 , 樣本期內(nèi)上證綜指 日收益率 tR 的均值為 %, 偏度為 , 表明收益率明顯右偏；峰度為 , 遠大于正態(tài)分布的峰度值 3, 表現(xiàn)出過度峰度 , 數(shù)學與統(tǒng)計學院 2020 屆畢業(yè)論文 10 說明收益率的分布與正態(tài)分布相比呈現(xiàn)出“尖峰 厚 尾”的分布特征 , 反映出股市存在暴跌暴漲現(xiàn)象； JarqueBera 正態(tài)性檢驗也證實了這一點 , 統(tǒng)計量為 , 收益率序列服從正態(tài)分布的概率幾乎為零 , 從而拒絕收益率 序列 tR 服從正態(tài) 分布的原假設(shè) . 3. 2 平穩(wěn)性檢驗 為了進一步研究收益 率 tR 的平穩(wěn)性 , 對樣本日收益率序列進行單位根檢驗 (采用Augmented DickyFuller), 檢驗結(jié)果 見表 3. 1. 表 3. 1 上證綜指日收益率序列平穩(wěn)性檢驗 在 1%的顯著性水平下 , 上證綜指 日收益率 tR 的 ADF 檢驗 t 統(tǒng)計量的值為 , 遠小于 MacKinnon 臨界值 , 從而拒絕日收益率序列是隨機游走 的假設(shè) , 即上證綜指 日收益率序列不存在單位根 , 是平穩(wěn)序列 . 這一結(jié)果與國外學者對發(fā)達股市的研究結(jié)果是一致的 , Pagan 與 Bollerslev 分別于 1996 年和 1994 年指出 , 金融資產(chǎn)的價格一般是非平穩(wěn)的 , 經(jīng)常會出現(xiàn)一個單位根 (或隨機游走 ), 而 日 收益率序列通常是平穩(wěn) 的 . 3. 3 自相關(guān)檢驗 對收益率序列 tR 作自相關(guān)檢驗 , 選擇最大滯后階數(shù)為 15, 檢驗結(jié)果 見 圖 3. 2. 圖 3. 2 收益率序列 tR 相關(guān)性分析 數(shù)學與統(tǒng)計學院 2020 屆畢業(yè)論文 11 從 圖 3. 2 容易看出收益率序列 tR 不存在 顯著 的自相關(guān)與偏自相關(guān)問題 , 因此均值方程 中不需要自相關(guān) 描述部分 . 對收益率的平方序列 2tR 作自相關(guān)檢驗 , 最大滯后階數(shù)選為 15, 檢驗結(jié)果 見 圖 3. 3. 圖 3. 3 收益率的 平方序列 2tR 相關(guān)性分析 由圖 3. 3 可知 , 2tR 與它滯后一階的自相關(guān)系數(shù)為 0. 116, 滯后二、三、八、十四階的自相關(guān)系數(shù)依次為 0. 11 0. 14 0. 10 0. 139, 表明 2tR 存在 明顯 的自相關(guān) . 3. 4 ARCH效應(yīng)的檢驗 上證綜合指數(shù) 日收益率的時間序列 見 圖 3. 4. 圖 3. 4 上證綜合指數(shù)日收益率的時間序列圖 數(shù)學與統(tǒng)計學院 2020 屆畢業(yè)論文 12 從收益率的時間序列 圖 3. 4 可知 , 上證綜合指數(shù)日收益率的波動很大 , 且呈現(xiàn)出明顯的波動聚集性 (volatility clustering)效應(yīng) , 即大的波動后面傾向于跟隨較大的波動 , 小的波動后 面傾向于跟隨較小的波動 。 條件異方差 。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外 , 不包含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的科研成果。 而在牛市 , 利好消息產(chǎn)生的波動要比同等大小的利空消息產(chǎn)生的波動大 . 研究目的 : 我國股市自誕生以來 一直就表現(xiàn)出很大的不穩(wěn)定性 . 基于解決實際問題的需要 , 很多學者對 我國股市波動特性以及變化規(guī)律 進行了大量研究 . 然而 , 有關(guān) 股價數(shù)學與統(tǒng)計學院 2020 屆畢業(yè)論文 2 格波動 特性 的 大 多 研究 基本上屬于定性分析 , 而沒有進行定量分析 。 同時 , 利空消息引起的波動 比 同等 程度 的利 好消息引起的波動要大 . 數(shù)學