【正文】 （ x） +1，可得 g′（ x） = ＜ 0，函數(shù) g（ x）在 R 單調(diào)遞減，利用其單調(diào)性即可得出． 【解答】 解：構(gòu)造函數(shù)： g（ x） = ， g（ 0） = =﹣ 1． ∵ 對(duì)任意 x∈ R，都有 f（ x） ＞ f39。（ x） +1，則使得 f（ x） +ex＜ 1 成立的 x 的取值范圍為（ ） A．（ 0， +∞ ） B．（﹣ ∞ ， 0） C．（﹣ 1， +∞ ） D．（﹣ ∞ ， 1） 二、填空題：本大題共 4小題，每小題 5分，共 20分，把答案填在答題卷的橫線上 .. 13．（ x+y） 5的展開式中， x3y3的系數(shù)為 ． 14．若 x， y 滿足約束條件 ，則 z=x﹣ 2y 的最大值為 ． 15． △ ABC 的內(nèi)角 A， B， C 的對(duì)邊分別為 a， b， c，若 = ，則 的取值范圍是 ． 16．如圖，在菱形 ABCD 中， M 為 AC 與 BD 的交點(diǎn)， ∠ BAD= ， AB=3，將△ CBD 沿 BD 折起到 △ C1BD 的位置，若點(diǎn) A， B， D， C1都在球 O 的球面上，且球 O 的表面積為 16π，則直線 C1M 與平面 ABD 所成角的正弦值為 ． 三、解答題：本大題共 5小題，滿分 60分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 17．（ 12 分）已知數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和 ，其中 k 為常數(shù)， a1， a4， a13成等比數(shù)列． （ 1）求 k 的值及數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式； （ 2）設(shè) ，數(shù)列 {bn}的 前 n 項(xiàng)和為 Tn，證明： ． 18．（ 12 分）某企業(yè)有甲乙兩個(gè)分廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，按規(guī)定該產(chǎn)品的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在 [45， 75）的為優(yōu)質(zhì)品，從兩個(gè)分廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中個(gè)隨機(jī)抽取 500 件，測(cè)量這些產(chǎn)品的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，結(jié)果如表： 分組 [25， [35， [4， 55） [55， 65） [65， 75） [75， [85， 35） 45） 85） 95） 甲廠頻數(shù) 10 40 115 165 120 45 5 乙廠頻數(shù) 5 60 110 160 90 70 5 （ 1）根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面 2 2 列聯(lián)表，并回答是否有 99%的把握認(rèn)為：“兩個(gè)分廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量有差異 ”？ （ 2）求優(yōu)質(zhì)品率較高的分廠的 500 件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù) （同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表） （ 3）經(jīng)計(jì)算，甲分廠的 500 件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差 s2=142，乙分廠的 500件差評(píng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差 s2=162，可認(rèn)為優(yōu)質(zhì)品率較高的分廠的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值 X 服從正態(tài)分布 N（ μ， σ2），其中 μ 近似為樣本平均數(shù) ， σ2近似為樣本方差 s2，由優(yōu)質(zhì)品率較高的廠的抽樣數(shù)據(jù)，能夠認(rèn)為該分廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的產(chǎn)品中，質(zhì)量指標(biāo)值不低于 的產(chǎn)品至少占全部產(chǎn)品的 18%？ 附注： 參考數(shù)據(jù)： ≈ ， ≈ 參考公式： k2= P（ μ﹣ 2σ＜ x＜ μ+2σ） =， P（ μ﹣ 3σ＜ x＜ μ+3σ） =． P（ k2≥ k） h 19．（ 12 分）如圖，在圓柱 OO1中，矩形 ABB1A1是過 OO1的截面 CC1是圓柱OO1的母線， AB=2， AA1=3， ∠ CAB= ． （ 1）證明： AC1∥ 平面 COB1； （ 2）在圓 O 所在的平面上，點(diǎn) C 關(guān)于直線 AB 的對(duì)稱點(diǎn)為 D，求二面角 D﹣ B1C﹣ B 的余 弦值． 20．（ 12 分）已知曲線 E： =1（ a＞ b， a≠ 1）上兩點(diǎn) A（ x1， y1）， B（ x2， y2）（ x1≠ x2）． （ 1）若點(diǎn) A， B 均在直線 y=2x+1 上，且線段 AB 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣ ，求 a 的值； （ 2）記 ，若 為坐標(biāo)原點(diǎn)，試探求 △ OAB 的面積是否為定值？若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由． 21．（ 12 分）已知函數(shù) f（ x） =2x3﹣ 3x2+1， g（ x） =kx+1﹣ lnx． （ 1）若過點(diǎn) P（ a，﹣ 4）恰有兩條直線與曲線 y=f（ x）相切，求 a 的值； （ 2）用 min{p， q}表示 p， q 中的最小值，設(shè)函 數(shù) h（ x） =min{f（ x）， g（ x） }（ x＞ 0），若 h（ x）恰有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍． [選修 44 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 ] 22．（ 10 分）在直角坐標(biāo)系 xOy 中，圓 C 的方程為（ x﹣ 1） 2+（ y﹣ 1） 2=2，在以坐標(biāo)原點(diǎn) O 為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線 l 的極坐標(biāo)方程為． （ 1）寫出圓 C 的參數(shù)方程和直線 l 的普通方程； （ 2）設(shè)點(diǎn) P 為圓 C 上的任一點(diǎn)，求點(diǎn) P 到直線 l 距離的取值范圍． [選修 45 不等式選講 ] 23．已知函數(shù) f（ x） =|x﹣ 4|+|x﹣ 2|． （ 1）求不等式 f（ x） ＞ 2 的解 集； （ 2）設(shè) f（ x）的最小值為 M，若 2x+a≥ M 的解集包含 [0， 1]，求 a 的取值范圍． 2017 年福建省莆田市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共 12 個(gè)小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1．已知集合 A={x|x2﹣ 6x+5≤ 0}， B={x|y=log2（ x﹣ 2） }，則 A∩ B=（ ） A．（ 1， 2） B． [1， 2） C．（ 2， 5] D． [2， 5] 【考點(diǎn)】 交集及其運(yùn)算． 【分析】 求出 A 中不等式的解集確定出 A，求出 B 中 x 的范圍確定出 B，找出A 與 B 的交集即可． 【解答】 解：由 A 中不等式變形得：（ x﹣ 1）（ x﹣ 5） ≤ 0， 解得： 1≤ x≤ 5，即 A=[1， 5]， 由 B 中 y=log2（ x﹣ 2），得到 x﹣ 2＞ 0， 解得： x＞ 2，即 B=（ 2， +∞ ）， 則 A∩ B=（ 2， 5]， 故選： C． 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵． 2．設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足（ 1﹣ i） z=3+i，則 z=（ ） A． 1+2i B． 2+2i C． 2﹣ i D． 1+i 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算． 【分析】 利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的意 義即可得出． 【解答】 解： ∵ （ 1﹣ i） z=3+i， ∴ （ 1+i）（ 1﹣ i） z=（ 3+i）（ 1+i），化為： 2z=2+4i，即 z=1+2i． 故選： A． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題． 3．設(shè) a 為實(shí)數(shù)，直線 l1： ax+y=1， l2： x+ay=2a，則 “a=﹣ 1”是 “l(fā)1∥ l2”的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也必要條件 【考點(diǎn)】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷． 【分析】 根據(jù)充分必要條件的定義，結(jié)合 直線平行的性質(zhì)及判定分別進(jìn)行判斷即可． 【解答】 解： l1∥ l2”得到： a2﹣ 1=0，解得： a=﹣ 1 或 a=1， 所以應(yīng)是充分不必要條件． 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了充分必要條件，考查直線平行的充要條件，是一道基礎(chǔ)題． 4．已知函數(shù) f（ x）是定義在 R 上的奇函數(shù)，當(dāng) x＞ 0 時(shí)， f（ x） =2x，則 f（﹣ 2）=（ ） A． B．﹣ 4 C．﹣ D． 4 【考點(diǎn)】 函數(shù)奇偶性的性質(zhì)． 【分析】 依題意首先把 x＜ 0 時(shí)，函數(shù)的解析式求出．再把 x=﹣ 2 代入函數(shù)式得出答案． 【解答】 解：設(shè) x＜ 0，因?yàn)楹瘮?shù) f（ x）是定義在 R 上 的奇函數(shù)， ∴ f（﹣ x） =﹣ f[﹣（﹣ x） ]=﹣ 2﹣（﹣ x） ∴ 當(dāng) x＜ 0 時(shí)，函數(shù)的解析式為 f（ x） =﹣ 2﹣ x ∴ f（﹣ 2） =﹣ 2﹣（﹣ 2） =﹣ 4 故選 B． 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查函數(shù)的奇偶性問題．此類問題通常先求出函數(shù)的解析式． 5．我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有如下的問題： “今有方物一束，外周有三十二枚，問積幾何？ ”設(shè)每層外周枚數(shù)為 a，如圖是解決該問題的程序框圖，則輸出的結(jié)果為（ ） A