反證法(2)-免費(fèi)閱讀
【正文】 1。 ② 由假設(shè)結(jié)論 q 不成立 , 得到結(jié)論 q 成立 。 逆命題 : 若 q, 則 p。 否命題 : 若 ?p, 則 ?q。 ③ 由假設(shè)結(jié)論 q 不成立 , 得到一個(gè)恒假命題 。 2 m f(1)0. 或 1≤ ≤1。 2 m f(1)0. △ ≥ 0。 ④ 結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體或更易于證明 . 原結(jié)論詞 大于 () 小于 () 都是 都不是 至少 n 個(gè) 至多 n 個(gè) 反設(shè)詞 不大于 (≤) 不小于 (≥) 不都是 至少有一個(gè)是 至多 n1 個(gè) 至少 n+1 個(gè) 原結(jié)論詞 有無窮多個(gè) 存在唯一的 對(duì)任意 x, 使 ? 恒成立 反設(shè)詞 只有有限多個(gè) 不存在或至少存在兩個(gè) 至少有一個(gè) x, 使 ? 不成立 ① 由假設(shè)結(jié)論 q 不成立 , 得到條件 p 不成立 。 “p 且 q”形式的復(fù)合命題當(dāng) p 與 q同時(shí)為真時(shí)為真 , 其它情形為假 . p 非 p 真 假 假 真 p q p 或 q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 p q p 且 q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 二、命題的四種形式 逆否命題 : 若 ?q, 則 ?p. 原命題 : 若 p, 則 q。 互逆 互逆 互 否 互 否 否命題 若 ?p 則 ?q 逆否命題 若 ?q 則 ?p 原命題 若 p 則 q 逆命題 若 q 則 p 互 為 逆 否 否 逆 為 互 注 : 互為逆否命題的兩個(gè)命題同真假 . 三、反證法 ① 反設(shè) : 假設(shè)命題的結(jié)論不成立 , 即假設(shè)結(jié)論的反面成立 。 ④ 分別由假設(shè)與條件推得的兩個(gè)結(jié)論矛盾 . 典型例題 用反證法證明下列各題 : 49 位學(xué)生 , 證明 : 至少有 5 位學(xué)生的生日同月 . f(x)=x2+ax+b, 求證 : |f(1)|、 |f(2)|、 |f(3)| 中至少有一個(gè)不小于 . 1 2 a, b, c 滿足條件 + + =2, 求證 : a, b, c 中至少有兩個(gè)不小于 1. b 1 a 1 c 1 p1p2=2(q1+q2), 證明關(guān)于 x 的方程 x2+p1x+q1=0 與 x2+p2x+ q2=0 中 , 至少有一個(gè)方程有實(shí)根 . 證 : 假設(shè)至多有 4 位學(xué)生的生日同月 , 即 : 生日在 1, 2, ? , 12 月的學(xué)生人數(shù)都不超過 4 人 . 則該班學(xué)生總數(shù) m≤4?12=48人 , 與該班有 49 位學(xué)生的條件矛盾 , ∴ 假設(shè)不成立 . ∴ 至少有 5 位學(xué)生的生日同月 . 49 位學(xué)生 , 證明 : 至少有 5 位學(xué)生的生日同月 . 證 : 假設(shè)這兩個(gè)方程都沒有實(shí)根 , 則 △ 10 且 △ 20, 從而有 : △ 1+△ 20. 又 ∵ △ 1+△ 2=(p124q1)+(p224q2)=p12+p224(q1+q2) =p12+p222p1p2=(p1p2)2≥0, 與 △ 1+△ 20 矛盾 . 即 △ 1+△ 2≥0, ∴ 假設(shè)不成立 . 故這兩個(gè)方程至少有一個(gè)有實(shí)根 . p1p2=2(q1+q2), 證明關(guān)于 x 的方程 x2+p1x+q1=0 與 x2+p2x+ q2=0 中 , 至少有一個(gè)方程有實(shí)根 . 證 : 假設(shè) |f(1)|、 |f(2)|、 |f(3)| 全小于 , 即 : 1 2 1+a+b 1 2 1 2 4+2a+b ? 1 2 1 2 9+3a+b 1 2 1 2 a+b ① 3 2 1 2 2a+b ② 9 2 7 2 3a+b ③ 2 19 2 17 3 2 1 2 由①式得 ab , 與 ② 式相加得 4a2 ④ 與③式相加得 6a4 ⑤ 9 2 7 2 由②式得 2ab , 顯然④與⑤矛盾 , ∴ 假設(shè)不成立 . 故 |f(1)|、 |f(2)|、 |f(3)| 中至少有一個(gè)不小于 . 1
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