【正文】 CB→＝ 18. 即 ab c os C ＝ 18 ， ab ＝ 36. 由余弦定理得 c2＝ a2＋ b2－ 2 ab c os C ＝ ( a ＋ b )2－ 3 ab ∴ c2＝ 4 c2－ 3 36 ， c2＝ 36. ∴ c ＝ 6. 規(guī)律技巧提煉 第 8 講 │ 規(guī)律技巧提煉 1 ．向量本身具有數(shù)和形的雙重身份，解題時應(yīng)充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法，應(yīng)用三角形法則時，要注意和向量與差向量的方向性，數(shù)量積為 “ 向量 ” 與 “ 數(shù)量 ” 之間架起了橋梁，注意體會向量的工具性作用． 2 ．三角形與向量的聯(lián)系： ( 1) G 是 △ ABC 的重心 ? PG→＝13( PA→＋ PB→＋ PC→) ，特別地， P是 △ ABC 的重心 ? PA→＋ PB→＋ PC→＝ 0. ( 2) P 是 △ ABC 的垂心 ? PA→ c ＝ 0 ， 即 4s in ( α ＋ β ) － 8c os ( α ＋ β ) ＝ 0 ， t an ( α ＋ β ) ＝ 2 ； ( 2) b ＋ c ＝ ( s in β ＋ c os β ， 4c os β － 4s in β ) | b ＋ c |2＝ s in2β ＋ 2s in β c os β ＋ c os2β ＋ 16c os2β －32c os β s in β ＋ 16s in2β ＝ 17 － 30s in β c os β ＝ 17 － 15s in 2 β ，最大值為 32 ， 所以 | b ＋ c |的最大值為 4 2 . ( 3) 由 t an α t an β ＝ 16 得 s in α s in β ＝ 16c os α c os β ， 即 4c os α － α ? ＝－12x ＋ y . ∴ x ＋ y ＝ 2 [ c os α ＋ c os ( 120176。 安徽卷理 ] 給定兩個長度為 1 的平面向量 OA→ 和 OB→ ， 它們的夾角為 120 176。 c ＝ c os x s in x ＋ 2c os x s in α ＋ s in x c os x ＋ 2s in x c os α ＝ 2s in x c os x ＋ 2 ( s in x ＋ c os x ) ． 令 t ＝ s in x ＋ c os x??????π4 x π ，則 2s in x c os x ＝ t2－ 1 ，且－ 1 t 2 . 則 y ＝ f ( x ) ＝ t2＋ 2 t － 1 ＝????????t ＋222－32，－ 1 t 2 . ∴ t ＝－22時， ym i n＝－32，此時 s in x ＋ c os x ＝－22. 由于π4 x π ，故 x ＝1 1π12. 所以函數(shù) f ( x ) 的最小值為－32，相應(yīng) x 的值為1 1π12. 第 8 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ( 2) ∵ a 與 b 的夾角為π3， ∴ c osπ3＝a PA→得 P 是三角形的垂心． 第 8 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【試題評價】 試題以考生熟悉的平面幾何知識為載體，通過用向量語言和方法表述，使幾何與代數(shù)溝通，在問題的求解過程中體會向量是一種處理幾何問題的工具，理解向量及其運(yùn)算的意義，考查考生的運(yùn)算能力和解決問題的能力，體現(xiàn)了《課程標(biāo)準(zhǔn)》對平面向量的基本要求． 【點(diǎn)評】 對重心的推理判斷屬于向量的平行問題，涉及了向量的數(shù)乘運(yùn)算，對垂心的推理判斷屬于向量的垂直問題，涉及了向量的數(shù)量積運(yùn)算． 第 8 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 [ 2009 PC→＝ PC→山東卷 ] 定義平面向量之間的一種運(yùn)算“ ⊙ ” 如下，對任意的 a ＝ ( m ， n ) ， b ＝ ( p ， q ) ，令 a ⊙b ＝ mq － np ，下面說法錯誤的是 ( ) A ．若 a 與 b 共線，則 a ⊙ b ＝ 0 B ． a ⊙ b ＝ b ⊙ a C ．對任意的 λ ∈ R ，有 ( λa ) ⊙ b ＝ λ ( a ⊙ b ) D ． ( a ⊙ b )2＋ ( ab )2＝ | a |2| b |2 第 8 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ( 1) B ( 2) B 【解析】 ( 1) |2 a － b |＝ ? 2 a － b ?2＝ 4 a2－ 4 a b| a | ( s in A ＋ 3 c os A ) －32＝ 0. 所以1 － c os 2 A2＋32s in 2 A －32＝ 0 ， 即32s in 2 A －12c os 2 A ＝ 1 ，即 s in （ 2 A －π6） ＝ 1. 因?yàn)?A ∈ (0 ， π) ，所以 2 A －π6∈ （ －π6，1 1π6） . 故 2 A －π6＝π2， A ＝π3. 第 7講 │ 教師備用習(xí)題 ( 2) 由余弦定理，得 4 ＝ b2＋ c2－ bc . 又 S △AB C＝12bc s in A ＝34bc ， 而 b2＋ c2≥ 2 bc ? bc ＋ 4 ≥ 2 bc ? bc ≤ 4 ， ( 當(dāng)且僅當(dāng) b ＝ c 時等號成立 ) 所以 S △ABC＝12bc s in A ＝34bc ≤34 4 ＝ 3 . 當(dāng) △ ABC 的面積取最大值時， b ＝ c . 又 A ＝π3， 故此時 △ ABC 為等邊三角形． 規(guī)律技巧提煉 第 7講 │ 規(guī)律技巧提煉 1 ．三角函數(shù)恒等變換一般遵循：從函數(shù)名、角、運(yùn)算三方面進(jìn)行差異分析，再利用三角公式使異角化同角，異名化同名，高次化低次等，體現(xiàn)統(tǒng)一的思想． 2 ．三角函數(shù)恒等變換的基本策略： ( 1) 常值代換：特別是 “1” 的代換， 1 ＝ s in2θ ＋ c os2θ ＝ t an 45 176。 ＋ B ) ． 故當(dāng) B ＝ 30176。 ＋ 1s in 70176。 2 c os 20176。 ＝c os 40176。 ＋ s in 50176。 β ≠ k π177。 α ， k ∈ Z 的三角函數(shù)值 ”與 “ α 角的三角函數(shù)值 ” 的關(guān)系可按下面口訣記憶：有奇變偶不變，符號看象限． ( 對于 k π2177。天津卷 ] 如圖 2 － 6 － 2 所示的是函數(shù) y ＝ A s in ( ωx ＋ φ )( x ∈ R)在區(qū)間 [ －π6，5π6] 上的圖象，為了得到這個函數(shù)的圖象，只要將 y ＝s in x ( x ∈ R) 的圖象上所有的點(diǎn) ( ) 圖 2－ 6－ 2 第 6講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 A ．向左平移π3個單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的12倍，縱坐標(biāo)不變 B ．向左平移π3個單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的 2 倍，縱坐標(biāo)不變 C ．向左平移π6個單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的12倍，縱坐標(biāo)不變 D ．向左平移π6個單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的 2 倍，縱坐標(biāo)不變 第 6講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ( 2) [ 2010 本課件為 “ 逐字編輯 ” 課件，使用時欲修改課件，請雙擊對應(yīng)內(nèi)容，即可進(jìn)入可編輯狀態(tài)。 遼寧卷 ] 設(shè) ω 0 ，函數(shù) y ＝ s i n ( ωx ＋π3) ＋ 2的圖象向右平移4π3個單位后與原圖象重合，則 ω 的最小值是 ( ) A.23 B .43 C .32 D ． 3 第 6講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ( 1) A ( 2) C 【解析】 ( 1) 由給出的三角函數(shù)圖象知，A ＝ 1 ，2πω＝ π ，解得 ω ＝ 2 ，又 2 ( －π6) ＋ φ ＝ 0 ，所以 φ ＝π3，即原函數(shù)解析式為 y ＝ s in ( 2 x ＋π3) ，所以只要將 y ＝ s in x ( x ∈ R)的圖象上所有的點(diǎn)先向左平移π3個單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的12倍，縱坐標(biāo)不變即可得到函數(shù) y ＝s in ( 2 x ＋π3) 的圖象，所以選 A. 第 6講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ( 2) 將 y ＝ s in ( ωx ＋π3) ＋ 2 的圖象向右平移4π3個單位后為 y＝ s in [ ω ( x －4π3) ＋π3] ＋ 2 ＝ s in ( ωx ＋π3－4 ω π3) ＋ 2 ，所以有4 ω π3＝ 2 k π ，即 ω ＝3 k2，又因?yàn)?ω 0 ，所以 k ≥ 1 ，故 ω ＝3 k2≥32，所以選 C. 【點(diǎn)評】 根據(jù)圖象求函數(shù)的表達(dá)式時，一般先求周期、振幅，最后求 φ . 三角函數(shù)圖象進(jìn)行平移變換時注意提取 x 的系數(shù)，進(jìn)行周期變換時，需要將 x 的系數(shù)變?yōu)樵瓉淼?ω. 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 6講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)三 三角函數(shù)的性質(zhì) 例 3 已知向量 m ＝ ( c os ωx ， s in ωx ) ， n ＝ ( c os ωx ， 3 c os ωx ) ，設(shè)函數(shù) f ( x ) ＝ m α ， k ∈ Z 來說，奇、偶是指的 k 奇偶性；看象限是指把 α 當(dāng)做銳角來看時，角 k π2177。π2， k ∈ Z) ． 4 ．二倍角公式： s in 2 α ＝ 2 s in α c o s α ， c o s 2 α ＝ c o s2α － s in2α ＝ 2 c o s2α － 1 ＝ 1 － 2 s in2α ， t a n 2 α ＝2 t a n α1 － t a n2α . 5 ．輔助角公式： a s in x ＋ b c o s x ＝ a2＋ b2s in ( x ＋ φ ) ， 其中 φ 角的值由 t a n φ ＝ba確定， φ 角所在的象限由 a ， b 的 符號確定，也可以理解為 φ 角的終邊過點(diǎn) ( a ， b ) ． 第 7講 │ 主干知識整合 二、正弦、余弦定理 1 ．正弦定理： 在 △ ABC 中，as i n A＝bs i n B＝cs i n C＝ 2 R ， ( 其中 R 表示 △ ABC 外接圓的半徑 ) ( 1) a ＝ 2 R s i n A ， b ＝ 2 R s i n B ， c ＝ 2 R s i n C ； ( 2) s i n A ＝a2 R， s i n B ＝b2 R， s i n C ＝c2 R； ( 3) a s i n B ＝ b s i n A ， b s i n C ＝ c s i n B ， a s i n C ＝ c s i n A ； ( 4) a ∶ b ∶ c ＝ s i n A ∶ s i n B ∶ s i n C . 第 7講 │ 主干知識整合 2 ．余弦定理： ( 1) a2＝ b2＋ c2－ 2 bc c os A ， c os A ＝b2＋ c2－ a22 bc； ( 2) b2＝ c2＋ a2－ 2 ca c os B ， c os B ＝c2＋ a2－ b22 ca； ( 3) c2＝ a2＋ b2－ 2 ab c os C ， c os C ＝a2＋ b2－ c22 ab. 3 ．面積公式： ( 1) S ＝12a ＋ s in 50176。＝c os 40176。 時， s in B ＋ s in C 取得最大值 1. 【點(diǎn)評】 解三角形要把已知條件統(tǒng)一化簡到角( 或邊 ) ， 本題就是利用正弦定理統(tǒng)一到邊 ， 再用余弦定理求角 ， 其中 ( 2 ) 中的最值是一個難點(diǎn) ， 注意到式子中包含兩個角 ， 這時一般要考慮消去一個角 ， 這樣就實(shí)現(xiàn)角的轉(zhuǎn)化統(tǒng)一 ． 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究