【正文】 感謝一起伴我走過大學(xué)生活的同學(xué)們，大家的共同努力才創(chuàng)造了良好的學(xué)習(xí)氛圍，是你們?yōu)槲业拇髮W(xué)生生活生光添彩。在混沌態(tài)復(fù)擺的振動(dòng)曲線對(duì)初值高度敏感，其行為不可預(yù)測(cè)，呈現(xiàn)隨機(jī)性，即在長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)動(dòng)后一個(gè)確定的運(yùn)動(dòng)變成無法預(yù)言的隨機(jī)行為。圖 316 奇怪吸引子( ， ， ）1???1f?圖 317 奇怪吸引子( ， ， ）1??0.??167。圖 312 混沌系統(tǒng)單周期振動(dòng)曲線及相圖 ( , , )1????圖 313 混沌系統(tǒng)單周期振動(dòng)曲線及相圖 ( , , )1????如果進(jìn)一步增加驅(qū)動(dòng)力 ，當(dāng)驅(qū)動(dòng)力 很大時(shí)，系統(tǒng)又會(huì)出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，ff如圖 314 所示，由它的運(yùn)動(dòng)曲線可以清楚地看出，此時(shí)復(fù)擺已不是完全在平衡位置附近的周期振動(dòng)，而是一會(huì)兒做振動(dòng)，一會(huì)兒做轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)的相軌跡在某一位置纏繞多圈后又轉(zhuǎn)入到另一處纏繞，軌線不再封閉。在 = 時(shí)，再次發(fā)f生倍周期分岔，二周期運(yùn)動(dòng)進(jìn)入四倍周期運(yùn)動(dòng)，見圖 38，復(fù)擺運(yùn)動(dòng)每隔 4 個(gè)驅(qū)動(dòng)周期重復(fù)一次，相軌跡在二維環(huán)面上轉(zhuǎn) 4 圈后閉合。由式(310)可知，該復(fù)擺是一種特殊形式的杜芬振子，非線性方程是杜芬(Duffing)方程 [17]：(311)23cosdxxfttt??????為了簡(jiǎn)便起見，不失一般性，我們研究一個(gè)由受驅(qū)弱非線性復(fù)擺演化得到的杜芬方程形式，取 =1， =1， ， ，則式 (311)可化為：???:t?(312)23cosdf??????對(duì)于(312)式這樣的非線性微分方程沒有解析解，只能利用計(jì)算機(jī)求其數(shù)值解。n4,6??理論分析認(rèn)為，當(dāng)初始條件( , )剛好可以使復(fù)擺到達(dá)( ,0)位置，應(yīng)靜0d??? ?止到這個(gè)位置上。無論初始的位置如何，復(fù)擺最終都會(huì)趨向螺旋線的中心，相圖上螺線的中心為阻尼復(fù)擺運(yùn)動(dòng)的吸引點(diǎn)，稱為吸引子 [19]。圖中的圓稱為相軌道（相圖） ，圓上一點(diǎn)確定了復(fù)擺的一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，圓形閉合回線反映系統(tǒng)狀態(tài)周而復(fù)始的演化過程。0?0t??對(duì)于這樣的非線性方程，一般是無法求出其解析解的，我們都是利用 Matlab求其數(shù)值解，然后再利用其數(shù)值解作相圖和振動(dòng)曲線，從相圖上研究其運(yùn)動(dòng)規(guī)律。第三章 用 Matlab 模擬復(fù)擺振動(dòng)中的混沌行為22復(fù)擺運(yùn)動(dòng)是大學(xué)物理中基本的力學(xué)模型之一，在教學(xué)中通常只考慮其簡(jiǎn)諧振動(dòng)的情況，內(nèi)容比較單一，沒有太多的研究空間。由圖 24 可以看出，兩條曲線在開始一段看上去還是重合的，但是到了 8 點(diǎn)以后，兩條幾乎由同一點(diǎn)出發(fā)的曲線開始逐步分離了，這就是混沌信號(hào)初值敏感性的體現(xiàn)。k39?；煦缧盘?hào)的最重要、最顯著的個(gè)特點(diǎn)就是初值敏感性。167。lamda=3. 3?？梢杂孟旅娴某绦騺硌菔具@一過程：x(1)=。lorenz39。在 Matlab 中，可以用如下程序 產(chǎn)生洛淪茲信號(hào)，在對(duì)混沌信號(hào)的演示和處理中，洛淪茲信號(hào)是最常用到的標(biāo)準(zhǔn)混沌信號(hào)。從簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)游戲入手，我們了解了混沌運(yùn)動(dòng)的產(chǎn)生，通過對(duì)“蝴蝶效應(yīng)”的介紹，我們了解了混沌運(yùn)動(dòng)的主要特征及性質(zhì)。因?yàn)槟菚r(shí)候的計(jì)算機(jī)還很簡(jiǎn)單，存儲(chǔ)只是 6 位，但是打印出來的只是 3 位，例如輸入 0. 532022，只能打印出來 ，當(dāng)時(shí)他認(rèn)為這是極小差別，不會(huì)引起大的變化。如果取 =3. 9，那么我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)其結(jié)果是無周期的，或者說是有無數(shù)的點(diǎn)，也就是進(jìn)人完全隨機(jī)狀態(tài)，我們就叫“混沌” （chaos ） 。和 雖然在數(shù)學(xué)上可以說是非常接近，只存在微小的不同，但是其計(jì)算0X?的結(jié)果卻完全不同。隨著物理理論的深人研究，人們發(fā)現(xiàn)在傳統(tǒng)的確定性理論領(lǐng)域中，一定的條件下也可以出現(xiàn)一定的隨機(jī)性現(xiàn)象。例 2 光柵衍射，應(yīng)用了 Matlab 的基本運(yùn)算功能，基本繪圖功能，數(shù)值分析功能。 %指定坐標(biāo)范圍 et(y(:,1),y(:,3)) %繪出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡(x,y) end %結(jié)束循環(huán) 解出的結(jié)果如圖 17 所示：圖 17 萬有引力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡 由上面例子，我們初步了解了 Matlab 解常微分方程的一般過程，首先是建立微分方程函數(shù)文件，文件的格式如下： fuction ydot=filename(t,y,p1,p2) %t,y 是積分區(qū)間和解矩陣 p1,p2 是參數(shù)ydot=[關(guān)于 t,y 的表達(dá)式]。25 5 0。 %新開圖形窗口并在 xy 平面內(nèi)觀察 hold on colormap(gray)。 %組成數(shù)據(jù)網(wǎng)格 sinsita=X./(D^2+X.^2).^。b=。選定一系列的 x 和 y 后，就組成了平面上的網(wǎng)格點(diǎn)，再計(jì)算對(duì)應(yīng)每一點(diǎn)上的z 值。主程序文件的格式特征如下：(1)用 clear， close all 等語句開始，清除工作空間原有的變量和圖形，以避免其它以執(zhí)行程序殘留數(shù)據(jù)對(duì)本程序的影響；(2)如果文件中有全局變量，即在子程序中與主程序的變量，應(yīng)在程序的起始部分注明；(3)整個(gè)程序應(yīng)按 Matlab 標(biāo)示符的要求起文件名，并加上后綴 m。x.*log(1+x) 39。plot(x,y)。y=sin(t)。%一個(gè)窗口產(chǎn)生 4 個(gè)圖，此為左上角圖subplot(2,2,2)。), hold on,plot(t,y2,39。), ylabel(39。如表 11：4表 11 常用的數(shù)學(xué)函數(shù)命令 說明abs(x) x 的絕對(duì)值sin(x) x 的正弦值exp(x) 自然指數(shù) xelog(x) 自然對(duì)數(shù) lnsqrt(x) x 的開平方x.^2 x 的開方167。 基本運(yùn)算Matlab 能識(shí)別一般常用的加(+)、減()、乘(*)、除(/)、冪次(^)等數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào) [2]，因此在 Matlab 下進(jìn)行基本運(yùn)算，在 Matlab 命令窗口(Command Window)內(nèi)提示符 ()之后輸入表達(dá)式，并按下 Enter 鍵即可。至 2022 年 6 月推出 版，2022 年 6 月推出 版，繼而推出 版、 版、 版、(Matlab 2022b)版，最新版本為(R2022a)版 [1]。第三章從復(fù)擺的運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)，利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值求解，研究復(fù)擺從周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為混沌運(yùn)動(dòng)的過程。混沌現(xiàn)象是指確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的一種類似隨機(jī)過程的行為。 本章小結(jié) .........................................................................................21第三章 用 Matlab 模擬復(fù)擺振動(dòng)中的混沌行為 .....................................22167。 本章小結(jié) .........................................................................................13第二章 混沌行為與特性 ...........................................................................14167。 and use Matlab to simulate the pendulum movement behavior and chaotic phenomena, on different cycles to the phase diagram and the strange attractor, As you can see the increase in external driving force, pendulum vibration gradually from perioddoubling bifurcation to chaos.KEY WORDS: Chaos, Matlab,pound pendulum,bifurcation,strange attractorIII目 錄前 言 .............................................................................................................1第一章 Matlab 基礎(chǔ)及應(yīng)用 .........................................................................2167。I畢業(yè)論文基于 Matlab 的復(fù)擺混沌行為研究摘 要自然界中存在無數(shù)的無序、非平衡和隨機(jī)的復(fù)雜系統(tǒng)。 Matlab 簡(jiǎn)介 .......................................................................................2167。 混沌理論 .........................................................................................14167。 復(fù)擺運(yùn)動(dòng)模型與振動(dòng)方程 .............................................................22167?；煦邕\(yùn)動(dòng)是非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)所特有的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，是一種貌似隨機(jī)的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)，混沌的發(fā)現(xiàn)被譽(yù)為繼相對(duì)論和量子力學(xué)后的第三次物理學(xué)革命，混沌的研究一直備受學(xué)術(shù)界的關(guān)注。第一章 Matlab 基礎(chǔ)及應(yīng)用2167。Matlab 的主界面是一個(gè)高度集成的工作環(huán)境 [1]，有 4 個(gè)不同職責(zé)分工的窗口 [3]。例如：(5*2+)/5 ans = 說明：若不想讓 Matlab 每次都顯示運(yùn)算結(jié)果，只需在表達(dá)式最后加上分號(hào)(。 繪圖功能Matlab 的 plot 是最基本的繪圖命令，可以對(duì)一組 x 坐標(biāo)及相應(yīng)的 y 坐標(biāo)，進(jìn)行描點(diǎn)繪圖。y39。r39。plot(x,cos(x))。subplot(2,2,1)。axis equal tight圖 14 在 axis 命令后加不同的字符串控制表 14 中是一些改變目前圖軸長(zhǎng)寬比的命令，這些命令必須在 plot 之后調(diào)用才能發(fā)揮作用。,0,1)ans = 用 Matlab 的 ODE 命令求解常微分方程， Matlab 解常微分方程組的能力很強(qiáng)而且很方便，對(duì)于我們?cè)谄胀ㄎ锢韺W(xué)中遇到的大多數(shù)動(dòng)力學(xué)方程都可以用命ode45 求解 [3]。子程序文件的格式特征如下：(1)由 Function 起頭，后跟的函數(shù)名必須與文件名相同；(2)由輸入輸出變量，可進(jìn)行變量傳遞；(3)除非用 global 聲明，程序中的變量均為局部變量，運(yùn)行后不保存在工作空間中。5::5,4::4 分別是選取橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的一系列數(shù)值，meshgrid 是生成數(shù)據(jù)網(wǎng)格的命令，[x,y]是 xy 平面上的坐標(biāo)網(wǎng)格點(diǎn)。d=a+b。 %計(jì)算 sin(θ) arfa=pi*a*sinsita./lamda。 %選擇灰度色圖 mesh(X,Y,I)。25 6 0]。 %ydot 表示 dy/dt下面介紹 ode45 命令的用法， ode45 的一般調(diào)用格式為：[T,Y]=ode45(39。例 3 質(zhì)點(diǎn)在萬有引力作用下的運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用了 Matlab 的基本運(yùn)算功能，基本繪圖功能，在一個(gè)窗口下繪制多條圖形，并且利用 Matlab 的 ode45 命令求解常微分方程，最后總結(jié)了 M