【正文】 , ∴∠ BDC=78176。 (2)若 ∠ CAE=33176。AB=AFAD。, ∴∠ AEM=∠ FEN, 在 Rt△ AME和 Rt△ FNE中 , ∠ AEM=∠ FEN,AE=EF,∠ MAE=∠ NFE, ∴ Rt△ AME≌ Rt△ FNE, ∴ AM=FN, ∵ AB=FC,∴ MB=CN. 6.(2022桂林二模 ,23)如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AB=8 cm,BC=12 cm,點(diǎn) P從點(diǎn) B出發(fā) ,以 2 cm/秒的速 度沿 BC向終點(diǎn) C運(yùn)動(dòng) ,設(shè)點(diǎn) P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t秒 . (1)當(dāng) t=3時(shí) ,求證 :△ ABP≌ △ DCP。39176。,則 ∠ BFC= . ? 答案 120176。,? (2分 ) 在△ ABE和△ CBF中 ,? ? (4分 ) ∴ △ ABE≌ △ CBF(AAS),∴ BE=BF.? (5分 ) (2)∵ 對(duì)角線 AC=8,BD=6,∴ 對(duì)角線的一半分別是 4,3, ∴ 菱形的邊長(zhǎng)為 ? =5,? (6分 ) ∵ 菱形的面積 =? AC.故選 A. 2.(2022柳州柳江二模 ,5)如圖 ,下面是利用尺規(guī)作 ∠ AOB的平分線 OC的方法 : ① 以 O為圓心 ,適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧 ,分別交 OA,OB于點(diǎn) D,E。,∠ D=62176。=90176。,∵ AD=DC,∴∠ C=∠ DAC.∵∠ ADB是△ ADC的外角 , ∴∠ C=? ∠ ADB=35176。.故選 A. 4.(2022柳州城中模擬 ,8)如圖 ,直角△ ADB中 ,∠ D=90176。 答案 A 因?yàn)?BO、 CO分別是 ∠ ABC、 ∠ ACB的平分線 , 所以 ∠ ABO=∠ CBO,∠ ACO=∠ BCO, 所以 ∠ ABO+∠ ACO=∠ CBO+∠ BCO=180176。, ∴∠ DBE=∠ DCF=55176。,所以 S1=S2,故選 C. ? 12 1212 1210.(2022河池 ,14,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,D、 E分別是 AB、 AC的中點(diǎn) ,若 BC=10,則 DE= . ? 答案 5 解析 ∵ D、 E分別是 AB、 AC的中點(diǎn) , ∴ DE是△ ABC的中位線 , ∴ DE=? BC=? 10=5. 12 12考點(diǎn)二 全等三角形的判定與性質(zhì) 1.(2022浙江紹興 ,7,4分 )如圖 ,小敏做了一個(gè)角平分儀 ABCD,其中 AB=AD,BC=DC,將儀器上的 點(diǎn) A與 ∠ PRQ的頂點(diǎn) R重合 ,調(diào)整 AB和 AD,使它們分別落在角的兩邊上 ,過(guò)點(diǎn) A,C畫一條射線 AE, AE就是 ∠ PRQ的平分線 .此角平分儀的畫圖原理是 :根據(jù)儀器結(jié)構(gòu) ,可得△ ABC≌ △ ADC,這樣 就有 ∠ QAE=∠ ? ( ) ? 答案 D 因?yàn)樵凇?ABC和△ ADC中 ,AB=AD,BC=CD,AC=AC,所以△ ABC≌ △ ADC(SSS),故選 D. 2.(2022江西南昌 ,9,3分 )如圖 ,OP平分 ∠ MON,PE⊥ OM于 E,PF⊥ ON于 F,OA=OB,則圖中有 對(duì)全等三角形 . ? 答案 3 解析 根據(jù)題圖的特征以及角平分線的性質(zhì)可以得到△ AOP≌ △ BOP,△ EOP≌ △ FOP,△ AEP≌ △ BFP,所以題圖中有 3對(duì)全等三角形 . 3.(2022福建福州 ,21,8分 )一個(gè)平分角的儀器如圖所示 ,其中 AB=AD,BC=DC. 求證 :∠ BAC=∠ DAC. ? 證明 在△ ABC與△ ADC中 ,? ∴ △ ABC≌ △ ADC(SSS). ∴∠ BAC=∠ DAC. ,A B A DB C D CA C A C?????? ??4.(2022浙江杭州 ,18,8分 )如圖 ,在△ ABC中 ,已知 AB=AC,AD平分 ∠ BAC,點(diǎn) M,N分別在 AB,AC邊 上 ,AM=2MB,AN= :DM=DN. ? 證明 因?yàn)?AM=2MB,所以 AM=? AB, 同理 AN=? AC, 又因?yàn)?AB=AC,所以 AM=AN. 因?yàn)?AD平分 ∠ BAC,所以 ∠ MAD=∠ NAD. 在△ AMD和△ AND中 ,? 所以△ AMD≌ △ AND,所以 DM=DN. 2323,A M A NM A D N A DA D A D???? ? ??? ??5.(2022重慶 ,19,7分 )如圖 ,點(diǎn) A,B,C,D在同一條直線上 ,CE∥ DF,EC=BD,AC= :AE=FB. ? 證明 ∵ CE∥ DF,∴∠ ACE=∠ D. 在△ ACE和△ FDB中 , ∵ EC=BD,∠ ACE=∠ D,AC=FD, ∴ △ ACE≌ △ FDB. ∴ AE=FB. 6.(2022陜西 ,18,6分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ABC=90176。 176。=50176。 答案 D 如圖 ,作點(diǎn) A關(guān)于 BC所在直線的對(duì)稱點(diǎn) M,及關(guān)于 CD所在直線的對(duì)稱點(diǎn) N,連接 MN, 分別交 BC、 DC于點(diǎn) E、 F,此時(shí)△ AEF的周長(zhǎng)最小 .易知 ∠ M=∠ BAE,∠ N=∠ ABCD中 ,∠ BAD=360176。60176。 答案 C ∵ DE∥ BC,∴∠ AED=∠ ∵∠ AED=60176。.故選 C. 3.(2022河南 ,6,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ ACB=90176。 答案 C ∵ 三角形的內(nèi)角和為 180176。 176。 (2)若 EF=3,DE=4,∠ DEF=90176。. 思路分析 (1)根據(jù) ASA可證明 :△ APM≌ △ BPN。 (3)若△ BPN的外心在該三角形的內(nèi)部 ,直接 寫出 α的取值范圍 . ? 解析 (1)證明 :∵ P為 AB中點(diǎn) ,∴ PA =PB. 又 ∵∠ A=∠ B,∠ MPA=∠ NPB, ∴ △ APM≌ △ BPN. (2)由 (1)得 PM=PN,∴ MN=2PN, ∵ MN=2BN,∴ PN=BN, ∴ α=∠ B=50176。④ DA= . ? 答案 ①②③ 解析 ∵ △ ABO≌ △ ADO,∴∠ BAC=∠ DAC,∠ AOB=∠ AOD,AB=AD.∵∠ AOB+∠ AOD=180176。. 請(qǐng)把證法 1補(bǔ)充完整 ,并用不同的方法完成證法 2. 解析 ∠ BAE+∠ 1=∠ CBF+∠ 2=∠ ACD+∠ 3=180176?！? 3 3≈ . 12 123 178.(2022江蘇南京 ,21,8分 )用兩種方法證明“三角形的外角和等于 360176。1539。60176。 176。B39。,39。O, 在△ AOB和△ B39。 (2)求證 :△ AOB≌ △ B39。. ,A C D FA B D EB C E F?????? ??評(píng)析 本題考查了三角形全等的判定方法、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等以及三角形內(nèi)角和定 理 . 3.(2022梧州 ,21,6分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,對(duì)角線 AC,BD相交于點(diǎn) O,過(guò)點(diǎn) O的一條直線分別交 AD, BC于點(diǎn) E,F. 求證 :AE=CF. ? 證明 ∵ 四邊形 ABCD為平行四邊形 , ∴ OA=OC,∠ EAO=∠ FCO, 在△ AOE和△ COF中 ,? ∴ △ AOE≌ △ COF,∴ AE=CF. ,E A O F C OO A O CA O E C O F? ? ?????? ? ? ??4.(2022百色 ,22,8分 )平行四邊形 ABCD中 ,∠ A=60176。,求 ∠ F的度數(shù) . ? 解析 (1)證明 :∵ AD=CF, ∴ AD+DC=CF+DC,即 AC=DF, 在△ ABC和△ DEF中 ,? ∴ △ ABC≌ △ DEF. (2)∵∠ A+∠ B+∠ BCA=180176。60176。,∠ B=40176。=50176。,則 ∠ ECD 等于 ? ( ) ? 176。 176。. 12 12思路分析 由外角的性質(zhì)可以求得 ∠ ACD=100176。,則 ∠ C等于 ? ( ) ? 176。40176。,∠ A=55176。,AB=2AD,BD的中垂線分別交 AB,CD于 點(diǎn) E,F,垂足為 O. (1)求證 :OE=OF。OA39。OA39。 39。,故有 ∠ A=∠ B39。 176。=70176?！? .(結(jié)果精確到 ) ????任 選 一 個(gè)3 17答案 176?！? 如圖 ,∠ BAE、 ∠ CBF、 ∠ ACD是△ ABC的三個(gè)外角 . 求證 :∠ BAE+∠ CBF+∠ ACD=360176。 ∠ 1+∠ 2+∠ 3=180176。, ∴∠ AOB=90176。. (3)40176。 (2)根據(jù)△ APM≌ △ BPN得 MN=2PN,結(jié)合 MN=2BN得出 PN=BN,由等邊對(duì)等角可得結(jié)果 。,請(qǐng)直接寫出使四邊形 EFBC為菱形時(shí) AF的長(zhǎng)度 . ? 解析 (1)證明 :∵ AB∥ DE,∴∠ A=∠ D, ∵ AF=CD,∴ AF+FC=CD+FC,即 AC=DF, 又 ∵ AB=DE,∴ △ ABC≌ △ DEF. (2)? (過(guò)點(diǎn) E作 EO⊥ CF于 O,由 EF=3,ED=4,∠ DEF=90176。 答案 B 三角形的內(nèi)角和為 180176。,且 ∠ A=95176。,AC=8,AB= AC交 AB于點(diǎn) E,則 DE的長(zhǎng)為 ? ( ) ? 答案 D 在△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,∴∠ C=60176。=80176。90176。, 所以 ∠ BAE+∠ DAF=50176。 176。.點(diǎn) D在邊 AB上 ,且 DB=BC,過(guò)點(diǎn) D作 EF⊥ AC,分別交 AC于點(diǎn) E、 CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F. 求證 :AB=BF. ? 證明 ∵ EF⊥ AC,∴∠ F+∠ C=90176。, ∵ BC=6,∴ BD=CD=6. ∴ ? 的長(zhǎng)度 =? 的長(zhǎng)度 =? =? . ∴ ? 、 ? 的長(zhǎng)度之和為 ? +? =? . ,A B A CB D C DA D A D????????DE︵ DF︵ 55 6180??? 116?DE︵ DF︵116? 116? 113?8