【正文】 若 極 限 存 在 ， 稱(chēng) 為 向 量場(chǎng) 在 點(diǎn) 上 的 散 度 ， 用 表 示 ， 是 向 量 流 出 曲 面 的 通 量 。（ 1 ） 標(biāo) 量 函 數(shù) 的 拉 普 拉 斯 微 分 運(yùn) 算21 2 31 1 2 2 3 32 3 1 3 1 21 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 31 1 1[]1 1 1 1[ ( ) ( ) ( ) ]h q h q h qh h h h h hh h h q h q q h q q h q? ? ??????? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?e e e 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a a a a（ 2 ） 向 量 函 數(shù) 的 拉 普 拉 斯 微 分 運(yùn) 算 （ ） （ ） ( ) ( ) ( ) iiiiiiiiixxxxx??? ? ? ? ????? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?aba b eabe b aabe b e aab（ ）證 明 ： （ ）（ ） () iix????? ? ? ? ? ? ? ?beaa b b a（ ） （ ）七、拉普拉斯微分算子 附錄二 正交曲線坐標(biāo) 第三節(jié) 梯度、散度、旋度及哈密爾頓算子 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a b a b b a例 1 ： 證 明 （ ） （ ） （ ） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) iiiiiiiiiiiixxxxxx?? ? ? ? ? ????? ? ? ?????? ? ? ??????ba b a ebba e a ebbe a a ebe證 明 ： iix?? ? ??? ? ? ? ? ?ba a eb a a b七、拉普拉斯微分算子 附錄二 正交曲線坐標(biāo) 第三節(jié) 梯度、散度、旋度及哈密爾頓算子 ()? ? ? ? ? ? ? ??a b b a a b例 2 ： 證 明 222 ( ) [ ] ( ) ( ) () ijijijiji j i ji j i jxxxxx x x x??? ? ? ? ? ? ????? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?aa e eaeeaae e e e證 明 ：2 ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) () j i i ji j i jj i ij i ijjx x x xx x xx? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ??aae e e eae e e ae a a22 ( ) ( ) ( )? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?aaa a a七、拉普拉斯微分算子 附錄二 正交曲線坐標(biāo) 第三節(jié) 梯度、散度、旋度及哈密爾頓算子 2 ( ) ( )? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a a a例 3 ： 證 明 七、拉普拉斯微分算子 附錄二 正交曲線坐標(biāo) 第三節(jié) 梯度、散度、旋度及哈密爾頓算子 4 ?? v例 ： 求 在 直 、 柱 、 球 坐 標(biāo) 系 中 的 表 達(dá) 式 。 1 1 2 2 3 3 ii????? ? ? ? ???????123bB b e b e b e b e bb1 1 2 2 3 3i i i i j ijb b b b? ? ? ?b e e e e1 1 11 2 12 3 13 2 1 21 2 22 3 23 3 1 31 2 32 3 3311 12 1321 22 2331 32 33( ) ( ) ( ) i j ijb b b b b b b b bb b bb b b bb b b? ? ? ? ? ? ? ? ???????????B e e e e e e e e e e e eee向量與張量的點(diǎn)積，其結(jié)果是向量。 附錄二 正交曲線坐標(biāo) 第一節(jié) 正交曲線坐標(biāo)系、正交性、拉梅系數(shù) c os c os c os sin sin si n si n si n c os 0R i R j R kR i R j k? ? ? ? ??? ? ? ???? ? ???? ? ? ??rr一、坐標(biāo)軸單位向量對(duì)于其他坐標(biāo)軸的偏倒數(shù) 1 1 2 31 1 12 2 23 3 33 3 33 3 31 1 1 31 1 1113 ()()q q qds h dqds h dqds h dqB E ds h dqh dq hADCE dq dq dq dqq q qADF G dq????????? ? ?? ? ????eee以 為 例 ， 考 慮 它 對(duì) ， ， 的 偏 倒 數(shù)點(diǎn) 的 單 位 向 量 與 點(diǎn) 的 單 位 向 量 之 差 為 ：（ +13 1 3 33q dqq???eee） ， 其 方 向 與 相 同 。 這 樣 ， 就 構(gòu) 成 了 一 個(gè) 坐 標(biāo) 系 。 附錄一 向量和張量的基本運(yùn)算 第二節(jié) 向量的基本運(yùn)算 二、向量運(yùn)算的常用公式 1 2 31 2 31 2 31 ( )234 ( ) ( ) ( )i i i i i i ii i j j i j i j i j ij i ii i j j i j i j i j ijk ki i j j k k i j k i j ki j k i jk l l i j k jk i i j k ijka b a e b e a b ea b a e b e a b e e a b a be e ea b a e b e a b e e a b e e a a ab b ba b c a e b e c e a b c e e ea b c e e e a b c e a b c e?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?、1 2 31 2 31 2 35 ( ) ( ) ( ) ( )6 ( ) ( ) ( )a a ab b bc c ca b c a b c c a b c a ba b c a c b a b c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?、1034 ( )56ddtd d ddt dt dtddk k kdt dtd du du u u u u tdt dt dtd d ddt dt dtd d ddt dt dt?????? ? ? ?? ? ? ?CCABABAAAAABAA B A BBAA B A B、 （ 為 常 數(shù) ）2 、 （ ） =、 （ ） = （ 為 常 數(shù) ）、 （ ） = （ 為 數(shù) 性 函 數(shù) ）、 （ ） =、 （ ） = 附錄一 向量和張量的基本運(yùn)算 第二節(jié) 向量的基本運(yùn)算 三、微分運(yùn)算 按向量的定義： i i i iaa ????a e e,1 2 3i i i ij j jaal m n j???e e a式 中 和 分 別 為 在 兩 個(gè) 不 同 的 正 交 坐 標(biāo) 系 中 的 分 量 和 坐 標(biāo) 軸 單 位 向 量 。 標(biāo)量 —— 0階張量，有 30=1個(gè)分量； 向量 —— 1階張量，有 31=3個(gè)分量； n階張量由 3n個(gè)分量組成。 向量 —— 三維的量，必須由某一空間坐標(biāo)系的 3個(gè)坐標(biāo)軸方向的分量 來(lái)表示。 愛(ài)因斯坦（ Einstein）求和符號(hào) 數(shù)學(xué)式子任意一項(xiàng)中如果出現(xiàn)一對(duì)符號(hào)相同的指標(biāo)，稱(chēng)為愛(ài)因斯坦求和符號(hào)，它是啞指標(biāo)，表示求和。即， ij ijBA? ? ???A B A二 階 張 量 乘 以 數(shù) ， ， 則張量數(shù)乘 ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i m n n i m n im n i in nmm n m n i m n i in m i m i m i n i niin n iin n ia B a B a BB a B a a B a BBBBB??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?a B e e e e eB a e e e e e ea B B aa B B a二 階 張 量 和 向 量 的 點(diǎn) 積如 果 則如 果 則 B稱(chēng) 為 對(duì) 稱(chēng) 張 量 。 附錄二 正交曲線坐標(biāo) 第一節(jié) 正交曲線坐標(biāo)系、正交性、拉梅系數(shù) 二、正交曲線坐標(biāo)系中的微元弧長(zhǎng)、微元面積、 微元體積、拉梅系數(shù) 1 2 3 2 3 2 32 1 3 1 3 1 33 1 2 1 2 1 2 iq C o n std A d s d s h h d q d qd A d s d s h h d q d qd A d s d s h h d q d q???????2 、 微 元 面 積 利 用 沿 坐 標(biāo) 軸 的 微 元 弧 長(zhǎng) 很 容 易 確 定 坐 標(biāo) 面 上 的 微 元 面 積 1 2 3 1 2 3 1 2 33 d d s d s d s h h h d q d q d q? ??、 微 元 體 積? 例：求柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系的拉梅系數(shù)。 五、向量函數(shù)的梯度 附錄二 正交曲線坐標(biāo) 第三節(jié) 梯度、散度、旋度及哈密爾頓算子 定義 如果有一向量并積 1 2 11 1 2 2 3 31 1 1h q h q h q? ? ???? ? ?a a ae e e滿足下列運(yùn)算規(guī)則， 1 1 2 2 3 3 1 2 11 1 2 2 3 31 2 11 1 2 2 3 3