函數(shù)的單調(diào)性與最值含例題詳解-免費閱讀
【正文】 函數(shù)的單調(diào)性與最值 一、知識梳理1．增函數(shù)、減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I，如果對于任意x1，x2∈D，且x1x2，則有：(1)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)?f(x1)f(x2)； (2)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)?f(x1)f(x2)．2．單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．3．函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件①對于任意x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①對于任意x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值注意：1． 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是指函數(shù)在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減．單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用并集 符號“∪”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié)．2． 兩函數(shù)f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(減)函數(shù)，則f(x)＋g(x)也為增(減)函數(shù)，但 f(x)g(x)，等的單調(diào)性與其正負(fù)有關(guān)，切不可盲目類比．[試一試]1．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)的是( )A．y＝ln(x＋2) B．y＝－C． D．y＝x＋解析：選A 選項A的函數(shù)y＝ln(x＋2)的增區(qū)間為(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函數(shù)．2．函數(shù)f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的單調(diào)增區(qū)間為______；f(x)max＝________.解析：函數(shù)f(x)的對稱軸x＝1，單調(diào)增區(qū)間為[1,4]，f(x)max＝f(－2)＝f(4)＝8.答案：[1,4] 8二、方法歸納1．判斷函數(shù)單調(diào)性的四種方法(1)定義法：取值、作差、變形、定號、下結(jié)論；(2)復(fù)合法：同增異減，即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時，為增函數(shù)，不同時為減函數(shù)；(3)圖像法：如果f(x)是以圖像形式給出的，或者f(x)的圖像易作出，可由圖像的直觀性判斷函數(shù)單調(diào)性．(4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性．2．求函數(shù)最值的五個常用方法(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值．(2)圖像法：先作出函數(shù)的圖像，再觀察其最高點、最低點，求出最值．(3)換元法：對比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值．(4)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值．(5)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點值，求出最值．提醒：在求函數(shù)的值域或最值時，應(yīng)先確定函數(shù)的定義域．
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