【正文】 在這一點上一種自然而然的想法就是必須有一種方法來解決這個問題。 圖 9— 17 裁剪的例子 連續(xù)對 A運用等式 (9— 45)三次將生成圖 9— 17(d)中的集合 。 對于一個輸入集合 A， 通過一系列用于檢測字符端點的結(jié)構(gòu)元素的細化處理 ， 達到我們所希望的結(jié)果 。 分析每個待識別字符的骨骼形狀是自動識別手寫字符的一種常見處理方法。形態(tài)學給出了就特定圖形侵蝕和空缺的描述。正如前面所述，它相當于下式： ))(( kBAS k ?)(ASkBBBASkBAS kk ????? )))(((())(( ??（ 944） 圖 9— 16的解釋說明了以上討論的概念。 cAC ? cC 如圖 9— 15(d)所示，這個過程可能產(chǎn)生一些不連貫的點，這取決于 A的性質(zhì)。圖 9— 14(k)示出細化的結(jié)果。最后，把圖 9—13(c),(d),(e)和 (f)中的集合求并的結(jié)果就為所求凸殼。現(xiàn)令 ,下標“ conv” 表示當時收斂。每一迭代步和 A求交集可除去以標記為 0的元素為中心的膨脹。圖 9— 11剩下的部分解釋了公式 (9—31)的進一步技巧。在圖 9— 11中，A表示一個包含一個子集的集合，子集的元素為8字形的連接邊界的區(qū)域。 集合 A的邊界記為 (A)， 可以通過下述算法提取邊緣：設 B是一個合適的結(jié)構(gòu)元素 ， 首先令 A被 B腐蝕 ， 然后求集合 A和它的腐蝕的差 。換句話說，如果 B記為由 X和其背景構(gòu)成的集合， B在 A中的匹配，記為 ，則 cABA ?)]([)( XWAXABA c ?????? (927) 可以這樣來概括這種表示法 ,讓 , 其中 是由和目標相關的 B 的元素形成的集合 ，而 是由和相應的背景相關的 B 的元 素 集 合 。 ZYX ,圖 9— 9 擊中（ Hit） 擊不中 (Miss)變換圖例 讓每個圖形的原點位于它的重心。）而目標內(nèi)的噪聲成分的大小卻變大了 (圖 9— 8(b))， 這在意料之中，原因是目標中的空白事實上是內(nèi)部邊界，在腐蝕中會變大。這里噪聲用暗元素 (陰影 )在亮的背景表示，而光使暗目標為空的。圖 9— 7解釋了這一性質(zhì)。這種開運算的幾何擬合性得出了集合論的一個定理： 被 的開運算就是 在 內(nèi) 的 平 移 ( 保 證 ( ) )所得到的集合的并集。結(jié)果是去掉了 A 的左邊對于 B 來說較小的彎。 設 A是原始圖像， B 是結(jié)構(gòu)元素圖像，則集合 A 被結(jié)構(gòu)元素 B 作閉運算，記為 ，其定義為： A B?BBAB ??? )(A ?換句話說， A 被 B 開運算就是 A 被 B 膨脹后的結(jié)果再被 B 腐蝕。 圖 9— 4 腐蝕操作的例子 膨脹和腐蝕是關于集合補和反轉(zhuǎn)的對偶。 對一個給定的目標圖像 X和一個結(jié)構(gòu)元素 S， 想象一下將 S在圖像上移動 。在此圖情況下，因為結(jié)構(gòu)元素 B關于原點對稱，所以，結(jié)構(gòu)元素 B及其映射 相同。 （ 5）補集：定義集合 A的補集為 : }{ AxxA c ??(9— 9) （ 6）差集：定義集合 A和 B的差集為 BA?cBABxAxxBA ?????? },{(9— 10) (9— 11) （ 8）并集：由 A和 B的所有元素組成的集合稱為 A和 B的并集。 總之，數(shù)學形態(tài)學的基本思想和基本研究方法具有一些特殊性，掌握和運用好這些特性是取得良好結(jié)果的關鍵。它涉及微分幾何、積分幾何、測度論、泛函分析和隨機過程等許多數(shù)學理論，其中積分幾何和隨機集論是其賴以生存的基石。 “數(shù)學形態(tài)學”是一門建立在嚴格的數(shù)學理論基礎上的科學。數(shù)字圖像處理學 第 9章 數(shù)學形態(tài)學原理 （ 第一講） 數(shù)學形態(tài)學的發(fā)展 “數(shù)學形態(tài)學（ Mathematical Morphology）是一種應用于圖像處理和模式識別領域的新的方法。 于 1973年出版的 《 Ensembles aleatoireset geometrie integrate》 一書嚴謹而詳盡地論證了隨機集論和積分幾何，為數(shù)學形態(tài)學奠定了理論基礎。總之，數(shù)學形態(tài)學是建立在嚴格的數(shù)學理論基礎上而又密切聯(lián)系實際的科學。 數(shù)學形態(tài)學的基本概念和運算 用于描述數(shù)學形態(tài)學的語言是集合論。 （ 9）交集：由 A和 B的公共元素組成的集合稱為 A和 B的交集。圖 9— 3(c)中的虛線表示作為參考的原始集合，實線示出若 的原點平移至 x點超過此界限，則 與 A的交集為空。 在每一個當前位置 x， S+x只有三種可能的狀態(tài) (1) S+x X； (2) S+x XC ； (3) S+x∩X與 S+x∩XC均不為空。也就是 , ???? BABA cc)((9— 15) 關于上式的正確性可證明于下： 從腐蝕的定義可知： cxc ABxBA })({)( ???如果集合 ( ) 包含于集合 ，那么 ( ) = ，在這種情況下，上式變?yōu)? B x A Bx? Acc?( ) = { |( ) = } BA? c x B x ? A c ? c但是滿足 ( ) = 的集合 的補集是使 ( ) 的 集合。 (9— 24) 圖 9— 5圖釋了集合 A 被一個圓盤形結(jié)構(gòu)元素作開運算和閉運算的情況。注意，用一個圓形的結(jié)構(gòu)元素對集合 A 作開運算和閉運算均使A 的一些部分平滑了。這樣開運算可以被描述為擬合過程，即： A B B AB x ? A})(){( ABBBA xx ???? (9— 25) 圖 9— 6圖釋了這個概念，為了多樣性這里我們用了一個非圓形的結(jié)構(gòu)元素。 AZ BA?Z xB)( A??? AB x)(圖 9— 7 閉運算的幾何解釋 像膨脹和腐蝕一樣，開運算和閉運算是關于集合補和反轉(zhuǎn)的對偶。注意集合 包含目標和背景噪聲，而目標中的噪聲構(gòu)成了背景顯示的內(nèi)部邊界。最后，圖 9— 8(e)圖 9—8(c)示出了形態(tài)閉運算的結(jié)果。如果用一個小窗口 W包含 X， X關于 W的本地背景是圖 9— 9(b)中的集合差 (WX)。根 據(jù) 前 面 的 討 論 ， 。 如下式所示： (9— 30) ?)()( BAAA ???? 圖 9— 10解釋了邊緣提取的過程。從邊界內(nèi)的一點 P開始，目標是用 1去填充整個區(qū)域。盡管這個例子只有一個子集，只要每個邊界內(nèi)給一個點，這個概念可清楚地用在任何有限個這樣的子集中。圖 9— 12圖釋了公式 (9— 32)的操作技巧。 那么， A的凸殼為 AX i ?0?)(AC?i?14 iDiconvi XD ?(9— 34) 換句話說，這個過程包括對 A和 B1重復使用擊中（ hit） 或擊不中（ miss)變換；當沒有