【正文】 五、利用冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)得出有關(guān)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和 （乙）典型例題 例 1 求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。 （ 3） 收斂域?yàn)? ? ? ? ? ? ? R，RRRRRRRR 我們稱它的收斂半徑為中的一種或或或 ,),( ???? )0( ????R 所以求冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑 R 非常重要，（ 1）（ 2）兩種情形的收斂域就確定的。 冪級(jí)數(shù) （甲）內(nèi)容要點(diǎn) 一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其收斂域與和函數(shù)（數(shù)學(xué)一） 1． 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 設(shè) )(xun ),3,2,1( ??n 皆定義在區(qū)間 I 上，則 ???1n)(xun 稱為區(qū)間 I 上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東 方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 134 1） ???1n )1()1(1 ??? nnnn 2） ???1n nn212? 1）解： ???1n )1()1(1 ??? nnnn 的 ?nS ??nk1 )1()1(1 ??? kkkk ?nS ??nk1 ? ? ? ? ?????? ?????221)1()1(kkkkkk =??nk1 111)111( ????? nkk ???nlim ?nS1 ????1n 1)1()1(1 ???? nnnn ， 收斂 2）解： ?nSnn2 12252321 32 ????? ? ① 21 ?nS 1432 2 122 32252321 ???????? nn nn? ② ① ② 得 21 ?nS132 2 12)212121(221 ??????? nn n? =111 2 32232 12)2 11(21 ??? ??????? nnn nn ???nlim ?nS3 ????1n nn212? =3，收斂 例 2 設(shè)數(shù)列 ? ? ??? ??1 1 )(n nnn ，aan，na 證明收斂級(jí)數(shù)收斂 ???0n na收斂 證：由題意可知??nlim 存在Anan ? ??nlim ?nS ??nlim ?? ? ??nk kk Saak1 1 )( 存在 而 ?nS )()(3)(2)( 1231201 ????????? nn aanaaaaaa ? = ????10nk kn ana 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東 方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 135 因此， ????10nk kann Sna? ??nlim ????10nk ka ??nlim?nna ??nlim ?nS SA? 于是級(jí)數(shù) ???0n na= SA? 是收斂的 二、 主要用判別法討論級(jí)數(shù)的斂散性 例 1． 設(shè)級(jí)數(shù) ???1n)0( ?nn aa 收斂，則 ???1n nan 收斂 解： nan )1(21 22 nana nn ???（幾何平均值 ? 算術(shù)平均值） 已知 ???1n 收斂故收斂收斂 )1(211 211 2 na，n，a nnnn ??????? 再用比較判別法，可知 ???1n nan 收斂 例 2． 正項(xiàng)數(shù)列 ??na 單調(diào)減少，且 ???1nnna)1(? 發(fā)散， 問 ???1nnna )11( ? 是否收斂？并說明理由。 3．比值判別法（達(dá)朗倍爾） 設(shè) nu 0，而??nlim ???nnuu 1 1） 當(dāng) ? 1 時(shí)，則 ???1n nu收斂 2） 當(dāng) ? 1 時(shí) (包括 ? =+? )，則 ???1n nu發(fā)散 3） 當(dāng) ? =1 時(shí)，此判別法無效（注：如果??nlim nnuu1?不存在時(shí)，此判別法也無法用 ） 4．根值判別法（柯西） 設(shè) nu ? 0，而??nlim ??n nu 1） 當(dāng) ? 1 時(shí)，則 ???1n nu收斂 2） 當(dāng) ? 1 時(shí) (包括 ? =+? )，則 ???1n nu發(fā)散 3） 當(dāng) ? =1 時(shí)，此判別法無效 事實(shí)上，比值判別法和根值判別法都是與等比級(jí)數(shù)比較得出相應(yīng)的結(jié)論，應(yīng)用時(shí)，根據(jù)所給級(jí)數(shù)的形狀有不同的選擇，但它們?cè)?? =1 情形下都無能為力。 發(fā)散級(jí)數(shù)不具有結(jié)合律，引言中的級(jí)數(shù)可見是發(fā)散的，所以不同加括號(hào)后得到級(jí)數(shù)的情形就不同。因此對(duì)無窮級(jí)數(shù)的基本概念和性質(zhì)需要作詳細(xì)的討論。 167。 （ 4） 級(jí)數(shù) ???1n nu 收斂的必要條件是 0lim ??? nn u （ 注：引言中提到的級(jí)數(shù) ?????11,)1(nn 具有 ??nlim ? ? 不存在11 ?? n ，因此收斂級(jí)數(shù)的必要條件不滿足， ???1n? ? 11??n 發(fā)散。數(shù)學(xué)上有更精細(xì)一些的判別法 ，但較復(fù)雜，對(duì)考研來說不作要求。 解： 知根據(jù)萊布尼茲判別法可如果存在又單調(diào)減少 ,0l i m,0 ?????? a，aa，a nnn? ???1n ( 1 ) 0 ,n naa? ? ?收 斂 , 與 假 設(shè) 矛 盾 , 這 樣， nnnn aaaa )11()11(,11111 ??????? 由等比級(jí)數(shù) ???1nna )11( ? 收斂和比較判別法可知 ???1nnna )11( ? 收斂。 2． 收斂域 設(shè) ??0x ，如果常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ???1n)( 0xun 收斂，則稱 0x 是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ???1n)(xun 的收斂點(diǎn)，如果???1n )( 0xun 發(fā)散，則稱 0x 是 ???1n )(xun 的發(fā)散點(diǎn)。而（ 3）的情形，還需討論 R? 兩點(diǎn)上的斂散性。 （ 1） ??? ?0 )12(n nnx （ 2） ??? ??021)1(n nn nx 解：（ 1）可求出收斂半徑 R=1, 收斂域?yàn)椋?1， 1） 0 0 0( ) ( 2 1 ) 2n n nn n nS x n x n x x? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? 11 012 1x nnx n t d t x? ????????? ???? ? 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東 方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 141 111221 1 1nnxx x xx x x??? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ?????? 222 1 1 ( 1 , 1 )( 1 ) 1 ( 1 )xx xx x x?? ? ? ? ?? ? ? （ 2）可以從求出和函數(shù)后，看出其收斂域 ? ? 2200( 1 ) 2( 1 )() 11nnnnnnS x x xnn????????????? 0 0 01( 1 ) 4 4 1n n nn n nn x x xn? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 1200 4( ) ( 1 ) , ( ) 4 1 ,1nnnnS x n x S x x xx????? ? ? ? ????令 3 0 1( ) 4 1 nnS x xn??? ?? 110000( ) ( 1 ) 11xx nnnnxS t d t n t d t x xx?? ???? ? ? ? ?????? 1 21( ) ( ) 11 (1 )xS x xxx?? ? ? ??? 113 011 ( 1 ) ( )( ) 4 41nnnnnxx S x xnn ????????? ? ???? 4 l n (1 ) ( 1 1 )xx? ? ? ? ? ? 11( 1 ) l n ( 1 ) ( 1 1 )nnnt ttn ???? ? ? ? ? ??這 里 用 到 公 式 1 2 3 21 4 4( ) ( ) ( ) ( ) l n( 1 )( 1 ) 1S x S x S x S x xx x x? ? ? ? ? ? ???于 是 24 3 4 l n( 1 ) ( 1 , 1 ) 0( 1 )x x x xxx?? ? ? ? ? ?? 且 00 , ( 0 ) 1 ,x S a? ? ?從 上 面 運(yùn) 算 也 看 先 要 假 設(shè) 但 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東 方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 142 200 4 3 l n (1 )l i m ( ) l i m 4(1 )xx xxSx xx?? ???????????又 01()1( 3 ) 4 l im 1 , ( ) 0 .1x x S x x???? ? ? ? ?說 明 在 處 不 但 有 定 義 而 且 是 連 續(xù) 的 這 正 .是 冪 級(jí) 數(shù) 的 和 函 數(shù) 應(yīng) 具 備 的 性 質(zhì) 21 , 0() 4 3 4 l n( 1 ) 1 , 0( 1 )xSx x x x xxx???? ?? ? ? ? ????因 此 , 且 12 ( ) ( ) ( ) , ( ) , ( 1 ) ,nxn n n n ef x f x f x x e n f n?? ? ? ?例 已 知 滿 足 為 正 整 數(shù) 且 求 函 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù)1 ()nn fx??? 之 和 . :解 解 一 組 微 分 方 程 可 得 通 解 ( ) ( ) ( 1 , 2 , 3 , )nxnnxf x e c nn? ? ? ( 1 ) , 0 ( 1 , 2 , 3 , )nnef c